經(jīng)歷數(shù)學實驗，促進思辨明理

［摘 要］ 研究者以“圓錐的體積”一課為例，讓學生在猜想和觀察中理解圓柱與圓錐的體積之間的關(guān)系，在實驗和討論中探索圓錐體積的計算公式，在應用和練習中提高解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學實驗；圓錐的體積；圓柱的體積

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流是學習數(shù)學的重要方式。因此，筆者在教學“圓錐的體積”一課時，借助數(shù)學實驗讓學生經(jīng)歷比較圓柱體積和圓錐體積的過程，通過倒水的實驗鼓勵學生主動思考和探索，激發(fā)他們的求知欲和好奇心，在實際操作和數(shù)據(jù)比較分析中發(fā)現(xiàn)圓柱體積是等底等高圓錐體積的3倍，深刻體驗數(shù)學的魅力和應用價值。

一、在猜想和觀察中，猜測圓柱與圓錐的體積關(guān)系

教師通過生活中的實際問題激發(fā)學生的認知沖突，引出本節(jié)課要學習的圓錐的體積，讓學生初步感受圓錐體積的大小與底面積和高這兩個因素有關(guān)；同時，教師進一步引導學生復習立體圖形和它們的體積計算公式，引導學生大膽猜測圓柱體積和圓錐體積之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：同學們，周末淘氣路過一家冰淇淋店，想買一個冰淇淋。如圖1，同樣價格的兩個冰淇淋，選哪一個更劃算呢？

（有的學生選擇第二個，因為它的底面積更大；有的學生選擇第一個，因為它更高一些）

師：我們要知道哪個冰淇淋更劃算，其實就是比較圓錐的體積。同學們，我們已經(jīng)學過哪些立體圖形的體積？大家還記得這些立體圖形的體積公式嗎？

生1：正方體的體積公式是棱長的立方，長方體的體積公式是長乘寬乘高，圓柱的體積公式是底面積乘高。

師：這節(jié)課我們要來研究圓錐的體積，大家覺得可能和哪個立體圖形的體積有關(guān)呢？

生2：可能和圓柱的體積有關(guān)，因為圓柱和圓錐的底面都是圓形。

師：（出示三角形和長方形）大家看這兩個平面圖形旋轉(zhuǎn)一周后得到了圓錐和圓柱，大膽猜一猜圓錐的體積和圓柱的體積有什么關(guān)系？

（有的學生說圓柱體積是圓錐體積的2倍，有的學生說圓柱體積是圓錐體積的4倍，也有的學生說圓柱體積是圓錐體積的3倍）

在這個教學片段中，教師讓學生直觀觀察兩個同樣價格的圓錐形狀冰淇淋，選擇哪一個冰淇淋最劃算，為后續(xù)研究“圓錐的體積與底面積和高的關(guān)系”打下基礎(chǔ)。然后教師在復習立體圖形體積過程中組織學生猜測圓柱體積與圓錐體積的關(guān)系，為開展數(shù)學實驗做好準備。

二、在實驗和討論中，探索圓錐體積計算公式

動手操作是小學生數(shù)學學習的主要方式之一，不僅能讓他們在動手操作中直接看到實驗結(jié)果，還能提高學生的學習興趣和參與積極性。在倒水的數(shù)學實驗中，學生親自觸摸、觀察和測量圓柱形容器和圓錐形容器中水量的關(guān)系，將抽象的立體圖形體積知識轉(zhuǎn)化為具體直觀的感知和經(jīng)驗。這種直觀感受有助于學生建立對數(shù)學概念的客觀認識，并幫助他們更好地理解和記憶數(shù)學知識。

師：（出示實驗器材和實驗要求）同學們，我們做一個數(shù)學實驗，老師為大家準備了一個圓錐形容器和三個大小不同的圓柱形容器，請大家一起驗證圓柱體積和圓錐體積的關(guān)系，并把自己小組的實驗結(jié)果記錄在實驗單上。在數(shù)學實驗開始前，大家想一想在實驗過程中需要注意什么？

生1：我們不能把水打翻在桌子上；每次倒水的時候一定要剛好倒?jié)M，不然實驗結(jié)果就會有誤差。

師：剛才很多小組都得到了實驗的結(jié)果，哪個小組愿意與我們一起來分享一下收獲？

生2：我們小組選擇的是和圓錐的底和高都相同的圓柱形容器，這樣可以減少實驗中的影響因素。我們在空圓錐形容器里裝滿水倒入圓柱形容器，一共需要3次才能倒?jié)M。所以我們發(fā)現(xiàn)等底等高的圓錐體積是圓柱體積的，圓柱體積是圓錐體積的3倍。用字母表示：V圓錐=V圓柱=×底面積×高=πr2h。我們小組匯報完畢，大家有疑問或補充嗎？

生3：你們?yōu)槭裁匆x擇等底等高的圓柱和圓錐？

生2：因為等底等高的圓柱和圓錐在計算體積時就不用考慮底和高的影響，方便我們通過實驗得到結(jié)論，還能減少誤差。

生4：你們是怎么找到等底等高的圓柱和圓錐的？

生2：我們以圓錐為標準，找到底面圓形相同的圓柱和圓錐；再把圓柱和圓錐放在同一條水平線上，比較圓柱和圓錐的高。

師：現(xiàn)在我們通過倒水的數(shù)學實驗得到圓錐的體積公式是πr2h。

在這個教學片段中，教師為學生提供了具有典型性的四個實驗器材，引導學生根據(jù)實驗目的合理選擇探索圓錐體積的實驗器材，減少實驗過程中的干擾因素。教師發(fā)現(xiàn)大部分小組受到兩個圓錐形狀的冰淇淋的影響，選擇了等底等高的圓柱形容器和圓錐形容器進行比較實驗。每個小組的組員在倒水過程中都小心翼翼地在圓錐形容器中裝滿水，再倒入等底等高的圓柱形容器中，這樣可以減少數(shù)學實驗的誤差，讓數(shù)學實驗變得更加真實和準確。在全班學生的交流討論中，學生不僅關(guān)注圓錐體積的公式是什么，還關(guān)注為什么選擇等底等高的圓柱和圓錐，加深了對“等底等高”的理解。

三、在應用和練習中，提高解決問題的能力

在數(shù)學實驗探究結(jié)束后，教師引導學生應用圓錐體積知識解決數(shù)學問題，設(shè)置第一題引導學生從不同角度考慮繞著不同直角邊旋轉(zhuǎn)一周會得到不同形狀的圓錐；設(shè)置第二題引導學生運用圓錐體積的知識解決冰淇淋的問題。教師由圓柱體積與圓錐體積的比較遷移到正四棱柱體積與正四棱錐體積的比較，實現(xiàn)了學生對數(shù)學實驗的反思和遷移。

師：（出示直角邊分別是3厘米和2厘米的直角三角形）同學們，請展開想象，把一個直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周，你們能計算旋轉(zhuǎn)后立體圖形的體積嗎？

生1：如果我們繞3厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的是一個高3厘米的圓錐，這個圓錐的體積是V圓錐=πr2h=×3.14×22×3=12.56（立方厘米）；如果我們繞2厘米的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的是一個高2厘米的圓錐，這個圓錐的體積是V圓錐=πr2h=×3.14×32×2=18.84（立方厘米）。

師：同學們，在計算圓錐體積的過程中，有沒有要特別注意的地方？

生2：我們在計算圓錐體積的時候不能漏乘。

師：同學們，現(xiàn)在我們知道了圓錐體積的計算，你們能不能解決選擇哪個冰淇淋最劃算的問題？

生3：不能，我們還不知道冰淇淋的底和高分別是多少。

師：現(xiàn)在雖然沒有直接告訴你們圓錐的底和高是多少，但是告訴了你們底面周長和直徑，（出示①底面周長18.84厘米，高9厘米；②底面直徑8厘米，高6厘米）請你們算一算冰淇淋的體積分別是多少？

生4：我們先看第一個冰淇淋，r=18.84÷3.14÷2=3（厘米），V圓錐=πr2h=×π×3×3×9=27π（立方厘米）；第二個冰淇淋，r=8÷2=4（厘米），V圓錐=πr2h=×π×4×4×6=32π（立方厘米）。所以同樣價格的情況下，我會選擇第二個冰淇淋。

師：這位同學雖然沒有直接計算出冰淇淋的體積，但是用π進行計算，讓計算變得更加簡捷。（出示正四棱柱和正四棱錐）同學們，我們根據(jù)圓柱的體積推算出了圓錐的體積，請大家大膽猜測一下正四棱柱的體積和正四棱錐的體積有什么關(guān)系？

生5：正四棱柱的體積是正四棱錐的體積的3倍。

在這個教學片段中，學生運用圓錐體積公式解決生活中的實際問題，提高了解決問題的能力。為了進一步讓學生體會猜想、驗證、推理的數(shù)學實驗過程，教師繼續(xù)引導學生思考正四棱柱和正四棱錐體積關(guān)系，并通過倒水實驗驗證結(jié)果，幫助學生感悟轉(zhuǎn)化思想的重要性。

總之，教師要引導學生在具身的數(shù)學實驗探究中經(jīng)歷猜想、驗證和推理等過程，發(fā)現(xiàn)圓錐體積計算方法和算理，讓學生在運用體積公式中感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，提高解決問題的能力，發(fā)展推理意識和應用意識。