基于“可拓學(xué)理論”，促進學(xué)生認知發(fā)展

［摘 要］ 基于“可拓學(xué)理論”視角，教師要通過可拓認知，開掘?qū)W生的認知潛質(zhì)，提升學(xué)生的認知質(zhì)量，優(yōu)化學(xué)生的認知品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的認知習(xí)慣?？赏卣J知能促進學(xué)生數(shù)學(xué)認知的發(fā)展，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成。

［關(guān)鍵詞］ 可拓學(xué)；認知發(fā)展；小學(xué)數(shù)學(xué)

“可拓學(xué)理論”是一門新興的理論學(xué)科，其基本理論是“可拓論”，其基本方法是“可拓方法”。所謂“可拓”，就是“深度開辟事物拓展的可能性、開辟事物創(chuàng)新的可能性”。“可拓學(xué)”的基本理念是“變不行為行”“變未知為已知”“變矛盾為不矛盾”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于“可拓學(xué)理論”，注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散認知、關(guān)系認知、共軛認知、拓展認知、創(chuàng)新認知。通過引導(dǎo)學(xué)生可拓認知，能促進學(xué)生數(shù)學(xué)認知的發(fā)展，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成。

一、以“知識元”為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生“蘊含認知”

“可拓學(xué)理論”認為，“元”是描述事物本質(zhì)、系統(tǒng)本質(zhì)的基本單位?；镜摹霸庇小拔镌薄笆略薄瓣P(guān)系元”。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要精準把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的“元”。只有以“知識元”為基礎(chǔ)，才能有效引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)認知。知識元是一個籠統(tǒng)的概念，它包括數(shù)學(xué)具體的知識元（顯性知識元），也包括蘊含在數(shù)學(xué)具體知識元中的相關(guān)的思想、方法、策略等，它們是數(shù)學(xué)學(xué)科中抽象性、隱性的知識元。但毫無疑問，它們是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的重要組成部分。

換言之，知識元的內(nèi)涵豐富，它不僅包括傳統(tǒng)意義上的知識，也包括知識中蘊含的思想方法、文化精神等。教師要從知識的“顯”與“隱”“實”與“虛”的視角去認識、把握知識元。以“知識元”作為基礎(chǔ)，能有效引導(dǎo)學(xué)生的“蘊含認知”?！疤N含認知”是一種“顯性知識”之外的認知，如策略認知、思想方法認知、思路認知等。這些“蘊含認知”大大拓展、延伸了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容。比如教學(xué)“認識厘米”這一部分內(nèi)容時，顯性的知識就是要讓學(xué)生建立“厘米”的長短表象，學(xué)會“用厘米尺測量物體、圖形的長度”，學(xué)會簡單的厘米、毫米等的換算。基于“可拓學(xué)”的視角，教師不僅要讓學(xué)生掌握相關(guān)的“認識厘米”的知識、習(xí)得“測量長度”等技能，更要讓學(xué)生領(lǐng)悟蘊含在“厘米尺”這一測量工具背后的數(shù)學(xué)思想方法，即“包含”的思想方法。學(xué)生只有認識到“包含”的思想方法，才能有效進行測量。這樣的“蘊含認知”拓展不僅對學(xué)生學(xué)習(xí)“認識厘米”相關(guān)內(nèi)容具有重要的意義和價值，還為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“角的度量”“長方形和正方形的面積”“長方體和正方體的體積”“元角分”“時分秒”等相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。

知識元是“可拓理論”視野下解讀數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基礎(chǔ)。教師要深入發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科知識蘊含的數(shù)學(xué)思想、方法、文化、精神等相關(guān)元素，引導(dǎo)學(xué)生自覺關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科知識的特征、性質(zhì)、作用等。

二、以“可拓邏輯”為線索，引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)散認知”

“可拓學(xué)理論”的邏輯觀認為，在人類實踐活動中很多矛盾問題不是沒有解，而是有很多解?？赏剡壿嬍牵喝魏问虑槎伎梢詫⒚軉栴}轉(zhuǎn)化為不矛盾的問題。因此，基于“可拓學(xué)理論”教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入研究矛盾解決的相關(guān)策略、路徑、方式和方法，研究解決問題的邏輯。基于“可拓學(xué)理論”的方法有“發(fā)散法”“分合鏈”“相關(guān)網(wǎng)”“蘊含系”“共軛對”等［１］。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要發(fā)散學(xué)生的認知，幫助學(xué)生尋找問題解決的策略。

基于“可拓邏輯”，教師在教學(xué)中一方面要深入解讀學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對象，激活學(xué)生的認知經(jīng)驗，喚醒學(xué)生基于認知的思維、想象等；另一方面要進行數(shù)學(xué)模型的解釋，將數(shù)學(xué)學(xué)科知識有序組織、呈現(xiàn)，助力學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要敞亮學(xué)生的數(shù)學(xué)認知、思考、探究的通道，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角、不同的立場進行思考。發(fā)散性認知是學(xué)生元認知的重要組成。比如教學(xué)“圓的面積”這一部分內(nèi)容時，在學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化成近似的長方形之后，筆者追問：圓只可以轉(zhuǎn)化成近似的長方形嗎？圓還能不能轉(zhuǎn)化成其他圖形？學(xué)生基于自身的轉(zhuǎn)化思想、轉(zhuǎn)化的基本活動經(jīng)驗，認為圓還可以轉(zhuǎn)化成已學(xué)的三角形、梯形等圖形的面積。在此基礎(chǔ)上，筆者鼓勵學(xué)生進行創(chuàng)造性操作，將圓轉(zhuǎn)化成自己猜想的圖形，如三角形、梯形等，并觀察轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生進行比較。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無論是將圓轉(zhuǎn)化成近似的長方形還是將圓轉(zhuǎn)化成近似的三角形、梯形等，都可以根據(jù)三角形、梯形的面積公式推導(dǎo)圓的面積公式。通過這樣多元化的轉(zhuǎn)化操作，能讓學(xué)生感悟、體驗轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)核，即轉(zhuǎn)化就是將未知轉(zhuǎn)化成已知、將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單、將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉的過程。

教師要基于“可拓邏輯”，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生追問。追問的過程是引導(dǎo)學(xué)生從不同層面展開分析的過程。教師只有從不同層面引導(dǎo)學(xué)生展開分析，才能讓學(xué)生生成大量獨特的新認知?；凇翱赏貙W(xué)”視角，“可拓邏輯”是推動學(xué)生發(fā)散認知的內(nèi)在動能，它能讓“還有沒有方法”“還有沒有路徑”等思維成為學(xué)生認知的一種習(xí)慣。

三、以“學(xué)習(xí)目標”為指引，引導(dǎo)學(xué)生“相關(guān)認知”

基于“可拓學(xué)理論”視角，教師在引導(dǎo)學(xué)生開展可拓認知的過程中，要讓學(xué)生明晰學(xué)習(xí)目標。學(xué)生只有明晰學(xué)習(xí)的目標，才能激發(fā)頭腦風(fēng)暴和優(yōu)化學(xué)習(xí)過程。在目標的統(tǒng)攝、指引下，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵環(huán)節(jié)開展相關(guān)認知。以學(xué)習(xí)目標為指引，能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，賦予學(xué)生自主性的學(xué)習(xí)時空，助推學(xué)生自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

“可拓認知”不是教師外在強加的認知，而是要充分發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)、潛能，尤其是要開拓學(xué)生的思維、認知、想象等。教師要以可拓認知為基礎(chǔ)，推動學(xué)生的可拓思維、可拓想象的發(fā)展，讓學(xué)生的可拓學(xué)習(xí)成為一種理性的自覺。對于數(shù)學(xué)學(xué)科知識，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生追問“是什么”“為什么”“怎么樣”，更應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生追問“還可能會怎樣”。只有教師深度推動學(xué)生的可拓認知，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向縱深處推進。

比如教學(xué)“一一間隔排列”這一部分內(nèi)容時，在引導(dǎo)學(xué)生認識了“兩端物體相同”“兩端物體不同”的兩種類型的“一一間隔排列”之后，教師讓學(xué)生深入解讀學(xué)習(xí)目標——“探尋一一間隔排列的所有可能情況”?；诖耍P者這樣拓展學(xué)生的認知：一一間隔排列是否就是以上的兩種情況？通過動手操作看有沒有其他情況？學(xué)生在“探尋不同形式的一一間隔排列”的目標驅(qū)動下，逐漸將“直線上的一一間隔排列”轉(zhuǎn)向“封閉圖形上的一一間隔排列”。這種轉(zhuǎn)向是學(xué)生認知的一種拓展，能使學(xué)生的認知不再局限于“固化的一行或者一列”的認知，而是轉(zhuǎn)向“封閉圖形的認知”。此外，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“封閉圖形的一一間隔排列”的數(shù)學(xué)計算模型，并將這種數(shù)學(xué)計算模型與“直線上的一一間隔排列”進行比較，從而讓學(xué)生深刻認識“封閉圖形上的一一間隔排列”是“直線上的一一間隔排列”的一種情況。

“相關(guān)認知”是一種基于學(xué)生的已有認知基礎(chǔ)上的新認知。教師要積極拓展學(xué)生的認知生態(tài)圈，拓展學(xué)生的認知角度，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷從豐富的感知到豐富的認知的過程。教師引導(dǎo)學(xué)生進行拓展認知時，要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)螺旋上升，形成一種循環(huán)性的認知活動過程。正是在這種循環(huán)性的認知活動過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認知、思維不斷進階，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力不斷獲得發(fā)展、提升。

四、以“數(shù)學(xué)活動”為載體，引導(dǎo)學(xué)生“共軛認知”

“共軛認知”是可拓認知中的一種認知類型。所謂“共軛”是指“對立特征在事物轉(zhuǎn)化過程中的共同作用”［２］，比如“實與虛”“正與負”“顯與隱”等?！肮曹椪J知”有助于學(xué)生形成辯證性的思維。許多小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識具有共軛性，比如“增加與減少”“盈與虧”“多與少”“重與輕”“快與慢”等。教師要引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個方面來認知數(shù)學(xué)學(xué)科知識的共軛性。學(xué)生只有認識到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的“共軛性”，才能深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

比如教學(xué)“分數(shù)應(yīng)用題”這一部分內(nèi)容時，盡管教師一再強調(diào)“求一個數(shù)的幾分之幾用乘法”“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)用方程或者用除法”，但學(xué)生在具體的解決問題的過程中還是會發(fā)生“乘除不分”的錯誤。為了破解這一“教學(xué)難題”，筆者在教學(xué)中，將學(xué)生的已有知識經(jīng)驗——即低年級學(xué)段學(xué)習(xí)的“求一個數(shù)的幾倍是多少”和“已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)”引入其中，讓學(xué)生進行對比，催生學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)的幾分之幾”和“求一個數(shù)的幾倍”之間的相同點和差異，從而引導(dǎo)學(xué)生進行共軛認知。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管這些內(nèi)容是高年級學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是與低年級學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容有著普遍、廣泛的關(guān)聯(lián)：如果一個分數(shù)大于1，就是一個數(shù)的幾倍；如果一個分數(shù)小于1，就是一個數(shù)的幾分之幾。這樣，學(xué)生就能將“倍數(shù)”的相關(guān)知識與“分率”的相關(guān)知識整合起來。甚至，一些學(xué)習(xí)弱勢的學(xué)生會形成這樣的共軛策略：遇到分數(shù)應(yīng)用題想同類型的整數(shù)應(yīng)用題，然后用整數(shù)應(yīng)用題的思路、策略、方法和路徑去解決分數(shù)應(yīng)用題。盡管這樣的認知、思維策略有點“笨拙”，但是對于學(xué)生來說無疑是一種行之有效的學(xué)習(xí)策略。在這里，筆者想要表達的更深刻的意圖在于：數(shù)學(xué)學(xué)科知識存在著共軛性，教師在教學(xué)中不僅可以引導(dǎo)學(xué)生認識數(shù)學(xué)學(xué)科知識的共軛性，還可以借助數(shù)學(xué)學(xué)科知識的共軛性，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)新知，幫助學(xué)生解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

共軛性是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基本性特性。應(yīng)用共軛性的思維能促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，讓學(xué)生更自然地融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，可以借助數(shù)學(xué)學(xué)科知識的共軛特性，對學(xué)生進行可拓認知的啟發(fā)。在數(shù)學(xué)學(xué)科知識“可拓性”的特質(zhì)基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生通過可拓認知，形成對數(shù)學(xué)學(xué)科知識本質(zhì)的認識、理解，讓學(xué)生對自我的認知進行審視。

小學(xué)數(shù)學(xué)“可拓學(xué)理論”的核心是促進學(xué)生開展可拓認知，將數(shù)學(xué)學(xué)科知識作為一種開放性、生成性、可誤性的體系?；凇翱赏乩碚摗钡摹翱赏亟虒W(xué)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種新范式。

參考文獻：

［１］ 蔡文，楊春燕. 可拓學(xué)的基礎(chǔ)理論與方法體系［Ｊ］. 科學(xué)通報，２０１３，５８（１３）：１１９０－１１９９.

［２］ 董奇，張紅川，周新林. 數(shù)學(xué)認知：腦與認知科學(xué)的研究成果及其教育啟示［Ｊ］. 北京師范大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），２００５（３）：４４－４６.