借助數(shù)量關(guān)系，發(fā)展模型意識

［摘 要］ 模型意識是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，教師可以借助數(shù)量關(guān)系發(fā)展學(xué)生的模型意識。研究者以“相遇問題”單元復(fù)習(xí)為例，通過教材解讀后設(shè)計了教學(xué)活動：模擬表演，幫助學(xué)生理解“相向而行”；自主探究，幫助學(xué)生解決相遇問題；鏈接生活，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

［關(guān)鍵詞］ 相遇問題；模型意識；復(fù)習(xí)課

模型意識是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。一個完整的數(shù)學(xué)建模過程包括在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結(jié)果等，最終解決實際問題。筆者在教學(xué)“相遇問題”一課時，讓學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的問題，并在解決問題后用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋現(xiàn)實的情境，通過“問題提出→公式計算→結(jié)果解釋”的過程初步感悟建模的意義。

一、教材解讀

“相遇問題”這一部分內(nèi)容主要是運用運算律等相關(guān)知識解決有關(guān)行程計算的實際問題。學(xué)習(xí)計算以及運算律的目的之一就是讓學(xué)生能夠自覺地運用所學(xué)知識和方法來解釋現(xiàn)實世界的一些現(xiàn)象，解決有關(guān)的實際問題，進(jìn)而獲得從數(shù)學(xué)角度觀察生活的眼光，培養(yǎng)應(yīng)用意識。因此，在運算律教學(xué)之后，教材安排了應(yīng)用運算律解決相遇問題的例題。

教材中的第一個例題是求兩個物體相遇時路程的實際問題。一方面，學(xué)生初步學(xué)會用列表與畫圖的方法整理條件和問題，了解解決實際問題的一般步驟，掌握“路程=速度×?xí)r間”等常見的數(shù)量關(guān)系，以及會正確解答求兩積之和（差）的數(shù)量關(guān)系的問題。利用這些已有的數(shù)學(xué)知識和方法，學(xué)生就能夠正確解答求總路程的相遇問題。另一方面，由于相遇問題是形式化的數(shù)學(xué)模型，問題結(jié)構(gòu)比較抽象，涉及時間、方向等因素，學(xué)生理解有一定的難度，故例題中沒有用“相向而行”等抽象的術(shù)語呈現(xiàn)問題，而是以圖文結(jié)合的形式出示已知條件和問題。

當(dāng)學(xué)生根據(jù)已知條件提出問題后，教材直接提問：你能用畫圖或列表的方式來整理題目的條件和問題嗎？學(xué)生就可以用自己喜歡的方法整理題目中的條件和問題。學(xué)生根據(jù)整理結(jié)果分析數(shù)量關(guān)系，確定先算什么，并通過交流明確兩種不同的解題思路。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生先用不同的方法來解決問題，再思考兩種解法之間的聯(lián)系，并在交流中認(rèn)識兩種解法實質(zhì)上是乘法分配律的具體應(yīng)用。最后，學(xué)生回顧解決問題的全過程，分享自己的收獲和經(jīng)驗。在學(xué)生經(jīng)歷“整理條件和問題→分析數(shù)量關(guān)系、確定解題思路→采用兩種方法解答→回顧與反思”的過程后，教師鼓勵學(xué)生主動將解題策略和經(jīng)驗應(yīng)用到新問題的解決中，充分理解兩種解決方案之間的聯(lián)系，體驗乘法分配律在實際問題中的應(yīng)用。在這個過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生感悟解決問題的策略，讓學(xué)生積累靈活運用所學(xué)知識解決問題的經(jīng)驗，從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。

隨后的“試一試”是一道求行走路程的實際問題，其數(shù)量關(guān)系和例題基本相同，但運行方式與例題不同。教材中提供了行走距離的點和方向，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫圖整理題中的條件和問題，并用直觀的圖表分析數(shù)量關(guān)系，完成解答。這樣的練習(xí)有利于學(xué)生進(jìn)一步體會行程問題的結(jié)構(gòu)特征，體會分析數(shù)量關(guān)系的策略，理解不同解題方法之間的聯(lián)系。

二、教學(xué)過程

1. 模擬表演，理解“相向而行”

師：同學(xué)們，小明和小芳是好朋友，兩人同時從家出發(fā)去學(xué)校，相向而行，在學(xué)校門口相遇了。誰來扮演這里的小明和小芳，表演一下當(dāng)時的情境？老師來扮演小明，你來表演小芳，我們一起來走一走。（教師和學(xué)生反方向走）你們有什么想說的？

生1：我覺得方向反了，小芳和小明應(yīng)該面對面走。

師：（教師和學(xué)生相向而行，相遇后兩人停下來）現(xiàn)在我們倆走對了嗎？

生（齊聲答）：走對了。

師：同學(xué)們，在剛才的相遇問題表演中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：兩人是相向而行，相遇后同時停下來。

在這個教學(xué)片段中，教師創(chuàng)設(shè)了生活中兩人相遇的情境，并通過模擬表演的方式幫助學(xué)生理解題目的意思。師生兩人在模擬走路的過程中，教師故意制造錯誤，引導(dǎo)學(xué)生理解相向而行是兩人面對面走。通過直觀且生動的模擬表演，學(xué)生不僅理解了“相向而行”的意思，還感受了學(xué)習(xí)的樂趣。

2. 自主探究，解決相遇問題

師：同學(xué)們，在生活中我們會碰到相遇問題，這節(jié)數(shù)學(xué)課我們就來好好研究這個問題。（出示題目信息：小明和小芳同時從家出發(fā)走向?qū)W校，小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，4分鐘后兩人在校門口相遇）現(xiàn)在讓我們用數(shù)學(xué)的眼光去看這個相遇問題，根據(jù)這些條件你們能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生提出的問題：①小芳和小明兩人在何處相遇？②小芳和小明他們兩家相距多少米？③小芳4分鐘走了多少米？小明4分鐘走了多少米？④小明比小芳多走多少米？

師：（黑板上畫出線段圖）同學(xué)們，我們先來解決第一個問題，老師在黑板上畫了小明和小芳行走的線段圖，你們能找到他們兩人在哪里相遇嗎？

生3：小明和小芳兩人相遇的地方，在過了中點靠近小芳的位置，因為小明走得快，小芳走得慢。

師：同學(xué)們，我們一起來看這個線段圖，這一段是小明走的距離，這一段是小芳走的距離。那小芳和小明他們兩家相距多少米？請在學(xué)習(xí)單上算一算。

生4：我是這樣算的：70×4＋60×4=280＋240=520（米），70×4表示小明4分鐘走的距離，60×4表示小芳4分鐘走的距離，所以70×4＋60×4表示小明和小芳4分鐘走的距離。

師：你們能在線段圖上分別找到小明4分鐘走的距離和小芳4分鐘走的距離在哪里嗎？（學(xué)生指出線段圖上小明4分鐘走的距離和小芳4分鐘走的距離）誰還有其他方法嗎？

生5：我是這樣算的：（70＋60）×4=130×4=520（米），70＋60表示小明和小芳兩人1分鐘走的距離，4表示小明和小芳兩人走了4分鐘，所以（70＋60）×4表示小明和小芳4分鐘走的距離。

師：你們能在線段圖上找到70＋60和4分別在哪里嗎？

生6：我們把小明走的距離平均分成4份，小芳走的距離平均分成4份，小明的1份和小芳的1份合起來表示70＋60，這里有這樣的4份。

師：我覺得同學(xué)們都了不起，不僅會做題，還能在線段圖上進(jìn)行解釋。其實從算式的特點來看，70×4＋60×4與（70＋60）×4就是應(yīng)用乘法分配律的簡便計算。

在這個教學(xué)片段中，教師采取了一種啟發(fā)式和探索式的教學(xué)策略。首先，教師以生活中的相遇情境為背景，讓學(xué)生基于這一情境自主提出與相遇有關(guān)的具體問題。當(dāng)學(xué)生提出一系列問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生按照問題的難易程度和邏輯順序逐個解決。在解決相遇問題時，教師鼓勵學(xué)生通過獨立思考、小組討論等方式嘗試尋找答案，充分調(diào)動他們的主觀能動性和創(chuàng)新思維。這時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩種不同的解決思路，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖對這兩種解決方法進(jìn)行詳細(xì)的解釋和說明，促使學(xué)生理解這兩種方法都是運用了速度、時間和距離三者之間的基本關(guān)系，而線段圖則提供了一個更為直觀和形象的理解方式。

3. 鏈接生活，建立數(shù)學(xué)模型

師：同學(xué)們，剛才我們解決了相遇問題，其實在我們生活中只有兩個人走路時的相遇嗎？生活中還有哪些相遇問題？

生7：一艘船從甲港口開往乙港口，另一艘船從乙港口開往甲港口。

生8：兩輛大巴車在行駛的過程中如果相向而行會涉及相遇問題。

師：老師也收集了生活中的一些相遇問題，請你們拿出學(xué)習(xí)單練一練吧！

生9：我們一起看第一題，甲高鐵的速度是275千米/時，乙高鐵的速度是325千米/時，兩列高鐵從兩地同時出發(fā)，相向而行，4小時后相遇，兩地相距的距離是（275＋325）×4=600×4=2400（千米）。第二題，甲打字員每分鐘打字100個，乙打字員每分鐘打字90個，兩名打字員同時打字，10分鐘打完，這篇文章一共有（100＋90）×10=190×10=1900（個）。

生10：我們一起看第三題，聰聰每分鐘跳繩105下，明明每分鐘跳繩95下，3分鐘兩人的跳繩個數(shù)是（105＋95）×3=200×3=600（個）。第四題，佳佳每秒鐘跑6米，迪迪每秒鐘跑4米，30秒鐘后兩人相遇，這個環(huán)形跑道的長度是（6＋4）×30=10×30=300（米）。

生11：我們一起看第五題，甲工程隊每月鑿隧道160米，乙工程隊每月鑿隧道140米，兩個工程隊同時施工，10個月開通，這條隧道的長度是（160＋140）×10=300×10=3000（米）。

師：同學(xué)們，我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了相遇問題，你們有什么收獲？

生12：我知道了可以用兩種方法來解決相遇中“相向而行”的問題。

生13：我還想知道小明和小芳同時從家出發(fā)走向?qū)W校，小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米， 如果小明經(jīng)過5分鐘到了學(xué)校，這時小芳離學(xué)校還有多少米？

在這個教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的相遇問題，并通過鞏固練習(xí)幫助學(xué)生建立相遇問題的數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)設(shè)計可以幫助學(xué)生將抽象的概念與實際問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生更好地理解相遇問題的數(shù)學(xué)知識點。更重要的是，學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

三、教學(xué)反思

本節(jié)數(shù)學(xué)課主要圍繞“相遇問題”進(jìn)行教學(xué)，教師通過一系列的設(shè)計與實踐，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握相遇問題的數(shù)學(xué)知識點，發(fā)展學(xué)生在實際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

1. 情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣

在課堂的開始，筆者通過創(chuàng)設(shè)生活中的相遇情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然后筆者引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中尋找并提出具有相遇情境的問題，并通過模擬表演讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些情境背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。這樣的情境導(dǎo)入的方式不僅使原本枯燥的數(shù)學(xué)問題變得生動有趣，還激發(fā)了學(xué)生的參與熱情和求知欲望，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

2. 自主探究，發(fā)現(xiàn)方法

在解決相遇問題的過程中，筆者鼓勵學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決相遇問題，共同探討了速度、時間、距離三者之間的關(guān)系，并借助線段圖進(jìn)行直觀展示。在這個過程中，部分學(xué)生想到兩種不同的解題思路：一種是先分別算出兩部分的路程，再把這兩部分路程相加；另一種則是先算出一個時間單位的路程和，再乘上有幾個時間單位。同時，筆者還組織學(xué)生對這兩種方法進(jìn)行比較和討論，強調(diào)它們雖計算過程不同但數(shù)學(xué)本質(zhì)相通，都是運用數(shù)學(xué)原理解決問題的有效途徑。

3. 鞏固練習(xí)，加深理解

為了確保每一位學(xué)生都能扎實掌握相遇問題的解決方法，筆者設(shè)計了一組有針對性的練習(xí)題目。這組練習(xí)題既包含了基礎(chǔ)性的直接應(yīng)用題目，也有需要學(xué)生獨立思考、靈活變通的復(fù)雜問題。通過題組練習(xí)，學(xué)生不僅能加深對相遇問題數(shù)學(xué)模型的理解，還能學(xué)會如何運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題。這種鞏固練習(xí)的方式，使得抽象的相遇問題變得具體可感，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

通過這次教學(xué)活動，筆者發(fā)現(xiàn)相遇問題不僅是數(shù)學(xué)課本中的一個知識點，更是培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力的重要載體。筆者在設(shè)計教學(xué)活動時創(chuàng)設(shè)生活情境，并讓學(xué)生通過模擬表演將生活化語言與數(shù)學(xué)語言建立聯(lián)系，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加貼近生活，讓每一個學(xué)生都能感受到數(shù)學(xué)的魅力和實用性，真正做到在生活中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中成長。筆者讓學(xué)生自主探索，持續(xù)關(guān)注每個學(xué)生的個體差異，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度解決數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)他們在頭腦中建立相遇問題的數(shù)學(xué)模型，努力創(chuàng)設(shè)更有利于他們主動探究、深度理解和有效應(yīng)用的學(xué)習(xí)環(huán)境。