基于預測案例的馬爾科夫鏈教學方法研究

摘 要：馬爾科夫鏈由于其對過去、現(xiàn)在、未來狀態(tài)關系的物理內涵，是實際工程經常運用的數學概念，多用于對未來狀態(tài)的預測，廣泛應用于態(tài)勢估計、模型構建、趨勢預測等方面中。在高校隨機過程課程安排中，針對馬爾科夫鏈的教學內容公式化，學生理解較淺，不利于工程實踐能力培養(yǎng)。該文重點采用案例教學法，以飛機目標跟蹤預測實際工程案例為主線，馬爾科夫鏈物理內涵實現(xiàn)的課程內容為輔線，結合生活中諸多案例講授本節(jié)課程的教學重點及其應用，激發(fā)學生對隨機過程課程的探索興趣，鍛煉學生自主思考能力。課程強調理論與實踐相結合體系，提升學生運用課程內容解決實際問題的能力，并根據馬爾科夫鏈的物理內涵，啟發(fā)學生保持對未來積極向上、努力拼搏的精神。

關鍵詞：馬爾科夫鏈；隨機過程；案例教學法；目標跟蹤預測案例；課程思政

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）35-0023-06

Abstract： Markov chains， due to their physical implications regarding the relationships between past， present， and future states， are concepts frequently applied in practical engineering， primarily for future predition. They are widely used in situation estimation， model construction， trend forecasting， and other areas. In the course design for stochastic processes at universities， the teaching content on Markov chains is too formulaic for students to develop a deep understanding and hindering the cultivation of engineering practice skills. This paper focuses on the case-based teaching method， using an engineering example of aircraft target tracking and prediction as the main thread， supplemented by cases from daily life， to explain the concept and physical significance of Markov chains. This approach emphasizes the mathematical content and their applications， encouraging students to think and explore engineering problems independently. The course integrates theory with practice to enhance students' ability to solve real-world problems using theoretical content. Additionally， based on the physical implications of Markov chains， students are guided to maintain a positive and proactive outlook on life， striving for success in the future.

Keywords： Markov chain; stochastic process; case-based teaching method; target tracking prediction case; course moral education

隨機過程理論作為一門應用數學學科，由于在工程實踐中廣泛應用，是當前高校必選專業(yè)課程之一，具有專業(yè)性強、內容抽象深奧、概念知識繁多等特點[1]，在傳統(tǒng)“灌輸式”教學方式中，教師授課“重講，輕應用”，導致學生缺失理論與實際應用相聯(lián)系能力，眾多學生反映這門課程教學體驗單一、內容深奧難懂等問題[2]，難以實現(xiàn)提升學生數學理論實際應用、概念公理深層次理解的課程教學目標[3]。

馬爾科夫鏈是隨機過程理論課程中馬爾科夫過程這一章節(jié)的基石，既具備馬爾科夫過程的物理特性與內涵，形式上相對簡單，在課程內容體系架構上，又是馬爾科夫過程的基石，學生的有效理解有利于課程循序漸進、由淺入深[4]。同時，馬爾科夫過程，包括馬爾科夫鏈，具有基于過去狀態(tài)對未來狀態(tài)判定的物理含義[4]，在實際生活、科研工程中對未來狀態(tài)的預測有著廣泛的應用與影響[5-7]，是本門課程理論應用于實際一重大實現(xiàn)，在當前科研環(huán)境中依舊基于馬爾科夫理論進行相關研究，因此馬爾科夫鏈的學習是學生體會數學知識在生活、工程問題中靈活應用的關鍵節(jié)點，引導學生理解領悟馬爾科夫鏈內容內涵具有較高的教學價值。

在實際教學過程中，課程本身具有強烈的數學色彩，使得普遍教學方法傾向于圍繞數學推導進行嚴謹分析。數學分析環(huán)節(jié)必不可少，但過于依仗數學分析的傳統(tǒng)教學方式下，學生容易對課程內容產生抵觸心理，而且不利于鍛煉學生自發(fā)思考、實際應用的能力，導致教學成效甚微。近年來，為激發(fā)學生學習積極性，許多教師將新式教學方法引入課堂，如比照推演法[8-10]、案例法[2-3，10]、思政法[2，10]等，在課程講授過程中穿插使用，提升了學生對課程的接受程度。針對隨機過程數學嚴謹性與應用性較強的課程，不能降低對數學邏輯推導的比重，同時應該靈活運用多種教學方式，通過讓學生從實際工程中發(fā)現(xiàn)問題，利用理論知識進行分析，最終回到現(xiàn)實中尋找解決方案。

本文以馬爾科夫鏈課程的教學為研究對象，采用進一步演化的案例教學法，將飛機目標跟蹤預測這一復雜工程案例[5-7]貫穿課程主線，結合比照推演和思想政治引導等教學手段，力求在理論與實踐結合的基礎上深化教學效果。通過穿插比賽、天氣等具有實際參照意義的小案例輔助講解，逐步引導學生在動態(tài)思考中深入理解馬爾科夫鏈的核心概念和基礎理論，提高其分析和解決現(xiàn)實問題的能力。在教學設計上，教學方式強調從實際問題出發(fā)，通過理論框架的逐步滲透，學生不僅能掌握馬爾科夫鏈的數學基礎與推演方法，還能應用這些理論工具于復雜的工程場景中進行預測與優(yōu)化。與此同時，教學過程中融入思政教育，利于幫助學生形成科學的世界觀、人生觀和價值觀，引導他們在知識學習和應用過程中樹立積極的社會責任感和職業(yè)操守。此種教學模式為高校教師提供了具有創(chuàng)新性和實踐性的教學參考，對于提高學生的理論素養(yǎng)和實踐能力，具有廣泛的借鑒意義。

一 教學內容

（一） 目標跟蹤預測案例與馬爾科夫鏈的聯(lián)系

目標跟蹤預測是實際應用馬爾科夫鏈的工程任務之一，是我國維護國家安全、領土完整的重要手段。以飛機目標為例，為及時阻止可疑目標進入我國領空，需要在偵查捕獲該目標位置、速度等狀態(tài)信息時，預測其未來狀態(tài)，從而進行攔截[9]。這一目標跟蹤預測任務就包含三類信息，以目標捕獲的時刻為當前時刻，捕獲前為過去狀態(tài)信息，需要預測的是未來狀態(tài)信息[7]。為保證預測結果盡量準確，一般采用通過提取較多過去狀態(tài)信息進行趨勢、規(guī)律分析，提高預測準確率；而實際上由于目標可能存在來源不明的情況，過去狀態(tài)信息不足，可以通過馬爾科夫鏈這一數學概念，明確“目標未來時刻位置只與當前時刻位置有關，而與過去時刻狀態(tài)無關”的物理內涵從而解決位置預測的問題。

在本節(jié)課程內容全部講授完畢時，重新回顧目標跟蹤預測案例，將馬爾科夫鏈應用到目標運動狀態(tài)預測中，對未來某時刻目標位置預測關聯(lián)簡化到只與最近一次跟蹤所得目標信息有關，降低模型復雜度，構建目標狀態(tài)模型。最終對比實際軌跡與預測軌跡結果，差異較小，以實際案例闡述了馬爾科夫鏈在預測問題上的應用，類推其他工程應用實際預測問題。

（二） 重難點分析

1 重點內容

1）轉移概率的概念：圍繞由當前狀態(tài)去預測未來狀態(tài)的核心問題，在引入馬爾科夫鏈之后，理解未來狀態(tài)的預測可以通過馬爾科夫鏈降維，具體是如何進行預測的呢？基于足球比賽結果預測、天氣預測案例，理解基本（一步）轉移概率，到k步轉移概率，k步轉移矩陣的概念；明確條件概率在轉移概率中應用的內涵，明晰步數與狀態(tài)對應關系?；巨D移概率即為已知最近一次的狀態(tài)，預測下一次的狀態(tài)；類推到k步轉移概率，即為已知最近一次的狀態(tài)，預測k次后的狀態(tài)。這里的“次”就是步數，通常指均勻采樣的時刻；狀態(tài)是隨機序列狀態(tài)空間中的一種可能。而將k步轉移概率以狀態(tài)空間到狀態(tài)空間的形式排列，即形成高維的k步轉移矩陣。

2）切普曼-柯爾莫戈羅夫方程及其推導過程：基于轉移概率的概念，基本轉移概率與k步轉移概率存在步數上的差異。基本轉移概率只有一步，忽略步數與條件概率的表達方式相同，獲取統(tǒng)計結論較為容易；而需要轉移k步時，迭代次數增多，難以獲取準確的統(tǒng)計結果。引導學生思考如何獲取k步轉移概率，增加中間過渡態(tài)，推導得出k步轉移概率可以將步數分為兩組乘積求和的形式，從而得到切普曼-柯爾莫戈羅夫方程。

3）齊次馬爾科夫鏈的概念：在熟悉了馬爾科夫鏈、轉移概率、切普曼-柯爾莫戈羅夫方程的數學公式后，引入齊次性的概念，一般情況下轉移概率是與當前時刻、狀態(tài)相關的條件概率，齊次性的加持使之簡化為與當前時刻無關的條件概率，具有平穩(wěn)轉移概率的特性。由于轉移概率不受初始時刻約束，齊次k步轉移概率與齊次k步轉移矩陣均可應用切普曼-柯爾莫戈羅夫方程簡化為基本轉移概率與基本轉移矩陣的冪函數形式，指數為步數k。結合天氣預測案例，齊次性可以大大簡化問題難度，將k步預測降維為一步預測。雖然齊次馬爾科夫鏈具有預測問題簡化的能力，但要注意這里的齊次性，即轉移概率與時刻無關的前提條件。

2 難點內容

馬爾科夫鏈的概念是由目標跟蹤預測工程實例引出的，對于不熟悉馬爾科夫性的學生來說，是全新的數學概念，通過目標跟蹤預測案例思考如何用目標當前狀態(tài)科學合理預測目標未來狀態(tài)的問題，引入概念，明確馬爾科夫性是只考慮最近一次結果預測未來結果的特性，并非純粹無記憶性，也具有無后效性的特征。用數學方式表示過去、現(xiàn)在與未來的對應時刻與狀態(tài)后，結合條件概率的定義，得出馬爾科夫鏈的數學公式，其物理內涵是在離散的時間序列中，定義離散的狀態(tài)，未來狀態(tài)只與現(xiàn)在時刻狀態(tài)有關，與過去狀態(tài)無關。

馬爾科夫鏈的數學公式中等式兩側均為轉移概率，過去、現(xiàn)在、未來對應到時刻，狀態(tài)為狀態(tài)空間中的一項，轉移概率是一個時刻到未來一個時刻狀態(tài)轉移的條件概率。為計算時刻相差多個采樣數后轉移概率，即k步轉移概率，分為兩次進行轉移，推導出切普曼-柯爾莫戈羅夫方程，將k步轉移概率分解為兩次較低維度轉移。引入齊次性后，就可以降為基本轉移概率的冪。從數學計算角度說明了對未來狀態(tài)預測所需的當前狀態(tài)參量，以及所需的計算方法，作為完整的馬爾科夫鏈課程內容講述，以問題引入由果溯因，回答如何預測未來狀態(tài)的問題。

二 關鍵教學環(huán)節(jié)設計

（一） 目標跟蹤預測案例主線設計

將目標跟蹤預測案例作為課程主線，從解決工程問題的角度引入核心課程內容，引導學生思考，激發(fā)學生學習興趣，提升學生工程應用能力，促使學生自發(fā)思考探索，達成課程學習最終目標。

主線設計主要體現(xiàn)在兩方面：首先由目標跟蹤預測案例引入，拋出未來狀態(tài)預測的解決方法，進入課程教學內容；在課程內容的重難點隨著問題逐步解決漸漸明確敘述后，重新審視目標跟蹤預測問題，運用課程內容，直接給出解決方案，說明其可行性。這樣是以先倒序闡述，后正序說明的方式，梳理目標跟蹤預測案例解決思路，便于學生理解。

1 預測案例引入

在課程的開始，引入預測類問題，如未來的天氣、股價，自動駕駛中的行為預測、輸入法推測接續(xù)的詞語等等[8]。在諸多的預測應用實例中，選擇科工關鍵的目標跟蹤預測案例進行具體介紹，以飛行目標為例，需要關注三個層面的問題：①目標從何處來？在目標被探測之前，這些信息是未知的。②目標的當前狀態(tài)怎樣？目標被探測到之后，可以獲取位置、速度等信息。③目標下步去哪？也就是最重要的預測類問題，即雷達能否用當前狀態(tài)的有限信息，求解目標跟蹤預測的問題。

通過具體案例的分析引發(fā)學生對未來狀態(tài)預測問題的思考，怎樣才能由目標當前狀態(tài)預測目標未來狀態(tài)呢？從而引入馬爾科夫鏈這一解決途徑，進入課程內容敘述。

2 預測案例應用

在對以上教學重點與難點內容完成講授后，未來狀態(tài)預測問題由馬爾科夫鏈降維到計算參數量較低的轉移概率，證明切普曼-柯爾莫戈羅夫方程得出多步轉移概率計算方式，引入齊次性降低計算難度，到此未來狀態(tài)問題從馬爾科夫鏈的方向得到完全的解決方案。重新思考課程開始的目標跟蹤預測案例，明確馬爾科夫鏈在目標跟蹤狀態(tài)建模的作用，實現(xiàn)理論基礎在實際工程中的應用。

假設目標做一維勻速直線運動，目標初始位置為x0，目標速度為？淄，根據牛頓運動方程，目標的位置處于x=x0+？淄·t。假設對目標運動情況進行離散采樣（時間間隔為T），則目標在不同時刻的位置可由下式迭代計算得到[8]

式中位置x的下標為時刻。在當前案例中，可以認為每次采樣目標運動狀態(tài)相互獨立，且第k+1時刻目標的位置xk+1可僅有由k時刻目標位置xk、速度？淄以及采樣間隔T決定，故此過程可以看作是馬爾科夫鏈，可只考慮最近一次采樣目標狀態(tài)對未來狀態(tài)預測的影響。由此，通過牛頓運動方程x=x0+？淄·t建立目標離散狀態(tài)模型xk+1=xk+？淄·T。

將目標運動狀態(tài)以Xk=[xk，？淄k]T表示，也就是系統(tǒng)狀態(tài)；離散狀態(tài)模型可建模為Xk+1=F·Ｘk，實際中考慮運動過程噪聲可建立運動目標模型為Xk+1=F·Ｘk+Wk，其中F=1 T0 1為狀態(tài)參數矩陣，Wk=Wk ，xWk ，？淄為服從高斯分布的過程噪聲。在實際應用中目標狀態(tài)通常延伸到三維空間，此時目標運動狀態(tài)可構建為Xk=xk，？淄x，yk，？淄y，zk，？淄zT，F(xiàn)，Wk維度相應上升。估計F，Wk即可預測得到Xk+1未來狀態(tài)。

實際上由于估計總會出現(xiàn)誤差，工程中常常使用卡爾曼濾波進行狀態(tài)與誤差的反饋迭代與更新，使預測結果更為準確。圖1是依據馬爾科夫鏈構建的目標運動狀態(tài)模型經過卡爾曼濾波后得到的理想軌跡，以及實測飛機目標跟蹤軌跡的示意圖，可以發(fā)現(xiàn)軌跡預測準確度較高。隨著轉移步數的增多，誤差也有所增大，因此根據當前狀態(tài)可較準確預測到的未來狀態(tài)也是有限的，鼓勵同學們自發(fā)探索如何進一步提高模型構建可預測能力。

圖1 飛機目標理想軌跡與跟蹤軌跡對照示意圖

總體來說，目標下一時刻的位置和狀態(tài)只與當前時刻的位置和狀態(tài)有關，受過去時刻狀態(tài)影響較小，體現(xiàn)了馬爾科夫鏈無后效性的特征。

（二） 馬爾科夫鏈教學內容輔線設計

通過主線目標跟蹤預測案例提出的問題，一層一層抽絲剝繭，分析已知量與未知量，逐步將復雜問題簡單化。以提出問題，分析問題，解決問題，再提出新的問題的方式，站在學生的思考邏輯中進行教學講授。根據本課的教學重點與難點，通過下述問題引入課程關鍵內容：

①如何根據目標當前狀態(tài)預測目標未來狀態(tài)？引入馬爾科夫鏈，分析馬爾科夫特性，給出馬爾科夫鏈數學定義，降低未來狀態(tài)預測維度。②根據馬爾科夫鏈數學公式，引入轉移概率。轉移概率是如何定義的？與哪些參數有關？轉移概率是特殊的條件概率，與已知狀態(tài)的時刻、未知狀態(tài)時刻和狀態(tài)空間的項有關。③k步轉移概率如何獲?。恳霠顟B(tài)轉移過渡時刻，將k步分為兩次轉移實現(xiàn)，即可將k步轉移概率降維到步數更少的轉移概率計算中，得到數學公式復雜的切普曼-柯爾莫戈羅夫方程。④若假設同一采樣率下隨機過程的轉移概率不受時刻影響，即齊次性條件下，k步轉移概率如何獲取？引入齊次性，更新切普曼-柯爾莫戈羅夫方程，得到齊次性馬爾科夫鏈定義，由k步降維為一步的冪函數。

通過環(huán)環(huán)相扣的問題引導，教學思路利于學生理解并接受邏輯性、數學性較強的課程內容，形成思路閉環(huán)，明確課程內容框架。

1 馬爾科夫鏈

由目標跟蹤預測案例引入，預先告知學生馬爾科夫鏈是該預測問題的解決方案。在講述具體數學公式前，先讓學生理解什么是馬爾科夫，以兩支隊伍足球比賽結果預測為例，隨機過程根據記憶特性可以分為三類：①純粹隨機過程：不考慮兩支球隊的過去表現(xiàn)進行預測。②馬爾科夫過程：只考慮兩支球隊最近一次比賽的成績進行預測。③非馬氏過程：考慮兩支球隊過去的諸多成績，或者全部成績，進行預測。

為準確描述馬爾科夫過程在過去、現(xiàn)在、未來狀態(tài)關系，具體說明馬爾科夫鏈的定義：馬爾科夫鏈是狀態(tài)和時間均為離散值的馬爾科夫過程[2]。設存在隨機序列{Xn，n∈N+}，其狀態(tài)空間S={a1，a2，…，an}，對所有的n∈N+，有：

其定義的主要兩個部分為狀態(tài)a■和時間n，描述了狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律?？梢钥闯觯魧r間n-1設為現(xiàn)在，n設為未來，n-2，n-3，…，1設為過去，則上式描述的含義為：系統(tǒng)的現(xiàn)在狀態(tài)已知，那么系統(tǒng)未來的狀態(tài)與過去的狀態(tài)無關，只與現(xiàn)在狀態(tài)有關。這就是馬爾科夫鏈的特性——無后效性。

由定義即可看出馬爾科夫鏈的特性，然而對于初次接觸馬爾科夫過程的學生來說，理解只局限于其數學公式。觀察馬爾科夫鏈表達式，為進行未來狀態(tài)的預測，對條件概率降維簡化，得到的條件概率叫作轉移概率，為明晰轉移概率的物理概念，進入下一步的課程學習。

2 轉移概率

將轉移概率的定義具體分析為下式

式中：i，j∈S，表示系統(tǒng)從m時刻到n時刻，共經過n-m的時間后，狀態(tài)由i轉換成j的概率。S為狀態(tài)空間，X為序列，a為對應的狀態(tài)。m時刻的狀態(tài)i可以理解為當前狀態(tài)是已知條件，因此轉移概率的本質為條件概率，具有如下的性質：

pij（m，n）≥0

從m時刻開始，若只轉移一步，狀態(tài)由i轉換成j，即基本（一步）轉移概率定義如下：

從m時刻開始，若轉移k步，狀態(tài)由i轉換成j，即k步轉移概率定義如下：

考慮到整個狀態(tài)空間的轉移概率，即可得到k步轉移矩陣定義如下：

轉移概率可用來描述馬爾科夫鏈不同時刻不同狀態(tài)之間的轉移特性，為輔助學生理解，以天氣預測案例為例進行補充說明。

在這個例子中，我們將天氣可能性，即狀態(tài)空間中的項限制為3種，雨天、雪天、晴天；我們研究的對象是在一段時間內每一天的天氣，因此這段時間內的天氣就形成了隨機序列，以1天為采樣間隔。假設明天的天氣只和今天的天氣有關，和昨天及昨天之前都無關，天氣狀態(tài)序列就形成了一個馬爾科夫鏈，體現(xiàn)了“化繁為簡”的降維思想，將n個時刻的n維問題變成2個時刻的2維問題。定義雨天、雪天、晴天之間的轉移概率，從而形成一步轉移概率矩陣：

定義矩陣的行表示當前狀態(tài)，列表示未來狀態(tài)，從上到下、從左至右分別為雨天、雪天、晴天狀態(tài)。

若已知今天下雪的概率為0.3，那么明天晴天的概率即可通過0.3×0.1=0.03獲得。通過天氣預測案例，加深學生對轉移概率的理解。

3 切普曼-柯爾莫戈羅夫方程

從統(tǒng)計學角度來說，基本轉移概率已知，獲取較容易，但k步轉移概率由于復雜度較高，應如何求解呢？以天氣預測為例，如果想知道后天、大后天、未來一周的可能天氣概率，又該如何計算呢？

由上述推導可得出切普曼-柯爾莫戈羅夫方程：

該方程針對馬爾科夫鏈，給出其k步轉移概率計算方式，即用兩部分轉移概率的乘積求和計算k步轉移概率，可逐步分解到一步轉移概率進行計算。

4 齊次馬爾科夫鏈

學習了切普曼-柯爾莫戈羅夫方程后，雖然可以計算k步轉移概率，但是在k比較大的情況下，即使使用二分法也要乘積求和多次，計算起來較困難。故引入齊次的概念，簡化計算。

“齊次”的含義是系統(tǒng)的轉移概率與時間無關，即具有平穩(wěn)轉移概率。與時間無關，則齊次馬爾科夫鏈的定義簡化如下：

在此基礎上，可以根據其一步轉移概率寫出轉移概率矩陣：

同樣地，在齊次前提下，轉移概率矩陣也與時刻無關。

在此基礎上引入齊次馬爾可夫鏈滿足的切普曼-柯爾莫戈羅夫方程：

上式表示齊次馬爾科夫鏈可由一步轉移概率確定k步轉移概率，即可知齊次馬爾科夫鏈的初始分布和轉移概率即可確定其有限維分布。

再次回顧天氣預測案例。已知雨天、雪天、晴天之間的轉移概率，第一天下雪，則第五天是晴天的概率是多少？根據齊次馬爾科夫鏈和一步轉移概率定義，求解未來任意一天的氣象狀態(tài)可以由迭代運算分步實現(xiàn)，已知一步轉移概率可完全確定k步轉移概率，即引出切普曼-柯爾莫戈羅夫方程：

由上式可求得氣象預測問題的五步轉移概率：

。

即可知第一天下雪概率0.3，則今天下雪，第五天是晴天的概率為0.294 5，則第五天為晴天的概率是0.3×0.294 5=0.088 35。天氣預測案例生動形象地加深了學生對新概念和定理的理解，并通過利用新概念解決問題，形成“學以致用”的良性循環(huán)，進一步梳理鞏固馬爾科夫鏈的教學邏輯鏈。

（三） 馬爾科夫鏈反映出的課程思政

馬爾科夫鏈的本質是未來狀態(tài)僅由當前狀態(tài)決定，不受過去狀態(tài)影響，是一種有限記憶性，無后效性。工程上經常應用馬爾科夫鏈進行降維操作，簡化或者說弱化過去狀態(tài)對未來狀態(tài)的影響，利用有限的信息進行預測。馬爾科夫鏈的物理內涵正如陶淵明所作《歸去來兮辭》中的一句話，“悟已往之不諫，知來者之可追”，過去的錯誤已經不可挽回，但未來的事還值得去追尋。過去的狀態(tài)已經發(fā)生了，但馬爾科夫鏈告訴我們，把握當下的狀態(tài)，才是對未來狀態(tài)的最好影響，不要拘泥于遙遠過去，請放眼充滿可能性的未來。

三 結束語

為培養(yǎng)學生應用課程理論知識解決工程實際問題的能力，加深學生對課程知識的理解，本文介紹了以預測類案例為引導的馬爾科夫鏈教學方案，課程教學以目標跟蹤預測問題為主線，結合球賽預測、天氣預測等小案例，將馬爾科夫鏈教學重點與難點按照倒序的方式，以學生思考問題的思路逐步剖析并闡述概念與內涵，巧妙地將數學公式與推導和預測案例融合在一起，加深學生對理論知識的思考，培養(yǎng)學生善于分析問題、解決問題的理論應用能力。在此基礎上，針對目標跟蹤預測案例，討論目標跟蹤建模中的馬爾科夫特性，明確馬爾科夫鏈在此類預測案例中的應用方法，引導學生對馬爾科夫特性的深層次思考，培養(yǎng)健康向上、積極進取的拼搏觀、價值觀。

本文設計的教學方案在幫助學生熟練掌握馬爾科夫特性的同時，也是一種教學方案的革新，提升工程案例在課程講解中的比重，將課程內容與案例有效結合，有利于提升學生對課堂內容的掌握程度，提高學生研習的積極性與主動性，鍛煉學生思維，有效實現(xiàn)學生能力培養(yǎng)。

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