[摘 要] 在小學(xué)階段滲透模型思想可以有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維,發(fā)展學(xué)生的建模能力。文章以“平行四邊形的面積”教學(xué)為例,探討發(fā)展學(xué)生模型思想的教學(xué)策略:創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;自主探索,初步感知模型;合作學(xué)習(xí),不斷優(yōu)化模型;問題解決,應(yīng)用數(shù)學(xué)模型;總結(jié)提煉,形成模型思想。
[關(guān)鍵詞] 思維;模型;教學(xué)
模型思想的應(yīng)用越來越廣泛,如小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何圖形、數(shù)與代數(shù)的方程、統(tǒng)計(jì)圖表、綜合實(shí)踐中的數(shù)量關(guān)系等都可從模型的角度進(jìn)行解釋與分析。模型思想是一種將抽象的問題變得公式化、具體化的數(shù)學(xué)思想,對(duì)解決實(shí)際問題具有重要意義。事實(shí)證明,只有學(xué)生深入到“建?!睂用娴膶W(xué)習(xí),才稱得上真正意義上的學(xué)習(xí)。
一、創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
興趣是學(xué)習(xí)最好的老師。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)或材料保持良好的興趣,可在學(xué)習(xí)過程中獲得更多的樂趣。課堂起始階段,教師創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入研究的內(nèi)驅(qū)力,從而對(duì)問題產(chǎn)生濃厚的探索欲。因此,良好的情境具有激趣啟思、激勵(lì)與引領(lǐng)的作用,學(xué)生從具體的情境中不僅能抽象出數(shù)學(xué)問題,還能對(duì)數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生初步感知。本節(jié)課,教師在課堂伊始創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境,促使學(xué)生對(duì)平行四邊形的面積產(chǎn)生研究興趣。
情境:圖1是兩塊地,哪塊地的面積大?理由是什么?
生1:我選平行四邊形地,長(zhǎng)方形地的面積為30×16=480m2,平行四邊形地的面積為30×20=600m2,顯然平行四邊形地的面積更大。
師:有沒有同學(xué)有不同的看法?
生2:長(zhǎng)方形的面積為長(zhǎng)乘以寬,這個(gè)毋庸置疑,平行四邊形的面積用底邊乘以斜邊好像不太妥當(dāng)。
師:你認(rèn)為平行四邊6181FeAwBgs53/cidcnkAg==形的面積該怎么求?
生2:可能是底邊乘以高。
師:有點(diǎn)意思,究竟該怎么求平行四邊形的面積呢?
學(xué)生沉思,教師趁機(jī)揭示本節(jié)課的教學(xué)主題——平行四邊形的面積。
設(shè)計(jì)意圖:教師以兩塊地面積的比較為情境,在與學(xué)生積極互動(dòng)中揭示本節(jié)課的探索主題。這種方法比直接呈現(xiàn)兩張圖形來得豐富、有趣,而且該情境處于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”,能順利激活學(xué)生的思維,讓學(xué)生產(chǎn)生探索的內(nèi)驅(qū)力。問題情境沒有直接給出平行四邊形的高,這一點(diǎn)成功激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,進(jìn)一步活躍了學(xué)生的思維,讓學(xué)生對(duì)平行四邊形的面積公式形成探索動(dòng)力。
二、自主探索,初步感知模型
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)新知。如何激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生積極探索和大膽地表達(dá)自己的觀點(diǎn)呢?這就需要教師將課堂的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,鼓勵(lì)學(xué)生積極探索,以初步感知數(shù)學(xué)模型,為后續(xù)建構(gòu)并完善模型思想夯實(shí)基礎(chǔ)。
師:請(qǐng)大家取出課前自制的長(zhǎng)方形框架,輕輕拉動(dòng),看看有什么發(fā)現(xiàn)。(學(xué)生操作)
生3:結(jié)合操作過程,我認(rèn)為平行四邊形的面積肯定不是底邊與鄰邊的乘積。
師:哦?說說你的理由。
生3:如果平行四邊形的面積為底邊與鄰邊的乘積,那么平行四邊形不論怎么變形,它的面積不變。但實(shí)踐告訴我們,平行四邊形變形后,其面積會(huì)發(fā)生改變。
師:這是一個(gè)很有價(jià)值的發(fā)現(xiàn),值得研究。那么平行四邊形的面積是否為生3所認(rèn)為的底邊乘以高呢?我們?cè)撊绾未_定這個(gè)結(jié)論是否正確?
生4:對(duì)于這個(gè)結(jié)論,我們可以借助平行四邊形的紙片來驗(yàn)證。
設(shè)計(jì)意圖:當(dāng)學(xué)生的意見產(chǎn)生分歧后,教師并沒有直接給出結(jié)論,而是引導(dǎo)學(xué)生以自主操作的方式來感知說法是否正確。學(xué)生通過扯動(dòng)平行四邊形框架直觀感知平行四邊形的變與不變,從而對(duì)與面積相關(guān)的條件產(chǎn)生初步感知,同時(shí)明確“底邊與鄰邊相乘”不是平行四邊形的面積計(jì)算公式。那么平行四邊形的面積公式究竟是否為底邊與高相乘呢?這就需要學(xué)生進(jìn)一步探索與驗(yàn)證。學(xué)生的思維在探索的逐層深入中逐漸趨向成熟,平行四邊形的面積公式模型也在探索中現(xiàn)出雛形。
三、合作學(xué)習(xí),不斷優(yōu)化模型
新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)非常注重學(xué)生在課堂中的合作交流情況,學(xué)生在合作過程中釋放自己的想法,進(jìn)行思維的碰撞,可不斷優(yōu)化對(duì)問題的認(rèn)識(shí),提高學(xué)習(xí)能力?;谝陨咸剿?,學(xué)生初步形成自己的看法,即平行四邊形的面積計(jì)算為底邊與高的乘積。這種猜想是否準(zhǔn)確,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式來探索。
合作內(nèi)容:用平行四邊形紙片驗(yàn)證平行四邊形的面積計(jì)算是否為底邊與高的乘積。
合作交流后,各組學(xué)生匯報(bào)結(jié)論。
組1:我們組經(jīng)過合作交流,認(rèn)為平行四邊形的面積計(jì)算應(yīng)該是底邊與高相乘,具體探索過程為:沿著平行四邊形的一條高剪開,獲得一個(gè)直角梯形與一個(gè)直角三角形,將該三角形的斜邊與梯形的一條斜腰拼接在一起,就獲得一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式為長(zhǎng)乘以寬,而該長(zhǎng)方形的底邊就是平行四邊形的底邊,寬為平行四邊形的高。由此可確定平行四邊形的面積公式為“底邊×高”。
各組學(xué)生點(diǎn)頭,表示同意該組的看法。
師:還有其他探索方法嗎?
組2:我們沿著平行四邊形的一條高剪下,形成兩個(gè)直角梯形,將兩個(gè)梯形的斜腰拼接在一起形成一個(gè)長(zhǎng)方形。同樣,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別對(duì)應(yīng)平行四邊形的底邊與高,根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可知平行四邊形的面積計(jì)算公式為“底邊×高”。
其他學(xué)生贊同組2的方法,教師要求學(xué)生說一說這兩組的探索方法存在的共同點(diǎn)。
生5:這兩種探索方法都是通過“剪拼法”將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形,即化未知為已知,然后得出結(jié)論。
師:不錯(cuò)!大家在剪的過程中,都是沿著平行四邊形的高剪的??梢噪S意剪嗎?
生6:那肯定不行,隨意剪就無法拼成長(zhǎng)方形了,如果拼成奇奇怪怪的圖形,依然無法獲得其面積。
設(shè)計(jì)意圖:合作學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)背景下的重要教學(xué)模式之一。此環(huán)節(jié),教師鼓勵(lì)學(xué)生自主剪拼平行四邊形,不僅鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手操作能力與思維能力,還讓學(xué)生在合作中發(fā)展了團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。學(xué)生存在個(gè)體差異,雖然在合作中出現(xiàn)思維水平參差不齊的情況,但學(xué)生在互幫互助中不僅深化了對(duì)平行四邊形面積公式的理解,還學(xué)會(huì)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想提煉基本的數(shù)學(xué)模型,獲得建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本思路。
四、問題解決,應(yīng)用數(shù)學(xué)模型
學(xué)以致用是數(shù)學(xué)教學(xué)最直接的目的,如何將建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型——平行四邊形的面積公式靈活地應(yīng)用在實(shí)際問題中呢?雖然學(xué)生通過豐富的情境、自主探索與合作交流初步建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型,但是學(xué)生要將它應(yīng)用在解題中,這是擴(kuò)充與提升模型的過程,也是發(fā)展解題能力與創(chuàng)新意識(shí)不可或缺的重要環(huán)節(jié)。
本節(jié)課,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)方面開展模型的應(yīng)用。
1. 用模型解決簡(jiǎn)單問題
師:如果想求一個(gè)平行四邊形的面積,需要明確它的哪些條件?
生7:底邊與高。
師:很好,現(xiàn)在我們就利用平行四邊形的面積公式來計(jì)算下列圖形的面積。(多媒體展示圖2、圖3)
這兩個(gè)問題的難度系數(shù)較小,學(xué)生根據(jù)平行四邊形的面積公式,很快計(jì)算出圖2所示的平行四邊形的面積為40cm2,圖3所示的平行四邊形的面積為9×3=27(cm2)。
師:現(xiàn)在我們來看張大伯的菜地,大家明確哪塊地的面積大了嗎?(多媒體展示圖1)
生8:結(jié)合平行四邊形的面積公式,可知這兩塊菜地的面積都是30×16=480(m2),因此這是兩塊一樣大的地。
設(shè)計(jì)意圖:低起點(diǎn)的問題鞏固了學(xué)生對(duì)平行四邊形面積公式的認(rèn)識(shí);菜地問題與課堂開始遙相呼應(yīng),讓學(xué)生體驗(yàn)如何將公式應(yīng)用在實(shí)際問題中,為解決更多、更復(fù)雜的問題奠定基礎(chǔ)。
2. 用模型解決復(fù)雜問題
師:如圖4所示,請(qǐng)大家嘗試自主計(jì)算各平行四邊形的面積。
生9:最左邊的平行四邊形面積為1×2=2(cm2)。
師:請(qǐng)你到講臺(tái)上來指一指這個(gè)平行四邊形的底邊與高,并說一說你是怎樣找到它的底與高的?
生9(邊指邊說):該平行四邊形的兩條底邊正好在兩條平行線上,那么它的高就是平行線之間的距離。
師:很好!其他兩個(gè)平行四邊形的面積分別是多少呢?
生10:還有兩個(gè)平行四邊形的面積均為1×2=2(cm2)。
師:你們從這道題的分析與解決中,有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎?
生11:這三個(gè)平行四邊形具有等底等高的特點(diǎn),同時(shí)它們的面積也相等,由此可確定等底等高的平行四邊形的面積相等。
生12:本題告訴我們,兩條平行線之間存在無數(shù)個(gè)面積相等的平行四邊形。
設(shè)計(jì)意圖:在解決問題的過程中,學(xué)生能從中提取有用的信息,獲得相應(yīng)的結(jié)論。如此設(shè)計(jì),一方面促使學(xué)生積極開動(dòng)腦筋,讓學(xué)生自主用模型解決一些稍顯復(fù)雜的問題;另一方面提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,讓學(xué)生在解題中感知模型解題的便利。
3. 用模型解決實(shí)際問題
師:為了節(jié)約用地面積,又便于車主停車,現(xiàn)在很多商場(chǎng)都將停車位設(shè)計(jì)成平行四邊形。如圖5所示,你們會(huì)計(jì)算這個(gè)停車位的面積嗎?
生13:根據(jù)題意,列式為6×4.8。
生14:不對(duì)不對(duì),這個(gè)底邊與高不配套。
師:請(qǐng)?jiān)僬f清楚一些。
生14:4.8這條高并不在6這條邊上,因此不好將它們相乘。
師:那什么情況下的底和高可以相乘獲得面積呢?
生15:只有在底邊與高互相垂直,即對(duì)應(yīng)的情況下,才能應(yīng)用公式計(jì)算面積。
師:不錯(cuò)!請(qǐng)大家觀察圖6,此時(shí)可以計(jì)算該平行四邊形的面積嗎?說明理由。
生16:可以,用4×4.8,因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)據(jù)是平行四邊形中相對(duì)應(yīng)的底邊與高。
設(shè)計(jì)意圖:教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式模型解決實(shí)際問題可進(jìn)一步夯實(shí)其知識(shí)基礎(chǔ),提高其辨析能力。學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用形成完整的認(rèn)識(shí),這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與邏輯思維能力具有重要意義。
五、總結(jié)提煉,形成模型思想
在總結(jié)階段,教師要求學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)、應(yīng)用的研究方法以及數(shù)學(xué)思想等,以幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)和提煉模型思想,為后續(xù)研究三角形、梯形、圓的面積等夯實(shí)基礎(chǔ)。
總之,學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想不是一朝一夕就能形成,需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。教師應(yīng)著眼于學(xué)情與教情,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作探索與問題解決等過程,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、模型思想和核心素養(yǎng)。