關(guān)于概率與統(tǒng)計問題的教學(xué)探究

摘 要：概率與統(tǒng)計是研究不確定現(xiàn)象的學(xué)問，概率論是統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ).高考概率統(tǒng)計問題與社會生活緊密結(jié)合，指向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，集中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值與育人價值的特點(diǎn).概率與統(tǒng)計教學(xué)中，應(yīng)注重概念教學(xué)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系，同時注重數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，培養(yǎng)核心數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計思想；條件概率；探究式教學(xué)；數(shù)學(xué)抽象

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0022-04

概率與統(tǒng)計主要研究不確定現(xiàn)象，它是以確定性數(shù)學(xué)為工具來研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)，概率論是統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ).概率統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)重點(diǎn)內(nèi)容，近年來高考對概率統(tǒng)計的考查力度逐年加大，已成為高考的熱點(diǎn).高考概率統(tǒng)計的選擇題和填空題通?？疾榛A(chǔ)知識、基本概念，解答題主要考查概率與統(tǒng)計的綜合性問題，或概率統(tǒng)計與函數(shù)、概率統(tǒng)計與數(shù)列等其他數(shù)學(xué)知識板塊的綜合性問題，與社會生活緊密結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值與育人價值[1].

1 方法導(dǎo)入

1.1 概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 對任意的事件A，都有P（A）≥0.

性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）=1，P（φ）=1.

性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）.

性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）.

性質(zhì)5 如果

AB，那么P（A）≤P（B）.

性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，那么有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）.

1.2 頻率與概率的關(guān)系

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們常用頻率fn（A）估計概率P（A）.

2 問題研究

2.1 古典概型的應(yīng)用

例1 從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為.

解析 設(shè)“甲、乙都入選”為事件A，從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作包含的基本事件有C35個，事件A包含的基本事件有C13個，所以P（A）=

C13C35=310.

2.2 概率的綜合應(yīng)用

例2 某校命制了一套調(diào)查問卷（試卷滿分為100分），并對整個學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績，按照［50，60），[60，70），…，[90，100]分成5組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于50分）：

圖1 學(xué)生的成績頻率分布直方圖

（1）求頻率分布直方圖中x的值，并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）;

（2）用樣本估計總體，若該校共有2 000名學(xué)生，試估計該校這次測試成績不低于70分的人數(shù)；

（3）若利用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，試求成績在［80，90）內(nèi)的學(xué)生至少有1人被抽到的概率.

解析 （1）由頻率分布直方圖可得，第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，所以x=0.02，故估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為：

（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）.

由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4，前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7，

故中位數(shù)在［70，80）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為t分，

則（t-70）×0.03=0.1，解得t=2203.

故中位數(shù)為2203分.

（2）由（1）可知，50名學(xué)生的成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6，

用樣本估計總體，估計該校這次測試成績不低于70分的人數(shù)為2 000×0.6=1 200.

（3）由（1）知，后三組的人數(shù)分別為15，10，5，

由分層隨機(jī)抽樣可得，這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1，將這6名學(xué)生依次編號為a，b，c，d，e，f.記“從這6人中隨機(jī)抽取2人，成績在[80，90）內(nèi)的學(xué)生至少有1人被抽到”為事件 A .從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間

Ω=｛（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），

（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（ d，f），（e，f）} ，共15個樣本點(diǎn)，其中

A =｛（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），（d，f），（e，f）} ，共9個樣本點(diǎn).

所以P（A）=915=35.

2.3 用頻率估計概率

例3 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分.已知甲、乙兩人共進(jìn)行了三局比賽.

（1）若甲、乙兩人獲勝的概率均為0.5，用（9，0）表示甲勝三局時甲、乙兩人的得分情況，寫出甲、乙兩人所有的得分情況，并求甲、乙兩人得分之和為9分的概率；

（2）如果甲、乙兩人進(jìn)行3局2勝制的比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，用計算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)4或5時，表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽三局，所以3個隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

123 344 423 114 423 453 354

332 125 342 534 443 541 512

152 432 334 151 314 525

①用以上隨機(jī)數(shù)估計甲獲勝概率的近似值；

②計算甲獲勝的概率，并根據(jù)兩次計算的結(jié)果說明用頻率估計概率的可行性.

解析 （1）記“甲、乙兩人得分之和為9分”為事件A.

甲、乙兩人得分情況的樣本空間

Ω=｛（9，0），（7，1），（6，3），（5，2），（4，4），（3，6），（3，3），（2，5），（1，7），

（0，9）}，共10個樣本點(diǎn)，其中A={（9，0），（6，3），（3，6），（0，9）}，共4個樣本點(diǎn).

故甲、乙兩人得分之和為9分的概率為P（A）=410=25.

（2）設(shè)事件B={甲獲勝}.

①計算機(jī)產(chǎn)生的20組隨機(jī)數(shù)相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，其中事件 B 發(fā)生了13次，對應(yīng)的數(shù)組為：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，

用頻率估計事件B的概率近似值為

P（B）=1320=0.65.

②設(shè)事件Ci=（第i局甲獲勝，i=1，2，3}，且P（Ci）=0.6.由題可知甲獲勝為甲前2局獲勝或甲第3局獲勝前2局有1局獲勝，所以

P（B）=P（C1C2+C1C2C3+C1C2C3）

=P（C1）P（C2）+P（C1）P（C2）P（C3）+P（C1）P（C2）P（C3）

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=

0.648.

兩種方法計算的甲獲勝的概率接近，說明利用頻率估計概率是可行的.

2.4 相互獨(dú)立事件概率的求解

例4 甲、乙、丙三人打靶命中率分別為0.9，0.8和0.85，三人同時打一靶，但是否命中彼此互不影響，若每人一發(fā)，求：

（1）甲、乙同時命中的概率；

（2）三人都沒有命中的概率；

（3）恰有一人命中的概率.

解析 設(shè)甲命中為事件A，乙命中為事件B，丙命中為事件C.

由題意知事件A，B，C相互獨(dú)立，且P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85.

（1）甲、乙同時命中的概率為

P（AB）=P（A）P（B）=0.9×0.8=0.72.

（2）三人都沒有命中的概率為

P（A

BC）=P（A）P（B）P（C）=（1-0.9）×

（1-0.8）×（1-0.85）=0.003.

（3）恰有一人命中的概率為：

P（AB C+ABC+ABC）

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）

=0.9×（1-0.8）×（1-0.85）+（1-0.9）×0.8×（1-0.85）+（1-0.9）×（1-0.8）×0.85=0.056.

2.5 條件概率的應(yīng)用

例5 （2022年新高考Ⅰ卷第20題）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到數(shù)據(jù)見表1：

（1）能否有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件

“選到的人患有該疾病”，

P（B|A）P（B|A）

與

P（B|A）P（B|A）

的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

（?。┳C明：R=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）；

（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|B）的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值[2].

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），K2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值見表2：表2 K2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析 （1）由題中數(shù)據(jù)可知K2=200（40×90-10×60）2100×100×50×150=24gt;6.635，所以有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

（2）（?。㏑=P（B|A）P（B|A）

·

P（B|A）P（B|A）

=P（AB）P（A）·P（A）P（AB）·

P（A B）P（A）·P（A）P（AB）

=P（AB）·P（A B）P（AB）·P（AB），

=

P（AB）P（B）·P（B）P（AB）·P（A B）P（B）·P（B）P（AB）

=P（AB）·P（AB）P（AB）·P（AB）

=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）.

（ⅱ）由題表中數(shù)據(jù)可知，P（A|B）=40100=25，

P（A|B）=10100=110，

P（A|B）=60100=35，

P（A|B）=90100=910，

所以R=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）=6.

評注 本題主要考查邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新高考加強(qiáng)對數(shù)學(xué)應(yīng)用性和實(shí)踐性考查的特點(diǎn)，要求學(xué)生深刻領(lǐng)會對獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率的思想方法，具備數(shù)學(xué)建模能力.條件概率三種常見方法：

①定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=P（AB）P（A），求P（B|A）.

②樣本點(diǎn)個數(shù)法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n（A），再求事件.

③AB包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n（AB），得P（B|A）=n（AB）n（A）.

④縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型概率公式求解.

3 結(jié)束語

概率統(tǒng)計的教學(xué)，需要改革傳統(tǒng)教學(xué)方式，創(chuàng)新探究式教學(xué)模式.一方面，注重概念教學(xué)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.概念處于學(xué)科中心位置，反映學(xué)科本質(zhì)，凝聚著本學(xué)科的核心教育價值[3].概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)，用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，是統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ).在概率統(tǒng)計教學(xué)中，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以核心概念為中心構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.另一方面，注重數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，培養(yǎng)核心數(shù)學(xué)思維能力.高考概率統(tǒng)計問題設(shè)計指向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵能力，教學(xué)中注重典型問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生深入領(lǐng)會概率統(tǒng)計思想方法，對現(xiàn)實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，理解概率統(tǒng)計基本模型的本質(zhì)，如條件概率、用樣本估計總體、回歸分析、分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)等概率統(tǒng)計模型，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用概率統(tǒng)計思想表述、思考和解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張健.突出立德樹人導(dǎo)向 落實(shí)“五育并舉”：目標(biāo)談高考數(shù)學(xué)命題的新思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2021（25）：65-70.

[2] 張琥.2022年高考“概率與統(tǒng)計”試題分析與復(fù)習(xí)建議[J].高中數(shù)理化，2023（01）：2-8.

[3] 盧榮亮，龍艷文.融合其它內(nèi)容的概率統(tǒng)計命題思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（19）：15-17.

［責(zé)任編輯：李 璟］