一致性視角下“數(shù)與運算”單元整體教學(xué)

［摘 要］ 教師要基于“一致性”視角實施“數(shù)與運算”板塊的教學(xué)，要以“大概念”為統(tǒng)領(lǐng)、以“結(jié)構(gòu)化”為靈魂、以“深應(yīng)用”為旨?xì)w，幫助學(xué)生建立整體性觀念。教師在教學(xué)中要優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，催生學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受、體驗“數(shù)與運算”的一致性。一致性視角下的“數(shù)與運算”教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知更深刻、數(shù)學(xué)探索更精彩、數(shù)學(xué)體驗更深入，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，讓學(xué)生獲得整體性數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；“一致性”視角；數(shù)與運算；單元整體教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出：要讓學(xué)生感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性。基于這樣的課程目標(biāo)以及教學(xué)要求，筆者在教學(xué)“數(shù)與運算”板塊時，基于“一致性”視角實施單元整體教學(xué)。盡管“數(shù)與運算”板塊分散在不同年級的教材中，但其內(nèi)在本質(zhì)具有一致性。實踐證明，“一致性”視角下的“數(shù)與運算”單元整體教學(xué)不僅能讓學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”“運算”等數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)，也能夠讓學(xué)生感受、體驗“數(shù)”“運算”“數(shù)與運算”等知識的內(nèi)在關(guān)系?！耙恢滦浴币暯窍碌摹皵?shù)與運算”教學(xué)能提升學(xué)生學(xué)習(xí)效能，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體性提升。

一、以“大概念”為統(tǒng)領(lǐng)，建立學(xué)生學(xué)習(xí)觀念

“一致性”視角下的“數(shù)與運算”教學(xué)根本性的價值取向在于引導(dǎo)學(xué)生建立“知識整體觀”“方法整體觀”“思想整體觀”。整體觀是一種大局觀念，是一種層次性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的觀念。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識模型、方法模型，將數(shù)學(xué)思想貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)的始終。在教學(xué)中，教師的著眼點不能局限于“某個知識點”“某節(jié)課”“某個單元”，應(yīng)致力于引導(dǎo)學(xué)生建立“一致性”“普適性”的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生開展整體性、系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)思考，掌握結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)方法、思想等。

比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”這一單元的第一課時“分?jǐn)?shù)的意義”，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生夯實對“分?jǐn)?shù)的意義”的認(rèn)識，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，如“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等奠定基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生深刻理解“分?jǐn)?shù)的意義”，筆者不僅喚醒、激活學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，如“平均分”“平均分的份數(shù)”“表示的份數(shù)”等，還將“整數(shù)”“小數(shù)”等內(nèi)容引入教學(xué)，讓學(xué)生探討其組成。在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生追根溯源：人類為什么要創(chuàng)造分?jǐn)?shù)？人類怎樣創(chuàng)造分?jǐn)?shù)？人類創(chuàng)造分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)有什么相同點？然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“計數(shù)單位”來理解分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生從數(shù)的形成、發(fā)展以及數(shù)的表達(dá)中感受、體驗整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義的一致性：即所有的數(shù)都可以看成是“計數(shù)單位的累積”，讓學(xué)生結(jié)合“計數(shù)單位的不同”以及“計數(shù)單位的個數(shù)的不同”建立整體性的“數(shù)”的概念。這樣，學(xué)生能夠深刻認(rèn)識到：對一個物體、一些物體組成的整體進(jìn)行平均分，正是為了構(gòu)建“計數(shù)單位”；其中“平均分的份數(shù)”能表征“計數(shù)單位是什么”，“表示的份數(shù)”能表征“有多少個這樣的計數(shù)單位”。這種基于“一致性”的數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)既為學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)的運算”的教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他的“數(shù)”奠定了思想性、方法性的基礎(chǔ)。學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”時，就會積極主動地思考：百分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是什么？百分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是怎樣產(chǎn)生的？百分?jǐn)?shù)有多少個這樣的計數(shù)單位？可以這樣說，教師正是借助“計數(shù)單位”這一核心概念，讓學(xué)生建構(gòu)起整個“數(shù)的認(rèn)識”的知識體系。這樣的“一致性”教學(xué)，能幫助學(xué)生建立整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的“數(shù)”的觀念。

以“大概念”為統(tǒng)領(lǐng)實施單元整體性教學(xué)時，教師不能囿于“本單元”，應(yīng)結(jié)合其他相關(guān)單元知識進(jìn)行思考、探究。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)領(lǐng)域，“單元整體”教學(xué)要求教師在“整數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中滲透、融入“數(shù)的一致性”觀念；在“小數(shù)的意義”“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地強化“數(shù)的一致性”觀念。這樣，學(xué)生對“數(shù)的認(rèn)識”就能走向深刻、走向深度。

二、以“結(jié)構(gòu)觀”為靈魂，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)路徑

“一致性”視角下的單元整體教學(xué)不僅要以“大概念”為指導(dǎo)，而且要以“結(jié)構(gòu)觀”為靈魂優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑。教師要以“結(jié)構(gòu)觀”為靈魂，從連續(xù)性的視角處理學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“目標(biāo)把握”“內(nèi)容銜接”“知識改造”。教師要積極主動地喚醒、激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，同化或順應(yīng)數(shù)學(xué)新知，從而將數(shù)學(xué)新知納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)一個統(tǒng)攝力更強、更廣的知識體系。在這個過程中，教師要促進(jìn)學(xué)生積極主動地遷移、類比、對照，鼓勵學(xué)生積極主動地梳理、分類、整合，幫助學(xué)生建立一個多層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，“分?jǐn)?shù)的加法和減法”這一單元主要包括三個部分內(nèi)容：一是“同分母分?jǐn)?shù)加減法”，二是“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，三是“分?jǐn)?shù)加減法混合運算”。這三個部分內(nèi)容的本質(zhì)、內(nèi)核具有一致性，那就是“只有計數(shù)單位相同才能直接相加、減”。由此，在教學(xué)中教師可以自然引出的一個問題：計數(shù)單位相同嗎？怎樣才能讓計數(shù)單位從不同變?yōu)橄嗤?/p>

基于這樣的一種“結(jié)構(gòu)化”的認(rèn)知，筆者在教學(xué)中對學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行這樣的預(yù)設(shè)、規(guī)劃：將第一課時“同分母分?jǐn)?shù)加減法”和第二課時“異分母分?jǐn)?shù)加減法”統(tǒng)整為一個課時。實踐證明，這樣的整合性教學(xué)是一種優(yōu)化的教學(xué)路徑，也是最佳的教學(xué)路徑。教學(xué)伊始，筆者首先出示一些算式，其中有同分母的分?jǐn)?shù)算式，也有異分母的分?jǐn)?shù)算式，由此激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：異分母的分?jǐn)?shù)如何相加減？能轉(zhuǎn)化成同分母的分?jǐn)?shù)嗎？這樣就會自然地喚醒、激活學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗——“通分”，引導(dǎo)學(xué)生將“異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)”，并進(jìn)行“同分母分?jǐn)?shù)相加減計算”“異分母分?jǐn)?shù)相加減計算”以及“分?jǐn)?shù)加減法混合運算”。在計算的過程中，為了進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建立“數(shù)的運算”的一致性觀念，筆者在教學(xué)中引入“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”，由此自然引發(fā)學(xué)生深刻的思考：整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法有什么相同點？在結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知基礎(chǔ)上，學(xué)生會積極主動地比較它們的“計算法則”：為什么要末位對齊、小數(shù)點對齊、分?jǐn)?shù)單位相同？它們背后的共同算理是什么？通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)盡管整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計算法則的形態(tài)各異，但是其內(nèi)在本質(zhì)具有“一致性”；整數(shù)加減法的法則強調(diào)的“末位對齊”、小數(shù)加減法的法則強調(diào)的“小數(shù)點對齊”、分?jǐn)?shù)加減法的法則強調(diào)的“分?jǐn)?shù)單位相同”，本質(zhì)上都是“計數(shù)單位相同”。由此，“計數(shù)單位相同”就成為學(xué)生建構(gòu)“數(shù)的加減法”運算的“大概念”，成為學(xué)生“數(shù)的加減法”運算結(jié)構(gòu)的核心點。

教師要以“結(jié)構(gòu)觀”為靈魂，催生學(xué)生完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑和優(yōu)化學(xué)習(xí)策略。在教學(xué)中，教師要積極主動地提煉“核心概念”，圍繞“核心概念”建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，完善自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。以“結(jié)構(gòu)觀”為靈魂能促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識整合，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)知融合。教師要自覺引導(dǎo)學(xué)生整體性建構(gòu)、方法性遷移，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知、思維進(jìn)階。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生一個知識結(jié)構(gòu)、方法內(nèi)核，讓學(xué)生擁有一個學(xué)習(xí)的工具，讓其積極探究，進(jìn)而能感受、體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

三、以“深應(yīng)用”為旨?xì)w，催生學(xué)生學(xué)習(xí)遷移

“一致性”視角下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個“學(xué)結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運算”單元整體教學(xué)中，教師要以“深應(yīng)用”為旨?xì)w，簡教深學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移?！昂喗獭币蠼處熥杂X地“教結(jié)構(gòu)”，而“深學(xué)”要求學(xué)生自覺地“學(xué)結(jié)構(gòu)”“用結(jié)構(gòu)”?！昂喗躺顚W(xué)”要引導(dǎo)學(xué)生積極主動地回顧、反思，催生學(xué)生積極地聯(lián)想，讓學(xué)生積極主動地完成知識建構(gòu)、知識遷移、知識應(yīng)用。通過知識應(yīng)用，讓學(xué)生“學(xué)用結(jié)合”“學(xué)用相融”，為學(xué)生的整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的思維、認(rèn)知的發(fā)展提供無限可能。

比如，“分?jǐn)?shù)乘法”這一單元主要包括“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”和“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”等相關(guān)內(nèi)容。其中，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”以及“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的時候，筆者引導(dǎo)學(xué)生從“乘法的意義”出發(fā)，讓學(xué)生自主建構(gòu)“算法法則”。從乘法的意義看，“乘法”是表示“相同加數(shù)的和的簡便運算”。無論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法，都是“計數(shù)單位的累積”。為此，筆者在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”這一部分內(nèi)容時，不僅引導(dǎo)學(xué)生從“分?jǐn)?shù)乘法”的意義即“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”出發(fā)，讓學(xué)生畫圖探索，而且引導(dǎo)學(xué)生從“乘法”的本源出發(fā)，將“整數(shù)乘法”“小數(shù)乘法”的計算引入其中，讓學(xué)生借助“乘法運算的一致性”進(jìn)行探索。比如引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“0.3乘0.5”就是“3個0.1乘5個0.1”，就是“15個0.01”。其中，“計數(shù)單位乘計數(shù)單位得到新的計數(shù)單位”“計數(shù)單位的數(shù)量乘計數(shù)單位的數(shù)量得到新的計數(shù)單位的數(shù)量”。有了這樣的認(rèn)識，學(xué)生就會積極主動地探索“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的計算法則，如“×”可以看成是“3個”乘“2個”。其中“分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位得到新的分?jǐn)?shù)單位”“分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量乘分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量得到新的分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量”。這種基于“一致性”視角下的“分?jǐn)?shù)乘法”法則，學(xué)生不僅能自主建構(gòu)，而且能夯實穩(wěn)固的心理圖像。有了這樣的一致性認(rèn)識后，學(xué)生就能將“乘法的運算”法則統(tǒng)一起來。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”的計算法則時，筆者引導(dǎo)學(xué)生立足于“計數(shù)單位”，讓學(xué)生建構(gòu)出這樣一種計算法則：同分母分?jǐn)?shù)相除，就是用計數(shù)單位的數(shù)量相除；異分母分?jǐn)?shù)相除，就是先將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，然后再用同分母分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位的數(shù)量相除。學(xué)生在應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，這樣的“分?jǐn)?shù)除法”法則計算與教材中分?jǐn)?shù)除法法則即“甲數(shù)除以乙數(shù)等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)果是相同的。相較而言，基于“一致性”視角下的“分?jǐn)?shù)除法”法則，對于學(xué)生來說更具有親和力、親近感。

在“數(shù)的運算”板塊的教學(xué)中，筆者圍繞“計數(shù)單位”引導(dǎo)學(xué)生探求計算法則的內(nèi)在一致性。這種“數(shù)的運算”的計算法則的一致性和“數(shù)的認(rèn)識”知識板塊中的數(shù)的本質(zhì)的一致性，都是建立在“計數(shù)單位”基礎(chǔ)上的?！坝嫈?shù)單位”是“數(shù)與運算”整個體系的“基石”。教師圍繞“計數(shù)單位”開展“數(shù)與運算”板塊的單元整體教學(xué)，必然讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知更深刻、探索更精彩、感受與體驗更深入。

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“數(shù)的認(rèn)識”知識板塊是一個有機的整體，“數(shù)的運算”知識板塊是一個有機的整體，“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運算”也是一個有機的整體。從本源上看，“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運算”的一致性是“數(shù)系擴張”的必然結(jié)果。“數(shù)系擴張”要遵循“因襲性原則”，也就是說，擴張前的數(shù)集必須是擴張后數(shù)集的“真子集”。擴張后的數(shù)系無論是數(shù)的概念、性質(zhì)還是運算的定義、性質(zhì)等，都必須承襲擴張前的數(shù)的概念、性質(zhì)以及運算的定義、性質(zhì)等，這正是教師在教學(xué)中強調(diào)“數(shù)與運算”一致性的根本性、深層次的原因。