以知識為始，以思維為終，落地深度學習

［摘 要］ 特級教師劉德武在數(shù)學課“知識與思維”的教學中，引導學生經(jīng)歷數(shù)學思考的過程，讓學生掌握概括、設數(shù)、分析、形感、排除和假設等數(shù)學思維方法，從而實現(xiàn)深度學習。

［關鍵詞］ 數(shù)學知識；數(shù)學思維；深度學習

聯(lián)合國教科文組織提出面向21世紀教育的四大支柱是學會求知、學會做事、學會共處、學會生存，而學會求知的關鍵在于人們要學會思維的方式。在數(shù)學課堂中，部分教師非常關注學生對數(shù)學知識的掌握程度，忽視其數(shù)學思維的形成過程，導致部分學生只知道怎么解題，不知道為什么這樣解題。近期，筆者在“現(xiàn)代與經(jīng)典”教研活動中聆聽了特級教師劉德武的數(shù)學課“知識與思維”，劉老師以專題知識的形式讓學生經(jīng)歷數(shù)學思考的過程，掌握概括、設數(shù)、分析、形感、排除和假設等數(shù)學思維方法。

一、片段一：從“兩個數(shù)相加”中學會概括

師：（出示課題“知識與思維”）同學們，我們?yōu)槭裁匆线@節(jié)數(shù)學課？猜一猜這節(jié)課要研究什么？解決什么問題？

生1：為了獲得更多的數(shù)學知識。

師：我們要研究數(shù)學知識背后的思維含量。（板書：既要學會數(shù)學知識，更要學會數(shù)學思維）很多同學上課的時候特別注重這節(jié)課學什么知識，這個習慣很好；但是任何一個數(shù)學知識背后都有相應的數(shù)學思維，這是特別重要的。這節(jié)數(shù)學課我們就來研究數(shù)學思維。（出示題目：□□□＋□□□=1000）兩個三位數(shù)相加等于1000，你們能舉個例子嗎？

生2：500＋500=1000，800＋200=1000。

師：滿足條件的加法算式有很多，現(xiàn)在要求方框里不能有0。老師出第一個加數(shù)，你們來說第二個加數(shù)，好嗎？我說第一個加數(shù)是111，第二個加數(shù)是多少？（全班學生說889）我說第一個加數(shù)是257，第二個加數(shù)是多少？（全班學生說743）這樣的算式有500多道，下面我們做一件事情來“概括”，你們知道是什么意思嗎？

生3：就是把一段很長的文字概括成很簡短的一段文字。

師：現(xiàn)在我們不舉例了，你們能不能用概括的語言說一說怎樣的兩個數(shù)加起來是1000？

生4：這兩個數(shù)的百位和十位相加是9，個位相加是10。

師：掌聲送上。（板書：概括是數(shù)學思維的高級形式）同學們，一起來讀一讀。（出示題目：0.□□□＋0.□□□=1）我們不舉這道題的例子了，這兩個加數(shù)有什么特點？

生5：十分位和百分位兩個數(shù)位相加得9，而千分位的兩個數(shù)位相加得10。

師：掌聲送上。（出示題目：0.□□□□□□□□□□□□＋0.□□□□□□□□□□□□=1）

生6：除了最后一位加起來等于10，前面加起來都等于9。

師：不管它前面有多少位，只管最后一位就行了，這就是高度的概括。

賞析：在這個教學片段中，劉老師開門見山地出示課題，告訴學生數(shù)學思維的必要性和重要性。以“兩個數(shù)相加”的專題學習為例，學生經(jīng)歷了三個層次的概括：第一層次是讓學生探索“兩個整數(shù)相加等于1000”中這兩個三位數(shù)的規(guī)律，在舉例中發(fā)現(xiàn)這樣的例子無窮無盡，體會到概括的必要性；第二層次是讓學生探索并學會用概括的數(shù)學語言描述“兩個小數(shù)相加等于1”中這兩個三位小數(shù)的規(guī)律，體會概括是數(shù)學思維的高級形式；第三層次是讓學生探索并用概括的數(shù)學語言描述“兩個多位小數(shù)相加等于1”中這兩個多位小數(shù)的規(guī)律，體會高度概括的抽象性。

二、片段二：從“乘積最大”中學會設數(shù)和分析

師：（出示題目：a＞b＞c，□□×□=）這里有三個字母，填到乘法算式中，就是兩位數(shù)乘一位數(shù)了，怎么填可以使乘積最大？

生1：讓兩位數(shù)和一位數(shù)的差最小，它們的乘積就更大了。

生2：bc×a的乘積最大，因為a和b比較大，要放在十位數(shù)相乘這里，所以把c放在個位數(shù)相乘這里。

生3：我也是把a和b放在十位數(shù)相乘這里，c放在個位數(shù)相乘這里，我認為是ac×b的乘積最大。

師：現(xiàn)在有了兩種答案：bc×a和ac×b，到底哪個乘積最大呢？學數(shù)學是要講道理的，請說服全班同學。

生4：我認為是bc×a的乘積大，我把a、b、c分別看作3、2、1，bc×a這個乘法算式就是21×3=63，ac×b這個乘法算式就是31×2=62，所以bc×a的乘積大。

師：這個方法叫作設數(shù)，就是給抽象的字母分別設一個合理的數(shù)，這樣就把這道題變得極其簡單。還有其他方法嗎？

生5：這兩個算式十位數(shù)相乘都是10a×b，我們只要比較個位數(shù)相乘部分誰大就是誰大。bc×a個位數(shù)部分是c×a，ac×b個位數(shù)部分是c×b，而c×a肯定比c×b要大，所以bc×a的乘積大。

師：這位同學看到了數(shù)學事物的內部情況，把一個整體分成了十位數(shù)相乘和個位數(shù)相乘這兩個部分，這種方法叫作分析。（板書：分析或設數(shù)都是解決抽象性問題的思維途徑）“析”字的木字旁代表大樹，古代的“斤”可以理解成斧頭，一把斧頭把大樹劈開就能看到它的內部結構。設數(shù)和分析都是好方法，我建議同學們選擇不太熟悉或不太喜歡的方法來做，這樣你們的思維能力就會越來越強。

賞析：在這個教學片段中，劉老師以兩位數(shù)乘一位數(shù)為切入口，融合了比較大小等知識。當學生有意識地把較大數(shù)放在十位數(shù)相乘部分時，劉老師進一步引導學生用講道理的方式探究到底哪個乘法算式的乘積最大，讓學生想到設數(shù)和分析兩種方法得到bc×a的乘積更大。對于這兩種數(shù)學思維方法，劉老師不是讓學生喜歡哪種就選擇哪種，而是鼓勵學生選擇自己不擅長的方法，突破自己的思維極限，讓學生的數(shù)學思維變得更加完整。

三、片段三：從“拼成正方形”中發(fā)展形感

師：（出示題目：兩個完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形）請在“可能、不可能、一定能”中選擇一個詞語填在括號里。

生1：是“可能”。

師：既然是可能，這兩個長方形應具備什么條件就可以拼成一個正方形？

生2：這個長方形的長是寬的2倍。（教師出示圖形）

師：（出示題目：兩個不完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形）我們再來看這道題，有點變化，你們覺得填什么？

（有的學生說“可能”，有的學生說“不可能”）

師：那我們用事實來講道理，說明怎樣的兩個長方形可以拼成正方形，還不完全一樣。

生3：這兩個長方形的長是相等的，還要寬相加等于長。（教師出示圖形）

師：這里還要“長相等”，前面這道題為什么不寫，是不是我們忘記了？

生4：不是，因為前面這道題講的是兩個完全一樣的長方形，它們的長和寬都是一樣長，寫上就多余了。

師：（板書：形感＋空間想象＋概括）形感就是你對一個圖形的大小、形狀、特征、位置的良好感覺；空間想象就是你能夠想象出它們的關系。

賞析：在這個教學片段中，劉老師結合可能性和圖形拼合等數(shù)學知識，引導學生先學會用可能、不可能、一定等詞語描述某種事件的可能性，再想象怎樣的兩個長方形可以拼成一個正方形，最后用數(shù)學語言和圖示來描述兩個長方形與一個正方形之間的轉化。學生在解決“拼成正方形”的過程中，自身的形感、空間想象和概括能力得到進一步提升。

四、片段四：從“小數(shù)乘法”中學會排除法

師：觀音菩薩給唐僧師徒四人出了一道題，（ ）×（ ）=15.08，四人中只有一人做對。（出示唐僧的答案：4.2×4.7）同意嗎？

生1：不同意，因為15.08的小數(shù)部分是08，而唐僧的答案中的小數(shù)部分是0.2×0.7等于0.14，所以不對。

師：我們看了小數(shù)部分的末尾就判斷唐僧的答案是錯的，這種方法叫作“看尾數(shù)”。（出示孫悟空的答案：3.8×5.16）孫悟空的答案的尾數(shù)是8，他做對了嗎？

生2：我認為也是錯誤的，3.8×5.16的小數(shù)部分一定是三位，而觀音菩薩所給題目只有兩位小數(shù)，所以是錯的。

師：這種方法叫作“看位數(shù)”。（出示豬八戒的答案：2.6×5.8）豬八戒答案是對還是錯？

生3：豬八戒的答案中，末尾是6乘8等于48，與觀音菩薩說的08不太一樣。

生4：豬八戒的答案中，整數(shù)部分是2乘5等于10，而題目的結果中整數(shù)部分是15，差得太多了。

生5：我覺得有可能是對的，小數(shù)的末尾正好是8，整數(shù)部分雖然現(xiàn)在是10，但進5也是有可能的。

師：我們看了三個人的答案，依然無法判斷。下面，我們看沙和尚的答案。（出示沙和尚的答案：4.2×4.4）如果沙和尚的答案是對的，那豬八戒肯定就做錯了；如果沙和尚的答案是錯的，那豬八戒肯定就做對了。這種方法叫作“排除法”。

生6：沙和尚的答案錯了。整數(shù)部分是4乘4等于16，已經(jīng)大于15了。

師：這種方法叫作“看大數(shù)”。我們要學會多角度看問題，如果你只有一個角度，比如只會看尾數(shù)，你就只能排除唐僧的答案；觀察事物的角度越多，方法就越多。

賞析：在這個教學片段中，劉老師結合小數(shù)乘法的知識，告知學生乘法算式的結果讓學生猜乘法，逐步呈現(xiàn)了唐僧、孫悟空、豬八戒和沙和尚的不同算式，在排除法中引導學生發(fā)現(xiàn)看尾數(shù)、看位數(shù)、看大數(shù)等方法。尤其是面對豬八戒的乘法算式時，很多學生無法判斷其是否正確。對此，劉老師引導學生學會從多個角度看問題。

五、片段五：從“正方體體積”中學會假設和推理

師：你們還記得正方體的體積與棱長的關系嗎？（學生說“正方體的體積等于棱長的三次方”）我要是知道一個正方體的體積，能不能簡單地除以3就是棱長？（全班學生都說不能）這里有3道題，考考大家。

（出示：①棱長是（ ）厘米，體積是1立方厘米）棱長是幾厘米？

生1：1乘1乘1等于1，所以棱長是1厘米。

師：（出示：②棱長是（ ）厘米，體積是8立方厘米）棱長是幾厘米？

生2：2乘2乘2等于8，所以棱長是2厘米。

師：（出示：③棱長是（ ）厘米，體積是1.728立方厘米）這個棱長應該是多少？

生3：應該是零點幾。

生4：不對，零點幾乘零點幾的結果是零點幾，不可能是一點多。我認為應該是一點幾。

師：我們可以先想這個棱長是1，太小了；如果這個棱長是2，又太大了，所以棱長在1與2之間，也就是一點幾。那到底是一點幾呢？

生5：我認為可能是1.2，因為我看結果的最后一位是8。我想到了前面棱長是2厘米，體積是8立方厘米的例子。

師：棱長就是1.2厘米。在這里我們用了“假設＋推理”的思維方法，先用假設確定棱長的范圍，再用推理的方法確定正確答案。

賞析：在這個教學片段中，劉老師圍繞正方體的棱長與體積的數(shù)學知識，由易到難地設計了3道題目，學生很快解答了前面2道題目；到了第3題時，學生充分利用前面2題的結論縮小了棱長的范圍，再根據(jù)第2題的結論推導棱長。劉老師用這樣一個題組向學生滲透了假設和推理的數(shù)學思維方法。

綜上所述，學生掌握數(shù)學知識固然重要，但更重要的是要掌握數(shù)學思維方法。因此，在教學設計時教師應注重練習的深度和寬度，要體現(xiàn)“以生為主”的教學理念。這樣能讓學生在平時學習數(shù)學知識的過程中努力挖掘和提煉數(shù)學知識背后的數(shù)學思維、數(shù)學思想、數(shù)學方法以及數(shù)學策略等，從而使學生學習數(shù)學變得更加輕松。