關(guān)注過程教學(xué) 發(fā)展模型思想

［摘 要］ 在小學(xué)階段滲透模型思想可以有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，發(fā)展學(xué)生的建模能力。文章以“平行四邊形的面積”教學(xué)為例，探討發(fā)展學(xué)生模型思想的教學(xué)策略：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；自主探索，初步感知模型；合作學(xué)習(xí)，不斷優(yōu)化模型；問題解決，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型；總結(jié)提煉，形成模型思想。

［關(guān)鍵詞］ 思維；模型；教學(xué)

模型思想的應(yīng)用越來越廣泛，如小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何圖形、數(shù)與代數(shù)的方程、統(tǒng)計(jì)圖表、綜合實(shí)踐中的數(shù)量關(guān)系等都可從模型的角度進(jìn)行解釋與分析。模型思想是一種將抽象的問題變得公式化、具體化的數(shù)學(xué)思想，對(duì)解決實(shí)際問題具有重要意義。事實(shí)證明，只有學(xué)生深入到“建?！睂用娴膶W(xué)習(xí)，才稱得上真正意義上的學(xué)習(xí)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是學(xué)習(xí)最好的老師。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)或材料保持良好的興趣，可在學(xué)習(xí)過程中獲得更多的樂趣。課堂起始階段，教師創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入研究的內(nèi)驅(qū)力，從而對(duì)問題產(chǎn)生濃厚的探索欲。因此，良好的情境具有激趣啟思、激勵(lì)與引領(lǐng)的作用，學(xué)生從具體的情境中不僅能抽象出數(shù)學(xué)問題，還能對(duì)數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生初步感知。本節(jié)課，教師在課堂伊始創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境，促使學(xué)生對(duì)平行四邊形的面積產(chǎn)生研究興趣。

情境：圖1是兩塊地，哪塊地的面積大？理由是什么？

生1：我選平行四邊形地，長(zhǎng)方形地的面積為30×16=480m2，平行四邊形地的面積為30×20=600m2，顯然平行四邊形地的面積更大。

師：有沒有同學(xué)有不同的看法？

生2：長(zhǎng)方形的面積為長(zhǎng)乘以寬，這個(gè)毋庸置疑，平行四邊形的面積用底邊乘以斜邊好像不太妥當(dāng)。

師：你認(rèn)為平行四邊6181FeAwBgs53/cidcnkAg==形的面積該怎么求？

生2：可能是底邊乘以高。

師：有點(diǎn)意思，究竟該怎么求平行四邊形的面積呢？

學(xué)生沉思，教師趁機(jī)揭示本節(jié)課的教學(xué)主題——平行四邊形的面積。

設(shè)計(jì)意圖：教師以兩塊地面積的比較為情境，在與學(xué)生積極互動(dòng)中揭示本節(jié)課的探索主題。這種方法比直接呈現(xiàn)兩張圖形來得豐富、有趣，而且該情境處于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，能順利激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生產(chǎn)生探索的內(nèi)驅(qū)力。問題情境沒有直接給出平行四邊形的高，這一點(diǎn)成功激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，進(jìn)一步活躍了學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)平行四邊形的面積公式形成探索動(dòng)力。

二、自主探索，初步感知模型

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)新知。如何激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生積極探索和大膽地表達(dá)自己的觀點(diǎn)呢？這就需要教師將課堂的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，以初步感知數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)建構(gòu)并完善模型思想夯實(shí)基礎(chǔ)。

師：請(qǐng)大家取出課前自制的長(zhǎng)方形框架，輕輕拉動(dòng)，看看有什么發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生操作）

生3：結(jié)合操作過程，我認(rèn)為平行四邊形的面積肯定不是底邊與鄰邊的乘積。

師：哦？說說你的理由。

生3：如果平行四邊形的面積為底邊與鄰邊的乘積，那么平行四邊形不論怎么變形，它的面積不變。但實(shí)踐告訴我們，平行四邊形變形后，其面積會(huì)發(fā)生改變。

師：這是一個(gè)很有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)，值得研究。那么平行四邊形的面積是否為生3所認(rèn)為的底邊乘以高呢？我們?cè)撊绾未_定這個(gè)結(jié)論是否正確？

生4：對(duì)于這個(gè)結(jié)論，我們可以借助平行四邊形的紙片來驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)學(xué)生的意見產(chǎn)生分歧后，教師并沒有直接給出結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生以自主操作的方式來感知說法是否正確。學(xué)生通過扯動(dòng)平行四邊形框架直觀感知平行四邊形的變與不變，從而對(duì)與面積相關(guān)的條件產(chǎn)生初步感知，同時(shí)明確“底邊與鄰邊相乘”不是平行四邊形的面積計(jì)算公式。那么平行四邊形的面積公式究竟是否為底邊與高相乘呢？這就需要學(xué)生進(jìn)一步探索與驗(yàn)證。學(xué)生的思維在探索的逐層深入中逐漸趨向成熟，平行四邊形的面積公式模型也在探索中現(xiàn)出雛形。

三、合作學(xué)習(xí)，不斷優(yōu)化模型

新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)非常注重學(xué)生在課堂中的合作交流情況，學(xué)生在合作過程中釋放自己的想法，進(jìn)行思維的碰撞，可不斷優(yōu)化對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)習(xí)能力?；谝陨咸剿?，學(xué)生初步形成自己的看法，即平行四邊形的面積計(jì)算為底邊與高的乘積。這種猜想是否準(zhǔn)確，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式來探索。

合作內(nèi)容：用平行四邊形紙片驗(yàn)證平行四邊形的面積計(jì)算是否為底邊與高的乘積。

合作交流后，各組學(xué)生匯報(bào)結(jié)論。

組1：我們組經(jīng)過合作交流，認(rèn)為平行四邊形的面積計(jì)算應(yīng)該是底邊與高相乘，具體探索過程為：沿著平行四邊形的一條高剪開，獲得一個(gè)直角梯形與一個(gè)直角三角形，將該三角形的斜邊與梯形的一條斜腰拼接在一起，就獲得一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式為長(zhǎng)乘以寬，而該長(zhǎng)方形的底邊就是平行四邊形的底邊，寬為平行四邊形的高。由此可確定平行四邊形的面積公式為“底邊×高”。

各組學(xué)生點(diǎn)頭，表示同意該組的看法。

師：還有其他探索方法嗎？

組2：我們沿著平行四邊形的一條高剪下，形成兩個(gè)直角梯形，將兩個(gè)梯形的斜腰拼接在一起形成一個(gè)長(zhǎng)方形。同樣，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別對(duì)應(yīng)平行四邊形的底邊與高，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可知平行四邊形的面積計(jì)算公式為“底邊×高”。

其他學(xué)生贊同組2的方法，教師要求學(xué)生說一說這兩組的探索方法存在的共同點(diǎn)。

生5：這兩種探索方法都是通過“剪拼法”將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，即化未知為已知，然后得出結(jié)論。

師：不錯(cuò)！大家在剪的過程中，都是沿著平行四邊形的高剪的?？梢噪S意剪嗎？

生6：那肯定不行，隨意剪就無法拼成長(zhǎng)方形了，如果拼成奇奇怪怪的圖形，依然無法獲得其面積。

設(shè)計(jì)意圖：合作學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)背景下的重要教學(xué)模式之一。此環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主剪拼平行四邊形，不僅鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手操作能力與思維能力，還讓學(xué)生在合作中發(fā)展了團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。學(xué)生存在個(gè)體差異，雖然在合作中出現(xiàn)思維水平參差不齊的情況，但學(xué)生在互幫互助中不僅深化了對(duì)平行四邊形面積公式的理解，還學(xué)會(huì)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想提煉基本的數(shù)學(xué)模型，獲得建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本思路。

四、問題解決，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

學(xué)以致用是數(shù)學(xué)教學(xué)最直接的目的，如何將建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型——平行四邊形的面積公式靈活地應(yīng)用在實(shí)際問題中呢？雖然學(xué)生通過豐富的情境、自主探索與合作交流初步建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型，但是學(xué)生要將它應(yīng)用在解題中，這是擴(kuò)充與提升模型的過程，也是發(fā)展解題能力與創(chuàng)新意識(shí)不可或缺的重要環(huán)節(jié)。

本節(jié)課，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)方面開展模型的應(yīng)用。

1. 用模型解決簡(jiǎn)單問題

師：如果想求一個(gè)平行四邊形的面積，需要明確它的哪些條件？

生7：底邊與高。

師：很好，現(xiàn)在我們就利用平行四邊形的面積公式來計(jì)算下列圖形的面積。（多媒體展示圖2、圖3）

這兩個(gè)問題的難度系數(shù)較小，學(xué)生根據(jù)平行四邊形的面積公式，很快計(jì)算出圖2所示的平行四邊形的面積為40cm2，圖3所示的平行四邊形的面積為9×3=27（cm2）。

師：現(xiàn)在我們來看張大伯的菜地，大家明確哪塊地的面積大了嗎？（多媒體展示圖1）

生8：結(jié)合平行四邊形的面積公式，可知這兩塊菜地的面積都是30×16=480（m2），因此這是兩塊一樣大的地。

設(shè)計(jì)意圖：低起點(diǎn)的問題鞏固了學(xué)生對(duì)平行四邊形面積公式的認(rèn)識(shí)；菜地問題與課堂開始遙相呼應(yīng)，讓學(xué)生體驗(yàn)如何將公式應(yīng)用在實(shí)際問題中，為解決更多、更復(fù)雜的問題奠定基礎(chǔ)。

2. 用模型解決復(fù)雜問題

師：如圖4所示，請(qǐng)大家嘗試自主計(jì)算各平行四邊形的面積。

生9：最左邊的平行四邊形面積為1×2=2（cm2）。

師：請(qǐng)你到講臺(tái)上來指一指這個(gè)平行四邊形的底邊與高，并說一說你是怎樣找到它的底與高的？

生9（邊指邊說）：該平行四邊形的兩條底邊正好在兩條平行線上，那么它的高就是平行線之間的距離。

師：很好！其他兩個(gè)平行四邊形的面積分別是多少呢？

生10：還有兩個(gè)平行四邊形的面積均為1×2=2（cm2）。

師：你們從這道題的分析與解決中，有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：這三個(gè)平行四邊形具有等底等高的特點(diǎn)，同時(shí)它們的面積也相等，由此可確定等底等高的平行四邊形的面積相等。

生12：本題告訴我們，兩條平行線之間存在無數(shù)個(gè)面積相等的平行四邊形。

設(shè)計(jì)意圖：在解決問題的過程中，學(xué)生能從中提取有用的信息，獲得相應(yīng)的結(jié)論。如此設(shè)計(jì)，一方面促使學(xué)生積極開動(dòng)腦筋，讓學(xué)生自主用模型解決一些稍顯復(fù)雜的問題；另一方面提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生在解題中感知模型解題的便利。

3. 用模型解決實(shí)際問題

師：為了節(jié)約用地面積，又便于車主停車，現(xiàn)在很多商場(chǎng)都將停車位設(shè)計(jì)成平行四邊形。如圖5所示，你們會(huì)計(jì)算這個(gè)停車位的面積嗎？

生13：根據(jù)題意，列式為6×4.8。

生14：不對(duì)不對(duì)，這個(gè)底邊與高不配套。

師：請(qǐng)?jiān)僬f清楚一些。

生14：4.8這條高并不在6這條邊上，因此不好將它們相乘。

師：那什么情況下的底和高可以相乘獲得面積呢？

生15：只有在底邊與高互相垂直，即對(duì)應(yīng)的情況下，才能應(yīng)用公式計(jì)算面積。

師：不錯(cuò)！請(qǐng)大家觀察圖6，此時(shí)可以計(jì)算該平行四邊形的面積嗎？說明理由。

生16：可以，用4×4.8，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)據(jù)是平行四邊形中相對(duì)應(yīng)的底邊與高。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式模型解決實(shí)際問題可進(jìn)一步夯實(shí)其知識(shí)基礎(chǔ)，提高其辨析能力。學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用形成完整的認(rèn)識(shí)，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與邏輯思維能力具有重要意義。

五、總結(jié)提煉，形成模型思想

在總結(jié)階段，教師要求學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)、應(yīng)用的研究方法以及數(shù)學(xué)思想等，以幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)和提煉模型思想，為后續(xù)研究三角形、梯形、圓的面積等夯實(shí)基礎(chǔ)。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想不是一朝一夕就能形成，需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。教師應(yīng)著眼于學(xué)情與教情，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作探索與問題解決等過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、模型思想和核心素養(yǎng)。