對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文科第20題的解題思考

摘 要：以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文科第20題為載體，呈現(xiàn)試題與參考答案，剖析參考答案的思維過程，并從試題的考查目標(biāo)和亮點(diǎn)等角度給出簡(jiǎn)析，明確試題導(dǎo)向.據(jù)此，筆者給出常見的解法，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐給出思考.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；邏輯推理；目標(biāo)引領(lǐng)；一題多解

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0086-05

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在某種意義上講就是鍛煉數(shù)學(xué)的思維，即通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.高考題是命題專家集體智慧的結(jié)晶，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)具有較好的示范與引領(lǐng)作用.研習(xí)高考真題，可以明晰教與學(xué)的方向，落實(shí)國(guó)家的教育方針與政策，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的全面提升.下面以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文科第20題為例，給出解答、評(píng)析與思考.

1 試題與參考答案呈現(xiàn)

題目 （2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文科第20題）已知函數(shù)f（x）=ax-sinxcos2x，x∈（0，π2）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）+sinxlt;0，求a的取值范圍.

命題組提供的參考答案如下：

解法1 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f ′（x）=cos3x+cos2x-2cos3x，

當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，f ′（x）lt;0，f（x）在區(qū)間（0，π2）單調(diào)遞減.

（2）（下文稱解法1）當(dāng)a≤0時(shí)，

f（x）+sinx=ax+sinx（1-1cos2x）lt;0；

當(dāng)agt;0時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，π2）時(shí)，sinxlt;x，

所以f（x）+sinxgt;sinx·（a+1-1cos2x）.

因?yàn)閍gt;0，所以0lt;1a+1lt;1.

取x0∈（0，π2），滿足cos2x0gt;1a+1.

從而f（x0）+sinx0gt;0.

綜上，a的取值范圍為（-∞，0］.

第（1）問由cosx的有界性，易知f ′（x）lt;0，無需具體變形到

f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x.

第（2）問解法1根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性將f（x）+sinx（以下記為g（x））中三項(xiàng)分成兩組ax，-sinxcos2x+sinx，其中-sinxcos2x+sinx=sinx（1-1cos2x）lt;0，根據(jù)符號(hào)法則可知a≤0時(shí)符合題意，明確了參數(shù)的分類討論標(biāo)準(zhǔn)，即證明當(dāng)a≤0時(shí)均滿足題意；當(dāng)agt;0時(shí)，g（x）中的三項(xiàng)有兩項(xiàng)含有sinx，故嘗試將x用sinx替換配湊公因式.基于常用結(jié)論“當(dāng)x≥0時(shí)，x≥sinx；當(dāng)xlt;0時(shí)，xlt;sinx，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)”，將g（x）放縮成函數(shù)y=sinx（a+1-1cos2x），結(jié)合目標(biāo)通過解不等式找出一個(gè)反例，即證明了當(dāng)agt;0時(shí)均不滿足題意，從而得到結(jié)論的充要條件.

2 試題簡(jiǎn)析

本題以三角函數(shù)、多項(xiàng)式為背景，構(gòu)造了所要研究的函數(shù).通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，試題全面考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，這也是中學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).試題的第（1）問面向全體考生，體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性，利用導(dǎo)數(shù)就能得到函數(shù)的單調(diào)性，考查了考生通過導(dǎo)數(shù)解決問題的能力、計(jì)算與轉(zhuǎn)化的能力，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.試題的第（2）問體現(xiàn)了試題的選拔性，通過常用的函數(shù)不等式、放縮得到所證的不等式，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，具有較好的選拔功能[1].本題具有以下亮點(diǎn)：（1）試題巧妙地將三角函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)合，討論函數(shù)之間的不等問題.三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，具有一定的綜合性.（2）試題設(shè)計(jì)新穎，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，全面考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題.試題計(jì)算量小，要求考生多思考、少計(jì)算，力圖引導(dǎo)教學(xué)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，具有較好的選拔能力.（3）試題分步設(shè)問，逐步推進(jìn)，考查由淺入深，層次分明，重點(diǎn)突出，內(nèi)容豐富，使理性思維深度、知識(shí)掌握程度、運(yùn)算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分的展示，較好地考查了考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的引導(dǎo)作用.

3 試題的其他解法

解法2 由題意f（x）+sinxlt;0，

即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，x∈（0，π2）.

當(dāng)a≤0時(shí)，ax≤0，-sinxcos2x+sinx=-sinxtan2xlt;0，符合題意；

當(dāng)agt;0時(shí)，

g′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx

=cos4x+acos3x+cos2x-2cos3x，

記p（x）=cos4x+acos3x+cos2x-2，則

p′（x）=-sinxcosx（4cos2x+3acosx+2）lt;0.

所以函數(shù)p（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞減.

因?yàn)閜（0）=agt;0，

p（π2）=-2lt;0，

所以存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0.

當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g′（x）gt;0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增，故有g(shù)（x1）gt;g（0）=0，不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法2中，當(dāng)agt;0時(shí)，對(duì)g（x），p（x）分別求導(dǎo)從而確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，此時(shí)g（x）lt;0的充要條件為［g（x）］max=g（x1）lt;0，但g′（x）的隱零點(diǎn)x1的函數(shù)值g（x1）難以確定，抓住端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行排除，事半功倍.

解法3 記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，且g（0）=0，

g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

則g″（x）=sinx（cos2x-6）cos4x-sinx，x∈（0，π2），

有sinxgt;0，cos2x-6lt;0.

故g″（x）lt;0.

所以g′（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞減.

所以g′（x）lt;g′（0）=a.

當(dāng)g′（0）=a≤0時(shí)，g（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞減，所以g（x）lt;g（0）=0成立.

當(dāng)g′（0）=agt;0時(shí)，g′（π2）→-∞，則存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g′（x）gt;0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增，故有g(shù)（x1）gt;g（0）=0，不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法3對(duì)函數(shù)g（x）求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性與凹凸性，g（x）在區(qū)間（0，π2）上的凹凸性與參數(shù)a無關(guān)，始終為上凸函數(shù).合理準(zhǔn)確地研究函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解法3直接對(duì)g′（x）求導(dǎo)涉及分式，計(jì)算繁瑣一點(diǎn)，可得出g（x）的凹凸性和g′（x）的單調(diào)性.解法2對(duì)p（x）（分式函數(shù)g′（x）的分子）求導(dǎo)，只能得到g′（x）的單調(diào)性.

解法4 記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，可證xgt;sinx.

當(dāng)a≤0時(shí)，由x∈（0，π2），得ax≤asinx.

所以g（x）≤asinx-sinxcos2x+sinx.

記q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，則

q（x）=sinx（a-tan2x）lt;0，

符合題意.

當(dāng)agt;0時(shí)，由x∈（0，π2），得

axgt;asinx.

所以g（x）gt;asinx-sinxcos2x+sinx.

記q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，則

q（x）=-sinx（tanx-a）（tanx+a）.

故存在x2∈（0，π2），使得tanx2-a=0.

從而當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，g（x）gt;q（x）gt;0，不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，0）.

解法4中g(shù)（x）的三項(xiàng)有兩項(xiàng)含有sinx，故嘗試將x用sinx替換配湊公因式.根據(jù)結(jié)論“當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，xgt;sinx”將函數(shù)g（x）放縮成函數(shù)q（x），通過研究函數(shù)q（x）的性質(zhì)得到函數(shù)g（x）的相關(guān)性質(zhì).

解法5 由題意f（x）+sinxlt;0，即

axlt;sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2）.

記φ（x）=sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2），

φ′（x）=2-cos2xcos3x-cosx，

φ″（x）=sinx（6-cos2x）cos4x+sinxgt;0，

故函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，π2）上為下凸函數(shù)，φ′（0）=0，所以a≤0.

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法5分離函數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線y=ax與函數(shù)φ（x）在區(qū)間（0，π2）的圖象之間的上下位置關(guān)系，探求得到φ（x）在區(qū)間（0，π2）上為下凸函數(shù).y=ax為經(jīng)過點(diǎn)（0，0），斜率為a的直線，而函數(shù)φ（x）在x=0處的切線為y=0，根據(jù)下凸函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)論.

解法6 由題意f（x）+sinxlt;0，即

alt;（sinx）/（cos2x）-sinxx，x∈（0，π2）.

記m（x）=（sinx/cos2x）-sinxx，x∈（0，π2），則

m′（x）=x-2［（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx）］，

記n（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx），x∈（0，π2），則

n′（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）′x+（2-cos2xcos3x-cosx）-（sinxcos2x-sinx）′=［sinx（6-cos2x）cos4x+sinx］xgt;0.

因此，函數(shù)n（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞增，n（x）gt;n（0）=0，即m′（x）gt;0，則函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則，得

limx→0+m（x）=limx→0+（sinx）/（cos2x）-sinxx

=limx→0+［（sinx）/（cos2x）-sinx］′x′

=limx→0+（sinxcos2x-sinx）′

=limx→0+（2-cos2xcos3x-cosx）

=0.

所以a≤0.

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法6分離參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）的圖象之間的上下位置關(guān)系，由于y=a為水平直線，故不涉及函數(shù)m（x）的凹凸性，只需求出函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上的最小值（或下確界）.由于函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0，π2）上不存在最小值，用洛必達(dá)法則求出函數(shù)m（x）在區(qū)間（0，π2）上的下確界.

解法7 由題意f（x）+sinxlt;0，即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.

記g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

因?yàn)閤∈（0，π2），且g（0）=0，

所以g（x）lt;0的必要條件是g′（0）≤0.

因?yàn)間′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

所以必有g(shù)′（0）=a≤0.

下面證明當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）lt;0在區(qū)間（0，π2）恒成立.

當(dāng)x∈（0，π2），a≤0時(shí)，

g（x）lt;-sinxcos2x+sinx.

記h（x）=-sinxcos2x+sinx，

則h（0）=0.

h′（x）=cos4x+cos2x-2cos3x

=（cos2x+2）（cos2x-1）cos3x，

當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，h′（x）lt;0，所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞減.

故h（x）lt;h（0）=0.

所以g（x）lt;h（x）lt;0.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0］.

解法7根據(jù)g（0）=0，結(jié)合函數(shù)g（x）的連續(xù)性，利用“端點(diǎn)效應(yīng)”得到結(jié)論的必要條件g′（0）=a≤0，然后再加以篩選或驗(yàn)證，優(yōu)化了解題過程.當(dāng)a≤0，x∈（0，π2），根據(jù)符號(hào)法則可知ax≤0（本質(zhì)是將y=ax“放大”為y=0）.

4 教學(xué)思考

4.1 目標(biāo)引領(lǐng)方向，系統(tǒng)思維優(yōu)化過程

做任何事情都要明確目標(biāo)與任務(wù).第（2）問是求g（x）lt;0的參數(shù)a的取值范圍，自然的想法是研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.但g（x）的單調(diào)性可能受參數(shù)a的取值范圍的影響，此時(shí)需要分類討論，即解法3.分析函數(shù)g（x）的各組成部分，嘗試從不同角度得到各局部與整體的性質(zhì)，采用系統(tǒng)思維優(yōu)化解題過程.當(dāng)agt;0解法2通過p（x）的符號(hào)確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性.

4.2 重視邏輯推理，強(qiáng)化恒等變形

解法1與解法4中當(dāng)agt;0時(shí)，將函數(shù)g（x）縮小為函數(shù)q（x），再分別證明存在x0使得q（x0）gt;0，本質(zhì)是利用不等式的傳遞性證明函數(shù)的大小關(guān)系.通過充要條件直接求參數(shù)范圍一般不能放縮函數(shù).確定一個(gè)多項(xiàng)式的符號(hào)，往往將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)因式乘積或平方和的形式，離不開（因式分解、分子有理化等）恒等變形的能力.如解法1中f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x能有效提高學(xué)生的因式分解能力，解法2中g(shù)′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx寫成g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx的形式使后續(xù)求導(dǎo)更簡(jiǎn)捷.

解法5與解法6均從數(shù)形結(jié)合思想的角度直接求結(jié)論的充要條件，其中解法5需要用到函數(shù)φ（x）的凹凸性，解法6中n（x）在區(qū)間（0，π2）的最小值不存在是前進(jìn)的障礙.解法7利用必要性策略，根據(jù)特殊與一般的關(guān)系，選擇某一個(gè)切入點(diǎn)先排除一定不滿足結(jié)論的參數(shù)a的部分取值，進(jìn)而對(duì)參數(shù)a的余下的值進(jìn)行篩選.特別情況下，通過必要性策略得到的結(jié)果與結(jié)論相同，但驗(yàn)證的過程必不可少.

4.3 明晰解題依據(jù) 選擇合適解法

高考命題不斷完善考試內(nèi)容，創(chuàng)新考查形式，豐富評(píng)價(jià)手段，強(qiáng)化保障措施，取得了一系列突破性進(jìn)展，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：（1）落實(shí)立德樹人，實(shí)現(xiàn)高考由考試評(píng)價(jià)工具到全面育人載體的轉(zhuǎn)變；（2）科學(xué)服務(wù)選才，實(shí)現(xiàn)高考由“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變；（3）有效引導(dǎo)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的轉(zhuǎn)變.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是應(yīng)對(duì)新高考的唯一選擇，也只有這樣，才能以不變應(yīng)萬變.教學(xué)中應(yīng)避免獵奇心理、片面地為“一題多解”而刷題找依據(jù)和深挖洞、曲解命題意圖為搞“二級(jí)結(jié)論”尋找理由等.以上給出7種解法，教師要明確各種解法的依據(jù)，根據(jù)學(xué)生的具體情況至多選擇2～3種解法.解法2更貼近學(xué)生認(rèn)知，理應(yīng)強(qiáng)調(diào).解法1看似新穎，大道至簡(jiǎn)，其中常用結(jié)論“當(dāng)x≥0時(shí)，x≥sinx；當(dāng)xlt;0時(shí)，xlt;sinx；當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)”根植教材，引領(lǐng)我們回顧教材.解法7以局部與整體為切入點(diǎn)，壓縮了參數(shù)的給值范圍，提高了解題效率，引導(dǎo)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)解題的邏輯.

5 結(jié)束語

本題第（2）問為含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).其解法靈活多樣，我們要弄清各種解法之間的差異，構(gòu)建各種解法之間溝通的橋梁.知其然更要知其所以然，并知何由以知其所以然.促進(jìn)從知識(shí)的積累到經(jīng)驗(yàn)的提升，從基本能力的提高到數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的全面提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 教育部教育考試院.高考試題分析（2024年版）數(shù)學(xué)[M].北京：語文出版社，2023.

［責(zé)任編輯：李 璟］