“三教”理念下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

摘"要：“三教”理念是指“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教育理念.以2023年高考理科數(shù)學(xué)甲卷第16題（解三角形）為例，討論“三教”理念對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的啟示，即通過“教思考”引導(dǎo)學(xué)生明晰問題的條件、結(jié)論以及之間的關(guān)系；通過“教體驗(yàn)”引導(dǎo)學(xué)生理清問題思路，積累解題經(jīng)驗(yàn)；通過“教表達(dá)”提升學(xué)生規(guī)范書寫、準(zhǔn)備表達(dá)的能力.

關(guān)鍵詞：教思考；教體驗(yàn)；教表達(dá)；數(shù)學(xué)解題教學(xué)

解三角形是在學(xué)生具備基本的三角形知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)之后，學(xué)習(xí)利用三角形已知的邊和角，求解未知的邊和角的問題，主要是利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決問題.本研究以“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的理念為指導(dǎo)，以2023年高考理科數(shù)學(xué)甲卷第16題為例開展解題教學(xué)的研究，以期獲得對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的啟示.

1"“三教”理念概述

2014年初，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授提出數(shù)學(xué)教學(xué)重在“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教育理念（以下簡(jiǎn)稱“三教”理念）［1］，并用“三教”理念指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并逐步拓展到其他學(xué)科的教學(xué).“三教”理念的提出，打破了一線教師的常規(guī)教學(xué)思路，真正發(fā)揮了學(xué)生的主體地位，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育，是教學(xué)模式和教學(xué)方式的一次提升和創(chuàng)造.［2］

2"“三教”理念對(duì)教學(xué)的啟示

2.1"通過“教思考”引導(dǎo)學(xué)生明晰問題的條件、結(jié)論以及之間的關(guān)系

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題的解決離不開對(duì)已知條件的分析和推理.通過分析，可以挖掘已知條件所蘊(yùn)含的信息；通過推理，可以明確未知和已知之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而建立條件與問題之間的因果關(guān)系.

“教思考”重在讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考，學(xué)會(huì)“想數(shù)學(xué)”.［3］三教理念下的解題教學(xué)，教師要設(shè)計(jì)和實(shí)施好課堂教學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“讀不懂”到“讀懂”，從“不會(huì)用”到“會(huì)用”的“理解題意”的過程.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞（G·Polya）在《怎樣解題》一書中給出了舉世聞名的“怎樣解題表”，其中的第一步是弄清問題，即理解題意.教師在解題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過如下問題來達(dá)到理解題意的目的.例如，目標(biāo)是什么？該問題需要求解（求證）什么？已知條件是什么？隱含條件是什么？條件與結(jié)論（目標(biāo)）之間有什么直接或間接的聯(lián)系？根據(jù)已知條件，能直接求解嗎？有幾種方法可以求解該問題？這一連串的問題，就是在引導(dǎo)學(xué)生思考問題的條件和結(jié)論.學(xué)生通過對(duì)這些問題的回答，往往能理解問題的條件、結(jié)論，并順利地找到條件和結(jié)論之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)題意的理解.

下面以2023年高考理科數(shù)學(xué)甲卷第16題為例，來具體談一談如何通過“教思考”引導(dǎo)學(xué)生明晰問題的條件、結(jié)論以及之間的關(guān)系.

在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，則AD="""".

2.1.1"通過“教思考”助力學(xué)生讀懂題干，理解題意

理解問題的設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生深入思考的前提，同時(shí)也是正確解決問題的關(guān)鍵.教師可以遵循高中生解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣，設(shè)計(jì)以下問題（見表1），讓學(xué)生在思考中理解題意，從而找到解決問題的方法.

2.1.2"通過“教思考”探討問題解決的多樣化路徑

在理解題意的基礎(chǔ)上，下一步就是探尋問題解決的辦法.靈活運(yùn)用分析法，有助于幫助學(xué)生厘清已知和未知之間的邏輯關(guān)系，教師可以啟發(fā)學(xué)生執(zhí)果索因，從問題入手，以目標(biāo)為抓手，通過逆向分析，逐漸將問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易（見表2）.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生表述已知與未知之間所有可能存在的關(guān)系.

2.2"通過“教體驗(yàn)”引導(dǎo)學(xué)生厘清問題思路、積累解題經(jīng)驗(yàn)

“教體驗(yàn)”旨在讓學(xué)生動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)，在解題中學(xué)解題.波利亞“怎樣解題表”的第二步就是擬定計(jì)劃，即在理解題意后，尋找解題的線索，確定解題的方法，擬定解題的計(jì)劃.基于上述對(duì)題干的分析，通過“教體驗(yàn)”，引導(dǎo)學(xué)生厘清問題思路，啟發(fā)學(xué)生找到解題路徑，逐步積累解題經(jīng)驗(yàn).

2.2.1"通過“教體驗(yàn)”引導(dǎo)學(xué)生厘清問題思路

數(shù)學(xué)解題思路的形成，往往可以采用執(zhí)果索因的分析思路，即按照求什么，已知什么，用什么數(shù)學(xué)方法和思想實(shí)現(xiàn)目標(biāo)等步驟循序漸進(jìn)地求解問題.根據(jù)“教體驗(yàn)”的思想，教師要引導(dǎo)學(xué)生畫一畫、算一算、寫一寫、想一想、推一推，在體驗(yàn)中尋找問題的求解辦法.例如，本題需要求線段AD的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件，只知道兩邊和一角，并且這兩條邊與線段AD沒有直接的聯(lián)系.于是只能在△ABD或△ACD中求AD的長(zhǎng)，可以考慮先求出BD的長(zhǎng)，為求BD線段長(zhǎng)還需要知道其他的條件……這就是分析法的思路.需要注意的是，“教體驗(yàn)”不是讓學(xué)生漫無目的地計(jì)算和推理，而是需要在教師的指導(dǎo)下，從目標(biāo)出發(fā)，逆向挖掘目標(biāo)成立的充分條件，一步一步地解決問題.

2.2.2"通過“教體驗(yàn)”幫助學(xué)生尋找最優(yōu)解法

學(xué)生有了初步的思維體驗(yàn)，自然會(huì)聯(lián)想到解決問題的方法.由于學(xué)生之間思維能力和知識(shí)水平的差異，在實(shí)際求解時(shí)，不同學(xué)生的解法會(huì)有所不同.就本題而言，無論選用什么樣的方法，求出AC的長(zhǎng)是關(guān)鍵步驟，思維能力強(qiáng)的學(xué)生可能會(huì)從三角形的形狀或等面積法進(jìn)行思考，而思維能力一般的學(xué)生則可能會(huì)選擇常用的正弦定理與余弦定理.不同解法需要的求解條件不同，運(yùn)用正弦定理求解，需知AC的長(zhǎng)及DC的長(zhǎng)，得出滿足條件的一元一次方程含根號(hào)，部分學(xué)生在進(jìn)行分母有理化時(shí)往往容易出錯(cuò)，得出錯(cuò)誤答案；運(yùn)用余弦定理求解，需知AC、BD或AC、DC的長(zhǎng)，得到含AD邊的一元二次方程將是學(xué)生碰到的另一個(gè)難題，此方程的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)含有根號(hào)，不易進(jìn)行因式分解，學(xué)生只能運(yùn)用配方法或公式法求解方程，接著還需要對(duì)根的存在性進(jìn)行討論，過程復(fù)雜、計(jì)算量大；運(yùn)用三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)求解，需知AC的長(zhǎng)、∠ADB的大小，對(duì)學(xué)生的思維能力有一定要求，學(xué)生不易想到；運(yùn)用角平分線定理求解，需知AC的長(zhǎng)，此方法借助線段比值相等求出BD，與利用正弦定理求BD相比，簡(jiǎn)化了計(jì)算，但之后仍需用正弦定理或余弦定理求解；運(yùn)用等面積法求解，只需知AC的長(zhǎng)，找到△ABC的面積與△ABD面積、△ADC的面積之間的等量關(guān)系，即可求解，該方法有效避開了利用正弦定理或余弦定理求解帶來的不便，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.

對(duì)比上述五種不同的解題路徑（見表3），最佳的解法為“等面積法”，此方法計(jì)算簡(jiǎn)便、邏輯清晰，關(guān)照了中等生和學(xué)困生的數(shù)學(xué)思維水平，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.2.3"通過“教體驗(yàn)”幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)

解題經(jīng)驗(yàn)的積累往往離不開解題過程的體驗(yàn)，通過“教體驗(yàn)”，逐漸拉近問題與已知條件的距離.在體驗(yàn)過程中不斷猜想、嘗試和論證，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)推理通常既有形的屬性，又有數(shù)的表征，就本題而言，數(shù)形結(jié)合思想的滲透尤為重要.五種不同的解法并非平行關(guān)系，雖然第一步都要求出AC的長(zhǎng)，但隨后會(huì)因公式、定理的不同導(dǎo)致解題方法各有不同.就解題教學(xué)而言，教師可從三個(gè)方面幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn).首先，定位題型，在過程體驗(yàn)中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該問題的類型，回答這是一個(gè)什么樣的問題.其次，提取相關(guān)的數(shù)學(xué)公式和定理，在過程體驗(yàn)中，引導(dǎo)學(xué)生羅列出該題型涉及的公式和定理，鼓勵(lì)學(xué)生在草稿紙上動(dòng)手寫一寫.例如，解三角形可能用到的正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形面積公式等，在過程體驗(yàn)中，鼓勵(lì)學(xué)生使用不同的方法進(jìn)行嘗試，篩選出能應(yīng)用到本題的公式、定理.最后，對(duì)比解法差異，提煉最優(yōu)解法，教師要在過程體驗(yàn)中，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，找到適合自己的解題方法.

在解題教學(xué)中“教體驗(yàn)”，是為了讓學(xué)生真正明白解題不僅僅是為得到這道題的答案而解，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷不同解法的思維碰撞.在對(duì)比解法差異過程中找到最優(yōu)的求解思路，簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)人人都能夠“做”有所思、“解”有所獲.讓學(xué)生在體驗(yàn)中思考，在思考中發(fā)展，在思考與體驗(yàn)中提高數(shù)學(xué)解題能力.

該問題的五種解答方法如下，首先求出AC.

在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6.

由余弦定理知，cos60°=AB2+AC2-BC22×AB×AC=22+AC2-（6）22×2×AC.

由AC＞0可知，AC=1+3.

方法1：運(yùn)用正弦定理求解.

設(shè)BD長(zhǎng)為x，在△ABD和△ADC中，由正弦定理可知，

xsin30°=ABsin∠BDA，即sin∠BDA=ABsin30°x.①

6-xsin30°=ACsin∠CDA，即sin∠CDA=ACsin30°6-x.②

聯(lián)立①和②，得

ABsin30°x=ACsin30°6-x.

即2（6-x）=（1+3）x，解得x=6-2，故BD=6-2，DC=2.

由正弦定理，得6sin60°=1+3sinB=2sinC.

解得sinB=6+24，sinC=22.

∵1+3gt;6gt;2.

∴∠C=45°，在△ADC中，∠DAC=30°，DC=2，∠C=45°.

∴DCsin30°=ADsin45°.

∴AD=DC×sin45°sin30°=2×2212=2.

方法2：運(yùn)用余弦定理求解.

由方法1可知，BD=6-2.

由余弦定理，得cos∠BAD=AB2+AD2-BD22×AB×AD.

解得AD=2或AD=23-2.

當(dāng)AD=23-2時(shí)，

cos∠BDA=BD2+AD2-AB22×BD×AD=2-64.

∵∠BDA∈0，π2，∴AD=23-2，不符題意，舍去.故AD=2.

方法3：借助三角形等角對(duì)等邊性質(zhì)求解.

由方法1可知，∠C=45°，∴∠B=180°-60°-45°=75°.

∵∠BAD=30°，∴∠BDA=75°，即△ABD為等腰三角形.

從而AD=AB=2.

方法4：利用角平分線定理求解.

由角平分線性質(zhì)定理ABAC=BDDC，設(shè)DC=x，則21+3=6-xx.

解得x=2.

在△ADC中，AD2+AC2-2×AD×AC×cos30°=DC2，

即AD2-（3+3）AD+2（1+3）=0.

解得AD=2或AD=1+3.

∵1+3gt;6，∴∠Bgt;60°，∠Clt;60°.

若AD=1+3，則∠ADB=∠C與三角形外角和定理矛盾，舍去.

故AD=2.

方法5：利用等面積法求解.

∵AB=2，AC=3+1，∠BAD=∠CAD=30°，

S△ABC=S△ABD+S△ADC.

∴12×AB×AC×sin60°=12×AB×AD×sin30°+12×AD×AC×sin30°.

∴12×2×（3+1）×32=12×2×AD×12+12×AD×（3+1）×12.

解得AD=2.

2.3"通過“教表達(dá)”提升學(xué)生規(guī)范作答的能力

表達(dá)是思考和體驗(yàn)的結(jié)果，沒有思考和體驗(yàn)，就沒有準(zhǔn)確的表達(dá)，“教表達(dá)”旨在鼓勵(lì)學(xué)生“說數(shù)學(xué)”和“寫數(shù)學(xué)”，動(dòng)態(tài)地展示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的互動(dòng)性.自然語言、符號(hào)語言和圖形語言是數(shù)學(xué)表達(dá)的三大法寶，就本題而言，借助自然語言的提示和圖形語言的輔助，學(xué)生先從自然語言的角度，梳理解題思路，最后將自然語言轉(zhuǎn)述為文字語言、符號(hào)語言，使解題過程規(guī)范化.

2.3.1"通過“教表達(dá)”鼓勵(lì)學(xué)生“說數(shù)學(xué)”，提高口頭表達(dá)能力

學(xué)生之所以找不到正確的解題思路，往往是對(duì)條件理解不夠透徹，不能夠用自己的語言表述問題.在“教思考”“教體驗(yàn)”的同時(shí)，教師還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行復(fù)述（重新表述），鼓勵(lì)學(xué)生大膽地說出題目的已知量、未知量、可能的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生試著畫出問題的圖形.引導(dǎo)學(xué)生用自己的話對(duì)問題進(jìn)行重新表述，是一種“說數(shù)學(xué)”的過程.通過“說數(shù)學(xué)”的過程，可以幫助學(xué)生加深對(duì)問題的理解，提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力.

2.3.2"通過“教表達(dá)”指導(dǎo)學(xué)生“寫數(shù)學(xué)”，提高書面表達(dá)能力

數(shù)學(xué)解題是一個(gè)反復(fù)思考、逐步體驗(yàn)、規(guī)范表達(dá)的閉環(huán)回路.沒有思考就沒有體驗(yàn)，沒有體驗(yàn)就難以表達(dá).所謂教表達(dá)，在本題的教學(xué)過程中，“教表達(dá)”的重要方面是指導(dǎo)學(xué)生“寫數(shù)學(xué)”，即書面表達(dá)解題過程，就是要讓學(xué)生通過思考尋找到解決問題的邏輯鏈條，并通過表達(dá)清晰地書寫出這一鏈條.

通過“教表達(dá)”，要求學(xué)生做到書寫整潔、規(guī)范表述、推理有據(jù).在這個(gè)過程中，可以提高學(xué)生表述解題過程的規(guī)范性，在解題過程中做到計(jì)算準(zhǔn)確、表達(dá)清晰，做到每一步有理可依、有據(jù)可循.例如，上述方法5中，學(xué)生在利用等面積法求解問題時(shí)，首先需要明白的是哪幾個(gè)三角形面積之間的關(guān)系，其次要求三角形面積，求面積有諸多公式，知道為何要選用兩邊及夾角正弦乘積的一半這個(gè)公式.

3"結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的目的在于，通過對(duì)實(shí)際問題的分析、解答，理解問題背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟解題過程中用到的數(shù)學(xué)思想和方法，從而積累解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).從解題能力提高的角度看，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的更深一層意義在于，引導(dǎo)學(xué)生在解題中深入思考、深刻體驗(yàn)、清晰表達(dá)，最終達(dá)到“在解題中學(xué)解題”“通過學(xué)解一道題學(xué)會(huì)解一類題”的目的，這正是“三教”理念對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的指導(dǎo)意義所在.

參考文獻(xiàn)

［1］唐海軍，呂傳漢.數(shù)學(xué)教學(xué)為什么需要“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”——“三教”教學(xué)理念與實(shí)踐的再探析［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2019（10）：51-55.

［2］劉遠(yuǎn)桃，唐明坤，陳明萬.“三教”理念下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的探析［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（11）：56-60.

［3］耿世蘭，李金嫻，楊孝斌.“三教”理念下圓錐曲線問題的解題教學(xué)研究［J］.遼寧師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，25（1）：40-44+57.