圓錐曲線中三角形面積公式的探析與應(yīng)用

摘 要：圓錐曲線中的三角形面積公式可用不同的元素來(lái)表征：用直線斜率表征三角形面積公式；用向量為基本量表征三角形面積關(guān)系；用頂點(diǎn)坐標(biāo)表征三角形面積公式.文章舉例說明圓錐曲線中三角形面積公式的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：斜率三角形面積公式;向量三角形面積公式；坐標(biāo)三角形面積公式

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0072-04

圓錐曲線中含有三角形面積問題是各類考試中的熱點(diǎn)問題，但由于計(jì)算量大，常使運(yùn)算過程“卡殼”而無(wú)功而返.這與三角形面積公式的表征有很大的關(guān)系，用直線斜率表征三角形面積公式——斜率三角形面積公式；用向量為基本量表征三角形面積關(guān)系——向量三角形面積公式；用頂點(diǎn)坐標(biāo)表征三角形面積公式——坐標(biāo)三角形面積公式.用斜率三角形面積公式是一種解題思維慣性， 用向量三角形面積公式是一種思維遷移，用坐標(biāo)三角形面積公式是一種解題思維創(chuàng)新，對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的三角形用坐標(biāo)三角形面積公式，能很大程度上減少運(yùn)算量，易于形成“生動(dòng)·互動(dòng)”課堂，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，從而提高解題效率.

1 預(yù)備知識(shí)

公式：平面上點(diǎn)A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則△AOB的面積：

S△AOB=12x2y1-x1y2=12x1y2-x2y1，此三角形公式稱為“坐標(biāo)三角形面積公式”.

證法1 （把圖形進(jìn)行切割的方法）如圖1，設(shè)A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），過點(diǎn)B作BC⊥x軸，交OA于點(diǎn)C，則OA：y=y1x1x，C（x2，x2y1x1），

BC=y2-x2y1x1=x1y2-x2y1x1.

所以S△AOB=12BCx1=12x1y2-x2y1.

圖1 證法1示意圖

證法2 （用三角形面積公式證明）如圖1，設(shè)A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則OA：y=y1x1x，點(diǎn)B到直線OA：y1x-x1y=0的距離d=y1x2-x1y2x21+y21.

又OA=x21+y21，

所以S△AOB=12OAd=12x1y2-x2y1.

證法3 （用向量方法證明）如圖1，設(shè)A（x1，y1），O（0，0），B（x2，y2），則

OA=（x1，y1），OB=（x2，y2）.

所以S△AOB=12OAOBsinlt;OA，OBgt;

=12OAOB1-cos2lt;OA，OBgt;

=12OAOB

1-（OA·OBOAOB）2

=12（OAOB）2-（OA·OB）2

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1.

由此可知x1y2-x2y1的幾何意義是：由三點(diǎn)A，O，B所組成的三角形面積的2倍，或表示以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積［1］.

評(píng)注 以上三種方法，遵循了學(xué)生從初中到高中求解三角形面積公式的邏輯生成過程，以及知識(shí)形成的過程，呈現(xiàn)了解決問題進(jìn)階路徑的生成過程.

2 問題探析

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P（-263，33）滿足|PF1|+|PF2|=2a，且以線段F1F2為直徑的圓過點(diǎn)P.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線OM的斜率為k1，直線ON的斜率為k2，當(dāng)△OMN的面積為定值1時(shí)，k1k2是否為定值？若是，求出k1k2的值；若不是，請(qǐng)說明理由.

2.1 第（1）問解析

解析 設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），以線段F1F2為直徑的圓過點(diǎn)P，所以PF1⊥PF2.

所以PF1·PF2=（-c+263，-33）·（c+263，-33）=0.

所以c=3.

所以a2-b2=3.

將P（-263，33）代入x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），

解得a2=4，b2=1.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

2.2 第（2）問解析

解法1 用直線斜率為基本量來(lái)表征三角形面積關(guān)系——斜率三角形面積公式.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=m，

設(shè)M（m，y0），N（m，-y0），則m24+y20=1.①

又S△OMN=12×2|y0||m|=1，

所以m2y20=1.②

由①②解得m2=2，y20=12.

所以k1k2=y0m·-y0m=-y20m2=-14.

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立x24+y2=1，y=kx+m， 得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

△=64k2-16m2+16gt;0，

所以x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2.

所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+

km（x1+x2）+m2=m2-4k21+4k2.

所以k1k2=y1y2x1x2=m2-4k24m2-4.③

又|MN|=1+k2·|x1-x2|2

=1+k2·64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）（1+4k2）2

=41+k2·4k2-m2+11+4k2，

點(diǎn)O到直線MN的距離d=m1+k2，

所以S△ONN=12d×|MN|

=12·m1+k2·41+k2·4k2-m2+11+4k2

=2|m|4k2-m2+11+4k2=1.

（此三角形公式稱為“斜率三角形面積公式”）

即4m4-4（4k2+1）m2+（4k2+1）2=0，

解得m2=1+4k22.

代入③式，得

k1k2=y1y2x1x2

=m2-4k24m2-4

=（1+4k2）/2-4k24×（1+4k2）/2-4=-14.

綜上可知，當(dāng)△OMN的面積為定值1時(shí)，k1k2是定值-14.

解法2 用向量為基本量表征三角形面積關(guān)系——向量三角形公式.

如圖2，不妨設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)Q，OM：y=k1x，ON：y=k2x，∠MOQ=θ1，∠NOQ=θ2，則tanθ2=k2，tanθ1=-k1，S△MON=12OMONsin（θ1+θ2）.

圖2 第（2）問解法2示意圖

又tan（θ1+θ2）=-k1+k21+k1k2，

所以sin2（θ1+θ2）=k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1.

由x2M4+k21x2M=1，得x2M=41+4k21.

同理x2N=41+4k22.

所以O(shè)M2=x2M+k21x2M

=4k21+44k21+1，

同理可得ON2=4k22+44k22+1.

故S2△MON=14OM2ON2sin2（θ1+θ2）

=14·4k21+44k21+1·4k22+44k22+1·k21+k22-2k1k2k21+k22+k21k22+1=1.

即4（k21+1）（k22+1）（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）（k21+1）（k22+1）.

所以4（k21+k22-2k1k2）=（4k21+1）（4k22+1）.

所以16（k1k2）2+8k1k2+1=0.

所以（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

解法3 用點(diǎn)坐標(biāo)為基本量表征三角形面積關(guān)系——點(diǎn)坐標(biāo)三角形公式.

設(shè)OM：y=k1x，ON：y=k2x，M（x1，y1），N（x2，y2），

由面積公式S△MON=12x1y2-x2y1，得

S2△MON=14x1y2-x2y12=1.

即

（x1k2x2-x2k1x1）2=4.

即（x1x2）2（k2-k1）2=4.

由x214+k21x21=1，得x21=41+4k21.

同理x22=41+4k22.

代入（x1x2）2（k2-k1）2=4，

化簡(jiǎn)，得

16（k1k2）2+8k1k+1=0.

即（4k1k2+1）2=0.

所以k1k2=-14.

3 互動(dòng)練習(xí)

練習(xí) （2011年山東高考理科數(shù)學(xué)22題）已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：x23+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=62，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：x21+x22和y21+y22均為定值.

證法1 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由公式得

S△OPQ=12x1y2-x2y1.

故S2△OPQ=14x1y2-x2y12

=14（x21y22-2x1x2y1y2+x22y21）=32.

即x21y22+x22y21=6+2x1x2y1y2.①

又因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓上，有

x213+y212=1，

x223+y222=1.

故（x213+y212）·（x223+y222）=1.

即（x1x23）2+x21y22+x22y216+（y1y22）2=1.②

由①②得（x1x23+y1y22）2=0.

即x1x23=-y1y22.

兩邊平方，得x213·x223=y212·y222.

所以x213·x223=（1-x213）（1-x223）

=1-x21+x223+x213·x223.

故有x21+x22=3，y21+y22=23（3-x21）+23（3-x22）=4-23（x21+x22）=2.

綜上，x21+x22=3，y21+y22=2.

證法2 設(shè)P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

由公式，得

S△OPQ=12x1y2-x2y1=62·sin（α-β）=62，

解得sin（α-β）=±1.

從而α=β+π2+kπ，k∈Z.

故x21+x22=3cos2α+2cos2β=3（sin2β+cos2β）=3.

y21+y22=2sin2α+2sin2β=2（cos2β+sin2β）=2.

評(píng)注 通過以上幾例的解析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的三角形面積用坐標(biāo)三角形面積公式能很大程度上減少運(yùn)算量，提高解題效率.

4 結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，思維體現(xiàn)出從慣性到遷移再到創(chuàng)新的特點(diǎn)，構(gòu)建“生動(dòng)·互動(dòng)”課堂有利于促進(jìn)解題思維發(fā)展水平從低階走向高階.顯然，學(xué)生思維的發(fā)展也不是一蹴而就的，其思維層級(jí)從低階到高階的生長(zhǎng)必然是一個(gè)逐漸深化、不斷進(jìn)階的過程.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蔣滿林.行列式型面積公式的探究生成及應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（07）：13-14.

［責(zé)任編輯：李 璟］