簡教深學(xué)：“一致性”理念下“數(shù)與運算”教學(xué)實踐

［摘 要］ 基于“一致性”的“數(shù)與運算”教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生從知識本源上、關(guān)聯(lián)上感悟、體驗知識的一致性。計數(shù)單位是“數(shù)的認(rèn)識”簡教深學(xué)的抓手，運算規(guī)律是“數(shù)的運算”簡教深學(xué)的抓手，數(shù)理算理是“數(shù)與運算”簡教深學(xué)的抓手。簡教深學(xué)是“一致性”理念下“數(shù)與運算”教學(xué)實踐的應(yīng)然教學(xué)范式。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)與運算；“一致性”理念；簡教深學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“一致性”的教學(xué)原則?！皵?shù)與運算”的一致性包括三個層面：一是“數(shù)的認(rèn)識”的一致性，二是“數(shù)的運算”的一致性，三是“數(shù)的認(rèn)識與運算”的一致性。為了體現(xiàn)“數(shù)與運算”的一致性，教師可以采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式——簡教深學(xué)，即簡化地教，促進學(xué)生深刻地學(xué)。簡教深學(xué)是一種整體性、系統(tǒng)性、遷移性、方法性、結(jié)構(gòu)性、思想性教學(xué)，追求“用最少的時間獲得最大教學(xué)效能”，是“雙減”政策背景下數(shù)學(xué)教學(xué)改革的應(yīng)然追求。

一、計數(shù)單位：“數(shù)的認(rèn)識”簡教深學(xué)的抓手

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握“數(shù)”的建構(gòu)、形成過程。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是分割的、分離的，導(dǎo)致學(xué)生對“數(shù)的認(rèn)識”的認(rèn)識是碎片化、割裂化的。為了讓學(xué)生深入認(rèn)識數(shù)，教師在教學(xué)中著眼于“數(shù)”的構(gòu)成的內(nèi)在載體——計數(shù)單位引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。在教學(xué)中，教師還從“數(shù)”的起源、“數(shù)”的構(gòu)成等方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，從而讓學(xué)生感受、體驗“數(shù)的認(rèn)識”的“一致性”。

在教學(xué)“認(rèn)識數(shù)”的時候，教師不僅要從學(xué)生的生活經(jīng)驗背景出發(fā)、從具體的數(shù)量中抽象、概括、提煉出“數(shù)”，還要從“數(shù)”的組成、“數(shù)”的建構(gòu)等方面來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”。比如，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識整數(shù)的時候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從人類結(jié)繩計數(shù)時代的“一個個地數(shù)”（非進位制）轉(zhuǎn)向“一組組地數(shù)”（進位制），從而幫助學(xué)生感悟數(shù)的基數(shù)意義和序數(shù)意義，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識具體的個、十、百、千等計數(shù)單位，這是人類在認(rèn)識“數(shù)”的歷史進程中的關(guān)鍵步子。

在教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的時候，教師要將分?jǐn)?shù)的平均分本質(zhì)與計數(shù)單位結(jié)合起來，讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)計數(shù)是分?jǐn)?shù)單位的一種累加、疊加，這一點與整數(shù)計數(shù)是一致的。

在教學(xué)“認(rèn)識小數(shù)”的時候，教師同樣要以計數(shù)單位作為載體，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識小數(shù)的意義。以計數(shù)單位為載體，教師可以關(guān)聯(lián)整數(shù)和小數(shù)的“滿十進一”“退一作十”等，從而建構(gòu)完整意義上的“十進制”，建構(gòu)完整意義上的數(shù)位順序表等；以計數(shù)單位來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)、探究數(shù)、建構(gòu)數(shù)，能凸顯數(shù)的本質(zhì)。借助計數(shù)單位，學(xué)生能深刻地認(rèn)識到“小數(shù)計數(shù)單位是整數(shù)計數(shù)單位的自然延伸”“小數(shù)是不帶分母的十進分?jǐn)?shù)”等?！坝嫈?shù)單位”將“數(shù)的認(rèn)識”領(lǐng)域的相關(guān)知識集結(jié)、統(tǒng)整起來，能讓學(xué)生感受、體驗“數(shù)的認(rèn)識”領(lǐng)域相關(guān)知識的一致性。這樣的基于計數(shù)單位的教學(xué)，就是一種“大概念”“高觀點”統(tǒng)攝下的簡教深學(xué)。

簡教深學(xué)不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，還能將相關(guān)知識串接、勾連到一體，從而有助于學(xué)生建構(gòu)、完善知識結(jié)構(gòu)。簡教深學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)與運算”學(xué)習(xí)過程中能抓住體現(xiàn)“一致性”的核心知識、關(guān)鍵知識、本質(zhì)要素等，從而發(fā)揮“牽一發(fā)而動全身”的作用?！皵?shù)的認(rèn)識”一致性教學(xué)有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、運算規(guī)律：“數(shù)的運算”簡教深學(xué)的抓手

“數(shù)的運算”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一個較為重要的組成部分，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運算”領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，教師要以“一致性”作為教學(xué)原則，引導(dǎo)學(xué)生對“數(shù)的運算”進行自主思考、探究。以“一致性”作為教學(xué)的基本原則能讓分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)的加減乘除法運算的內(nèi)在算理得到有效揭示，進而讓學(xué)生更深刻地理解算法。在教學(xué)中，教師要以運算規(guī)律作為內(nèi)在支撐實施“數(shù)的運算”的一致性教學(xué)，正所謂“算律決定算理，算理決定算法”。

在“數(shù)的運算”的簡教深學(xué)過程中，教師要著重體現(xiàn)關(guān)聯(lián)、溝通的教學(xué)特性，讓學(xué)生感受、體驗“數(shù)的運算”的內(nèi)在本質(zhì)一致性。在加減乘除運算中，加法運算是基礎(chǔ)，減法運算是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，而除法又是乘法的逆運算。在進行加法計算教學(xué)時，教師要以計數(shù)單位作為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生進行計算，如“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”，其內(nèi)在的一致性原則是“只有計數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。

就乘法的運算而言，教師既可以將其還原成加法，進而引導(dǎo)學(xué)生洞察乘法的源頭，也可以獨立探尋屬于自己的算理、算法，對于整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法和小數(shù)乘法都是如此。在教學(xué)中，教師以運算規(guī)律作為“數(shù)的運算”簡教深學(xué)的抓手，尤其是“乘法分配律”在“數(shù)的運算”的一致性教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。比如，整數(shù)乘法是“計數(shù)單位相乘”，如24×3=20×3+4×3=2×3×10×1+4×3×1×1；小數(shù)乘法也是“計數(shù)單位相乘”，如0.24×0.3=（0.2+0.04）×0.3=0.2×0.3+0.04×0.3=2×3×0.1×0.1+4×3×0.01×0.1；同樣，分?jǐn)?shù)乘法也能體現(xiàn)“計數(shù)單位相乘”等。除法同樣可以探索出以計數(shù)單位為基礎(chǔ)的運算規(guī)律、運算法則、運算算理等，如60÷3可以看成6個10平均分成3份，每一份就是2個10，也就是20；90÷30就可以用9÷3，計數(shù)單位“十”除以計數(shù)單位“十”，結(jié)果就是3。在“數(shù)的運算”的教學(xué)中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生洞察數(shù)與運算的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)的運算的意義、算理和算法的探索過程，讓學(xué)生掌握加減乘除運算意義之間的關(guān)系。在這個過程中，教師要滲透、融入相關(guān)運算律、等式的基本性質(zhì)等內(nèi)容。教師只有讓學(xué)生認(rèn)識、理解、感悟到數(shù)的運算的內(nèi)在一致性，才能使學(xué)生學(xué)得得心應(yīng)手，使看似紛繁復(fù)雜的數(shù)的運算內(nèi)容得到有效的統(tǒng)整。

在“數(shù)的運算”的內(nèi)在一致性教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用整體性、系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性的眼光來打量、考量。簡教深學(xué)要求教師不能采用傳統(tǒng)的“各個突破”的策略，必須立足“數(shù)的運算”的根本，引導(dǎo)學(xué)生體會不同數(shù)的運算的內(nèi)在一致性，從而引導(dǎo)學(xué)生開展遷移性、結(jié)構(gòu)性的學(xué)。在“數(shù)的運算”的一致性教學(xué)中，教師要有意識地培育學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣，提升學(xué)生的運算能力、推理能力。在“數(shù)的運算”的一致性教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗數(shù)學(xué)學(xué)科知識之間的關(guān)系，能使學(xué)生有效遷移、運用相關(guān)的方法。

三、數(shù)理算理：“數(shù)與運算”簡教深學(xué)的抓手

數(shù)理算理是數(shù)學(xué)學(xué)科課程的內(nèi)在道理。在“數(shù)與運算”的教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生“知其然”，更要讓學(xué)生“知其所以然”。教師不僅要讓學(xué)生掌握“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”的本質(zhì)，更要讓學(xué)生把握“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運算”的內(nèi)在關(guān)系。要通過數(shù)理和算理教學(xué)，讓學(xué)生把握“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運算”的內(nèi)在關(guān)系，讓學(xué)生感受、體驗“數(shù)與運算”的內(nèi)在一致性。數(shù)理是“數(shù)與運算”一致性教學(xué)的基礎(chǔ)，算理是“數(shù)與運算”一致性教學(xué)的關(guān)鍵。數(shù)理和算理構(gòu)成了“數(shù)與運算”一致性教學(xué)的兩個錨點。具體而言，在“數(shù)的認(rèn)知”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)理；在“數(shù)的運算”的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識算理。不僅如此，在簡教深學(xué)的過程中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)理和算理，深化學(xué)生對數(shù)理和算理的直觀感知。

教學(xué)的最高境界應(yīng)是“以簡馭繁”“以少勝多”。在簡教深學(xué)的過程中，教師要幫助學(xué)生建構(gòu)“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”的一致性框架，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)與數(shù)之間、運算與運算之間、數(shù)與運算之間的內(nèi)在關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感悟“數(shù)與運算”的內(nèi)在一致性。從“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運算”的核心概念上來看，計數(shù)單位應(yīng)是“數(shù)與運算”的內(nèi)在算理的基石。從計數(shù)單位的視角來看，分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)都是由一定的計數(shù)單位構(gòu)成的；而加減法就是讓若干個計數(shù)單位相加減；乘法就是讓計數(shù)單位和計數(shù)單位相乘，讓計數(shù)單位上的數(shù)和計數(shù)單位上的數(shù)相乘；除法就是讓計數(shù)單位和計數(shù)單位相除，讓計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相除等。

在教學(xué)中，教師可以先從“數(shù)與運算”的一些基本性的事實出發(fā)，如運算的一些法則、口訣等，引導(dǎo)學(xué)生比較計算的相同點，從而提煉相關(guān)的“大概念”“高觀點”等，如計數(shù)單位、運算規(guī)律、等式的性質(zhì)等。然后教師可以從基本規(guī)律、基本運算出發(fā)，在運算的一些基本事實教學(xué)中滲透、融入這些“大概念”，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，因為這些內(nèi)容是學(xué)生理解“數(shù)與運算”的基礎(chǔ)。簡教深學(xué)，不僅要讓“數(shù)與運算”領(lǐng)域的相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識“立”起來，更要讓“數(shù)與運算”領(lǐng)域中的相關(guān)知識“長”起來。在“數(shù)與運算”這一領(lǐng)域的教學(xué)中，教師不僅要結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性地引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)”，還要遷移性、應(yīng)用性地引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)”。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分應(yīng)用已有的知識經(jīng)驗，借助“大概念”“高觀點”，自主建構(gòu)、創(chuàng)造相關(guān)的知識，如自主認(rèn)識數(shù)、自主建構(gòu)算法等。

數(shù)理、算理是“數(shù)與運算”的內(nèi)核，是簡教深學(xué)的重要抓手。教師要自覺地、理性地抓住內(nèi)核，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)、理解數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。教師通過“數(shù)與運算”的一致性教學(xué)，能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)科知識“數(shù)學(xué)化”的過程（包括從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)世界的橫向數(shù)學(xué)化，也包括數(shù)學(xué)世界中的符號被使用，即縱向數(shù)學(xué)化）。在“數(shù)與運算”這一數(shù)學(xué)學(xué)科知識領(lǐng)域，簡教深學(xué)是一種結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，它追求“教深刻”“學(xué)透徹”。為此，教師要聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)科知識“做勾連”，這是簡教深學(xué)的一種常態(tài)研究工作?！昂喗獭迸c“深學(xué)”相互融合，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深刻、走向深度。

基于“一致性”追求的“數(shù)與運算”教學(xué)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，讓學(xué)生從知識本源上、關(guān)聯(lián)上感悟、體驗知識的一致性、整體性、結(jié)構(gòu)性。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在充分經(jīng)歷知識建構(gòu)、發(fā)展過程中，形成數(shù)感、符號意識、運算能力和推理能力。簡教深學(xué)不僅要立足數(shù)學(xué)學(xué)科知識，而且要立足數(shù)學(xué)思想、方法。為此，教師在引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)理、算理的過程中，要及時跟進、主動介入，對學(xué)生“數(shù)的認(rèn)識”“數(shù)的運算”等進行有效的啟發(fā)、點撥、引導(dǎo)。“簡教”推動著“深學(xué)”，“深學(xué)”又催生著“簡教”?！昂喗獭薄吧顚W(xué)”相輔相成、相互促進、相互融合、相得益彰。