借助數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)數(shù)的概念

［摘 要］ “質(zhì)數(shù)和合數(shù)”的概念比較抽象，借助數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，從而建構(gòu)數(shù)的概念。研究者以“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”教學(xué)為例，借助數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷古人探究質(zhì)數(shù)和合數(shù)的研究過程，以培養(yǎng)推理意識(shí)、模型意識(shí)等核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 質(zhì)數(shù)和合數(shù)；數(shù)形結(jié)合；核心素養(yǎng)

“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”是“因數(shù)和倍數(shù)”中的教學(xué)內(nèi)容，主要幫助學(xué)生了解質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義。本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”“2、5和3的倍數(shù)的特征”“奇數(shù)和偶數(shù)”等知識(shí)后開展的，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)、公因數(shù)和最大公因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分和通分、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算等知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教師要引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合理解抽象的質(zhì)數(shù)和合數(shù)的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)方式的多樣性和趣味性。教師通過有趣的數(shù)學(xué)游戲，幫助學(xué)生經(jīng)歷古人探究質(zhì)數(shù)和合數(shù)的研究過程，不僅能突出教學(xué)重難點(diǎn)，還能培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、模型意識(shí)等核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生形成理性精神等數(shù)學(xué)學(xué)科品質(zhì)。

一、片段一：借助數(shù)學(xué)游戲，感悟面積與因數(shù)關(guān)系

師：同學(xué)們，你們喜歡玩游戲嗎？這節(jié)課我們玩一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，游戲規(guī)則是請(qǐng)你們根據(jù)長(zhǎng)方形的面積，畫出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形，其中長(zhǎng)和寬都取整厘米數(shù)；畫出不同長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)多的組獲勝。我們舉一個(gè)例子，比如長(zhǎng)方形的面積是6平方厘米，你們能畫出哪些不同形狀的長(zhǎng)方形？

生1：我畫出了兩個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米、寬是1厘米；另一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3厘米、寬是2厘米。

師：很好，現(xiàn)在我們明白這個(gè)游戲規(guī)則了。老師給第一組同學(xué)的長(zhǎng)方形面積是8平方厘米，給第二組同學(xué)的長(zhǎng)方形面積是12平方厘米。比一比哪個(gè)小組畫出不同形狀的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)最多。

組1：我們小組畫的長(zhǎng)方形面積是8平方厘米，畫出了兩個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米、寬是1厘米；另一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4厘米、寬是2厘米。

組2：我們小組畫的長(zhǎng)方形面積是12平方厘米，畫出了三個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12厘米、寬是1厘米；另一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米、寬是2厘米；還有一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4厘米、寬是3厘米。

師：恭喜第二組的同學(xué)獲勝了，你們覺得他們獲勝的原因是什么呢？

生2：因?yàn)?的因數(shù)只有1，2，4， 8；12的因數(shù)有1，12，2，6，3，4。

師：大家一致認(rèn)為畫出的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與這個(gè)面積數(shù)值的因數(shù)有關(guān)。

教學(xué)思考：在這個(gè)教學(xué)片段中，教師充分把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，巧妙地將抽象的數(shù)學(xué)概念融入富有挑戰(zhàn)性和趣味性的游戲中。這個(gè)數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積畫出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬，畫出長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)多的小組獲勝。在這個(gè)數(shù)學(xué)游戲中，教師將兩個(gè)不同的任務(wù)分配給兩個(gè)小組，分別是畫出面積為8平方厘米和12平方厘米的長(zhǎng)方形。學(xué)生經(jīng)過一番嘗試與探索后，他們發(fā)現(xiàn)面積為12平方厘米的長(zhǎng)方形能夠畫出更多的組合，這一現(xiàn)象引起學(xué)生的深度思考和小組討論。在觀察、比較和分析過程中，學(xué)生逐步意識(shí)到畫出長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的多少實(shí)際上與該面積數(shù)值所具有的因數(shù)關(guān)系密切，比如8的因數(shù)有4個(gè)，12的因數(shù)有6個(gè)。

二、片段二：再玩數(shù)學(xué)游戲，依據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)分類

師：同學(xué)們，剛才這個(gè)數(shù)學(xué)游戲規(guī)則是老師確定的，現(xiàn)在給你們2， 3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個(gè)數(shù)字，請(qǐng)從中選擇自己組和對(duì)方組的長(zhǎng)方形面積。把這些數(shù)平均分成兩部分，其中五個(gè)數(shù)留給自己，另外五個(gè)數(shù)送給對(duì)方，你們要想方設(shè)法讓自己小組獲勝。請(qǐng)同學(xué)們開始設(shè)計(jì)游戲規(guī)則。

生1：我會(huì)把2，3，5，7，11這五個(gè)面積數(shù)值留給對(duì)方組，把4，6，8，9， 10這五個(gè)面積數(shù)值留給自己組，這樣我們小組就能獲勝了。

師：我們來驗(yàn)證一下通過這些數(shù)能找到多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形？

生2：長(zhǎng)方形面積是2的能找到長(zhǎng)是2、寬是1的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積是3的能找到長(zhǎng)是3、寬是1的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積是5的能找到長(zhǎng)是5、寬是1的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積是7的能找到長(zhǎng)是7、寬是1的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積是11的能找到長(zhǎng)是11、寬是1的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形面積是4的能找到長(zhǎng)是4、寬是1和長(zhǎng)是2、寬是2的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積是6的能找到長(zhǎng)是6、寬是1和長(zhǎng)是3、寬是2的長(zhǎng)方形……

師：我們發(fā)現(xiàn)2，3，5，7，11都只有兩個(gè)因數(shù)，所以只能畫出一個(gè)長(zhǎng)方形；而4，6，8，9，10都有兩個(gè)以上的因數(shù)，所以能畫出多個(gè)長(zhǎng)方形?？磥黹L(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與面積數(shù)值的因數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)。

教學(xué)思考：在這個(gè)教學(xué)片段中，教師給出了一系列長(zhǎng)方形的面積數(shù)值，讓學(xué)生自由選擇分配給自己組和其他組，并要求每個(gè)小組盡可能多地畫出符合所選面積數(shù)值的長(zhǎng)方形。學(xué)生在前一環(huán)節(jié)的探索中已經(jīng)初步發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形面積與其能畫出的不同長(zhǎng)寬組合之間的聯(lián)系?；谶@一發(fā)現(xiàn)，他們?cè)诿鎸?duì)新的任務(wù)時(shí)，開始主動(dòng)地將這十個(gè)長(zhǎng)方形面積數(shù)值進(jìn)行分類：一類是只有兩個(gè)因數(shù)，如2，3，5，7，11；另一類是有兩個(gè)以上因數(shù)的數(shù)值，如4，6，8，9，10。學(xué)生通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，具有更多因數(shù)的面積數(shù)值能夠分解為多種不同的長(zhǎng)和寬的組合，從而可以畫出更多的不同形狀的長(zhǎng)方形。

三、片段三：三玩數(shù)學(xué)游戲，認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)和因數(shù)

師：同學(xué)們，我們繼續(xù)來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則，現(xiàn)在長(zhǎng)方形面積是10平方厘米～20平方厘米，仍然像剛才一樣把這十一個(gè)面積數(shù)值分成自己組和對(duì)方組，保證拿出任意一個(gè)面積數(shù)值都能讓自己畫出更多不同形狀的長(zhǎng)方形。請(qǐng)把你們的設(shè)計(jì)方案填在表格里。

生1：我會(huì)把11，13，17，19這幾個(gè)面積數(shù)值留給對(duì)方組，把10，12，14， 15，16，18，20這幾個(gè)面積數(shù)值留給自己組，這樣我們小組就能獲勝了。

師：你們能說說給對(duì)方組的這些面積數(shù)值能分為幾個(gè)長(zhǎng)方形，留給你們自己組的這些面積數(shù)值能分為幾個(gè)長(zhǎng)方形？

生2：留給對(duì)方組的這些面積數(shù)值只能分為一個(gè)長(zhǎng)方形，留給自己組的這些面積數(shù)值至少可以分為兩個(gè)長(zhǎng)方形。

師：如果想要快速地把這些面積數(shù)值分成兩類，你們有什么好辦法？

生3：我們只要看這個(gè)數(shù)有幾個(gè)因數(shù)，如果只有兩個(gè)因數(shù)，就把這個(gè)數(shù)留給對(duì)方組；如果有兩個(gè)以上的因數(shù)，就留給自己組。

師：我們來仔細(xì)看看對(duì)方組的這些數(shù)都有兩個(gè)因數(shù)，這兩個(gè)因數(shù)有什么共同點(diǎn)？

生4：這兩個(gè)因數(shù)是1和它本身。

師：對(duì)方組的這兩個(gè)因數(shù)1和它本身，正好對(duì)應(yīng)了一組長(zhǎng)和寬，所以只有一個(gè)長(zhǎng)方形。在數(shù)學(xué)上，我們把只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，也叫作素?cái)?shù)。我們?cè)賮砜纯醋约航M的這些數(shù)都有兩個(gè)以上的因數(shù)，這些因數(shù)有什么共同點(diǎn)？

生5：這些因數(shù)除了1和它本身外，還有其他的因數(shù)。

師：這些因數(shù)也是對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，所以自己組的面積數(shù)值能分為多個(gè)長(zhǎng)方形。在數(shù)學(xué)上，我們把除了1和它本身外還有其他因數(shù)的數(shù)叫作合數(shù)。

教學(xué)思考：在這個(gè)教學(xué)片段中，教師將任務(wù)進(jìn)行升級(jí)，為學(xué)生提供了更多的長(zhǎng)方形面積數(shù)值讓他們選擇并分組，明確指出能畫出更多不同長(zhǎng)寬組合的小組將獲勝。在此階段的學(xué)生已積累了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，他們基于前期的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，獲勝關(guān)鍵在于這個(gè)面積數(shù)值有幾個(gè)因數(shù)，如果只有兩個(gè)因數(shù)，就意味著它只能分解成一種長(zhǎng)方形，因此更適合將其分配給對(duì)方組；相反，如果一個(gè)面積數(shù)值有兩個(gè)以上的因數(shù)，就意味著可以構(gòu)造出多種不同的長(zhǎng)方形組合，這樣的數(shù)值應(yīng)當(dāng)保留給自己組。隨著游戲的進(jìn)行，教師適時(shí)引導(dǎo)總結(jié)，讓學(xué)生提煉質(zhì)數(shù)和合數(shù)這兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念。

四、片段四：利用鞏固練習(xí)，建構(gòu)數(shù)的體系

師：同學(xué)們，我們像古人那樣探究了質(zhì)數(shù)和合數(shù)?，F(xiàn)在我們一起利用質(zhì)數(shù)和合數(shù)的知識(shí)來練一練。（出示題目：1，30，25，7，49，71）請(qǐng)判斷這些數(shù)，哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)？

生1：我覺得1的因數(shù)只有1，所以1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)。30的因數(shù)有1，30，2，15，3，10這幾個(gè)，所以30是合數(shù)；25的因數(shù)有1，25，5，所以25是合數(shù)；7的因數(shù)只有1和7，所以7是質(zhì)數(shù)；49的因數(shù)有1，49， 7，所以49是合數(shù)；71的因數(shù)只有1和71，所以71是質(zhì)數(shù)。

師：原來我們把自然數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)這兩類。這是一個(gè)非零自然數(shù)的集合，如果按照因數(shù)的個(gè)數(shù)來分類，可以怎么分呢？

生2：如果按照因數(shù)的個(gè)數(shù)來分類，可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

師：同學(xué)們，你們知道最小的質(zhì)數(shù)是多少嗎？最小的合數(shù)是多少嗎？有沒有最大的質(zhì)數(shù)？有沒有最大的合數(shù)？

生3：最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，沒有最大的質(zhì)數(shù)，也沒有最大的合數(shù)。

師：盡管我們感覺質(zhì)數(shù)和合數(shù)在日常生活中的應(yīng)用比較少，但是在信息安全、機(jī)械制造、導(dǎo)彈發(fā)射等高精尖領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，所以它一直是數(shù)學(xué)中數(shù)論的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。今天研究了質(zhì)數(shù)和合數(shù)，你們來猜測(cè)一下質(zhì)數(shù)和合數(shù)之間會(huì)有怎樣的關(guān)系？

（學(xué)生的猜測(cè)：（1）兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘就等于一個(gè)合數(shù)，比如2×3=6；（2）兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加等于一個(gè)合數(shù)，比如5＋7=12；（3）合數(shù)減1等于質(zhì)數(shù)，比如12－1=11……）

師：同學(xué)們的猜測(cè)都很有道理。數(shù)學(xué)上有一個(gè)偉大的哥德巴赫猜想，任何一個(gè)不小于4的偶數(shù)（一般用N表示）都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的形式。

教學(xué)思考：在這個(gè)教學(xué)片段中，教師一方面通過練習(xí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法，另一方面也讓學(xué)生感受“1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)”，進(jìn)一步完善整數(shù)的體系。同時(shí)，教師向?qū)W生介紹了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的用途，并啟發(fā)學(xué)生猜想質(zhì)數(shù)和合數(shù)之間的關(guān)系，最后滲透了數(shù)學(xué)上偉大的哥德巴赫猜想。

綜上所述，“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”這節(jié)課中的數(shù)學(xué)概念雖然比較抽象，但是教師將質(zhì)數(shù)和合數(shù)這個(gè)知識(shí)與長(zhǎng)方形面積數(shù)值建立了聯(lián)系，借助長(zhǎng)方形面積這一具體而直觀的幾何載體，引導(dǎo)學(xué)生在三次玩數(shù)學(xué)游戲中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)與面積數(shù)值所具有的因數(shù)之間的關(guān)系，成功地將抽象的數(shù)論知識(shí)與實(shí)際圖形相結(jié)合，從而讓學(xué)生創(chuàng)造出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的數(shù)學(xué)概念?？梢?，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)的可視化和具象化，這無疑深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知，使得原本復(fù)雜的數(shù)論知識(shí)變得生動(dòng)有趣且易于掌握。