多層次實(shí)踐促數(shù)學(xué)理解進(jìn)階

［摘 要］ 文章以“三角形的三邊關(guān)系”為例，將數(shù)學(xué)理解分為五個層次水平，從尺規(guī)作圖感悟、分析推理歸納、據(jù)于事實(shí)驗(yàn)證、變式練習(xí)內(nèi)化、生活實(shí)例延伸等不同角度設(shè)計多樣數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐活動，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解進(jìn)階。

［關(guān)鍵詞］ 多層次實(shí)踐；數(shù)學(xué)理解；進(jìn)階

數(shù)學(xué)理解是學(xué)生在經(jīng)歷對數(shù)學(xué)對象的理解性學(xué)習(xí)后，形成對數(shù)學(xué)對象及其知識外延的本質(zhì)性認(rèn)識，從而能夠描述相關(guān)數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)對象的知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)將數(shù)學(xué)對象應(yīng)用于問題的發(fā)現(xiàn)與解決中［１］。在眾多數(shù)學(xué)能力中，數(shù)學(xué)理解處于核心地位，它既是教學(xué)目標(biāo)，也是一種教學(xué)手段，對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著至關(guān)重要的作用。王瑞霖和綦春霞認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解不簡單等同于對數(shù)學(xué)的理解，而是一種理解數(shù)學(xué)的能力，它既是學(xué)習(xí)過程，也是學(xué)習(xí)結(jié)果。結(jié)合這些專家學(xué)者的觀點(diǎn)，筆者將數(shù)學(xué)理解分為經(jīng)驗(yàn)表象理解、形式解釋理解、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)理解、遷移創(chuàng)造理解與數(shù)學(xué)文化理解五個層次，并努力探索促進(jìn)學(xué)生理解進(jìn)階的有效策略。

筆者結(jié)合“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾瓮ㄟ^多層次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動來促進(jìn)學(xué)生理解進(jìn)階。

一、尺規(guī)作圖感悟關(guān)系，形成經(jīng)驗(yàn)表象理解

小學(xué)生的思維形式多以形象直觀思維為主，可以借助情境、實(shí)物、圖形、動作等方式進(jìn)行數(shù)學(xué)理解。在學(xué)生頭腦中保留直觀形象的理解是表象理解，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)理解能力的第一階段。

“三角形的三邊關(guān)系”是在學(xué)生認(rèn)識三角形的特征、會畫底和高的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。根據(jù)本節(jié)課的知識體系，筆者先創(chuàng)設(shè)了從體育中心去羽毛球館選擇路徑的情境，引出“兩點(diǎn)之間線段最短”，找到三角形三條邊之間的一種關(guān)系，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。然后，筆者設(shè)計了一項(xiàng)即時性的操作實(shí)驗(yàn)：三條同樣長的線段，能圍成三角形嗎？請從四條不同長度的線段中任選一種，用直尺和圓規(guī)畫一畫。學(xué)生進(jìn)行尺規(guī)作圖，發(fā)現(xiàn)三條同樣長的線段都能圍成三角形。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步操作實(shí)驗(yàn)：三條不同長度的線段，能否圍成三角形？請從四條線段中任選三條，用直尺和圓規(guī)畫一畫。結(jié)合操作實(shí)驗(yàn)，筆者讓學(xué)生一邊展示，一邊思考：為什么有的線段能圍成三角形，有的線段不能圍成三角形呢？借助展示活動，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)所選線段能否圍成三角形與線段的長度有一定的關(guān)系。

在這個環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計中，教師引導(dǎo)學(xué)生充分借助情境和生活經(jīng)驗(yàn)思考，合理利用多元表征，讓學(xué)生初步感知三角形的三邊關(guān)系。傳統(tǒng)教學(xué)中教師會引導(dǎo)學(xué)生借助小棒進(jìn)行操作分析，但因?yàn)閷?shí)物操作會造成一定的誤差，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)造成不必要的干擾。本課教師引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖，使活動更加嚴(yán)謹(jǐn)，讓學(xué)生在畫弧的操作中直觀地感受交點(diǎn)的情況決定能否圍成三角形。這樣既豐富了學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)概念，發(fā)展了幾何直觀，又在真實(shí)情境的探索中激活學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn)表象理解。

二、分析推理歸納關(guān)系，形成形式解釋理解

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解是循序漸進(jìn)的，教學(xué)中教師要注意學(xué)生思維活動的規(guī)律性，引導(dǎo)學(xué)生由淺到深地分析、推理，學(xué)會數(shù)學(xué)方法中的“理”。學(xué)生通過對經(jīng)驗(yàn)理解的整理、組織、建構(gòu)、重新表征，剔除數(shù)學(xué)問題的非本質(zhì)屬性，以形式化的語言表述數(shù)學(xué)對象，能獲得對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認(rèn)識。“形式解釋理解”注重數(shù)學(xué)知識的生成過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想和方法，表現(xiàn)為“知其所以然”。

在本課教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助兩次尺規(guī)作圖操作實(shí)驗(yàn)活動，進(jìn)行適度的數(shù)據(jù)分析和邏輯推理，從而理解、內(nèi)化三角形的三邊關(guān)系。學(xué)生圍繞“能圍成三角形的三條線段有什么共同的特點(diǎn)”這一主探究問題開展推理活動，結(jié)合尺規(guī)作圖結(jié)果與算式表達(dá)發(fā)現(xiàn)能圍成三角形的三條線段，兩條較短線段長度的和大于最長的線段。這一結(jié)論不具有一般性，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧操作過程，理解“兩條較短線段長度的和大于最長的線段”實(shí)際上是“任意兩條線段長度的和大于第三條線段”。為了讓邏輯更加嚴(yán)謹(jǐn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生解釋不能圍成三角形的情況，得出不是任意兩條線段長度的和大于第三條線段，就不能圍成三角形。在筆者引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，得出“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”這一最終結(jié)論。

本環(huán)節(jié)是整節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生從嚴(yán)密的邏輯推理中發(fā)現(xiàn)關(guān)系。通過問題鏈分析歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，從“一般”到“特殊”再到“一般”，兩次“回頭看”，將兩個活動結(jié)果巧妙地聯(lián)結(jié)起來，通過問題將知識關(guān)聯(lián)，將看似毫無聯(lián)系的數(shù)學(xué)分支進(jìn)行邏輯建構(gòu)。學(xué)生能獨(dú)立思考，借助幾何直觀進(jìn)行觀察、分析、推理、概括、表達(dá)，展開豐富的直觀推理，思維嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強(qiáng)。這個階段的學(xué)生已經(jīng)脫離了經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識，上升到形式認(rèn)識，對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識從表面的淺層次提升為核心的深層次，深入到數(shù)學(xué)的原理層，在知識的提煉中生成形式解釋理解，但尚未具備將知識形成完整認(rèn)知框架的能力。

三、據(jù)于事實(shí)驗(yàn)證關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)理解

史寧中教授說：“真正的理解是將數(shù)學(xué)知識聚合起來，以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形式呈現(xiàn)?！?建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)與意義是主體用意識主動建構(gòu)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體的知覺性，主張“學(xué)習(xí)”是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的修正與重建［２］。經(jīng)過前兩個階段的剖析、推理、加工，學(xué)生具備以邏輯方式思考問題、運(yùn)用幾何直觀分析問題的能力，但用的是不完全歸納的方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，重點(diǎn)關(guān)注核心概念和方法，讓學(xué)生將零散的知識進(jìn)行補(bǔ)充、重組，整合成新的結(jié)構(gòu)網(wǎng)，形成數(shù)學(xué)概念圖式，達(dá)到結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)理解的程度。

本課教學(xué)中，為了使結(jié)論更具一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性，筆者一方面借助幾何畫板，任意拉動頂點(diǎn)，使之變成不同形態(tài)的三角形，讓學(xué)生通過舉例論證發(fā)現(xiàn)不管是直角三角形、銳角三角形還是鈍角三角形，三角形的三邊關(guān)系始終不變；另一方面，筆者結(jié)合課始情境，三次變換兩點(diǎn)讓學(xué)生進(jìn)行觀察，并用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)論證關(guān)系，經(jīng)歷演繹推理過程，使結(jié)論更加嚴(yán)謹(jǐn)且確定。

學(xué)生在不完全歸納的基礎(chǔ)上輔以演繹推理的佐證，將三角形的三邊關(guān)系與“兩點(diǎn)之間線段最短”相結(jié)合，在推理中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的一大飛躍。這一層次的學(xué)生已經(jīng)學(xué)會在數(shù)學(xué)知識和技能的相互聯(lián)系中尋找問題的本質(zhì)，從語義理解上升為知覺理解，理清知識間的橫向和縱向聯(lián)系，由知識點(diǎn)走向知識線、知識面，將雜亂的知識點(diǎn)與關(guān)聯(lián)知識進(jìn)行聯(lián)結(jié)整合，建構(gòu)成知識體系和模型，在數(shù)學(xué)聯(lián)系中完成數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

四、變式練習(xí)內(nèi)化關(guān)系，形成遷移創(chuàng)造理解

曹培英教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)理解的最高水平應(yīng)該是遷移和運(yùn)用，而不是回憶再現(xiàn)，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)觀念運(yùn)用在新的數(shù)學(xué)情境中，舉一反三。”“遷移創(chuàng)造理解”注重的是數(shù)學(xué)知識的遷移和拓展，具有創(chuàng)新性，學(xué)生能夠依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，在未知中尋找已知，挖掘新舊知識的聯(lián)系點(diǎn)，自主選擇數(shù)學(xué)方法和策略，積累過程性經(jīng)驗(yàn)，獲得結(jié)果性經(jīng)驗(yàn)，從而領(lǐng)會新知識。

在練習(xí)應(yīng)用階段，筆者安排了兩道練習(xí)。第一題是判斷給出的哪組線段可以圍成一個三角形，通過想象尺規(guī)作圖結(jié)果，說明判斷理由。為了增強(qiáng)學(xué)生的理解，筆者在此基礎(chǔ)上增加變式：“2cm、2cm、5cm這組線段，改變其中一條線段的長度，使它們圍成一個等腰三角形?！睂W(xué)生思考等腰三角形的特征，很快得出結(jié)果。

第二題：三角形中兩邊的長分別是12厘米和8厘米，第三條邊的長可能是多少厘米？題目意在引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，不僅要考慮整數(shù)，還要考慮小數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)第三條邊的長度有一個范圍。在此基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合動畫演示使學(xué)生深刻、清晰地感受到第三條邊長的無數(shù)可能性。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，在完整的知識28sbL+sd8DV93wcJ5G+1yw==體系中思考新知識，注意數(shù)學(xué)的整體性，多樣、多元、多維地理解數(shù)學(xué)。學(xué)生在面對第一題的變式時，把握三角形的三邊關(guān)系這一本質(zhì)規(guī)律，結(jié)合三角形的基本特征，對學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)深度調(diào)動，能夠輕松地自主解決問題。在第二題的追問中，學(xué)生將“兩邊之和大于第三邊”順利遷移到“兩邊之差小于第三邊”，雖不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)規(guī)律，但能通過圖形明白道理，主動對新觀念拓展應(yīng)用。學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)知識的方法，是學(xué)習(xí)內(nèi)化的表現(xiàn)，能使理解得到延伸、同化、創(chuàng)新，提升應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

五、生活實(shí)例延伸關(guān)系，形成數(shù)學(xué)文化理解

達(dá)成“數(shù)學(xué)文化理解”能使學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律背后蘊(yùn)含的文化有一定的認(rèn)識與感悟，積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，形成思想方法，完善知識體系，同時還能發(fā)展抽象邏輯思維能力、創(chuàng)造與應(yīng)變能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活的復(fù)雜問題的意識和能力。為了深入理解數(shù)學(xué)文化，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)與生活緊密關(guān)聯(lián)，讓數(shù)學(xué)回歸生活，在生活應(yīng)用中感受數(shù)學(xué)文化。

為此，筆者拓展延伸了第二個練習(xí)：在一個三角形中，一條邊的長為12厘米，其余兩條邊的長度和是14厘米。這兩條邊的長度分別是多少？學(xué)生自由表達(dá)：可能是7厘米和7厘米，也可能是6厘米和8厘米。因?yàn)閷W(xué)生有了上述練習(xí)第二題中“無數(shù)種可能”的經(jīng)驗(yàn)，于是筆者追問“這些答案中有沒有隱藏的規(guī)律呢”，這個問題能激發(fā)學(xué)生從整體性上來思考問題、發(fā)揮空間想象能力。筆者再結(jié)合動畫演示把三角形的第三個頂點(diǎn)連起來得到一個橢圓，并播放木工師傅畫橢圓的視頻，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的神奇，體會數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活。

本環(huán)節(jié)教師借助生活實(shí)例為學(xué)生搭建了理解性學(xué)習(xí)的平臺，由順向思維轉(zhuǎn)變?yōu)槟嫦蛩季S，將三角形三邊關(guān)系的原理通過生活中畫橢圓的形式表現(xiàn)出來，為學(xué)生思維的延伸提供了支架。這樣既實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，又將學(xué)生的學(xué)習(xí)推向更深層次的文化理解，發(fā)展了學(xué)生創(chuàng)造美的能力。

數(shù)學(xué)理解的五層“進(jìn)階”的各個階段都指向?qū)W生核心素養(yǎng)的發(fā)展。學(xué)生數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中不斷實(shí)現(xiàn)的結(jié)果，具有層次性、過程性、概括性。在素養(yǎng)為本的背景下，教師要厘清核心知識，重視結(jié)構(gòu)分析，緊密結(jié)合原有認(rèn)知，設(shè)計多樣化的數(shù)學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在操作實(shí)踐、直觀想象、推理分析中將數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)化，拓展知識體系，解決現(xiàn)實(shí)問題。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 王瑞霖，綦春霞. 數(shù)學(xué)理解的五層遞進(jìn)及教學(xué)策略［Ｊ］. 中國教育學(xué)刊，２０１４（１２）：４０－４５.

［２］ 荀步章. 數(shù)學(xué)理解：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)策略［Ｊ］. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，２０２２（１２）：５３－５７.