思維導圖在數(shù)學問題解決中的應(yīng)用研究

摘" 要：文章剖析了數(shù)學問題解決的過程，分析了思維導圖在數(shù)學問題解決中的工具性價值. 通過實例，給出了思維導圖在數(shù)學問題解決的四個階段中的應(yīng)用過程，深入研究了思維導圖在問題表征、模式識別、激活問題圖式、搜索問題空間、實施思維監(jiān)控和確定解決方向等步驟中的具體應(yīng)用，并總結(jié)了思維導圖對數(shù)學問題解決和思維能力培養(yǎng)的重要意義.

關(guān)鍵詞：數(shù)學問題解決；思維導圖；思維過程；思維能力

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0004-04

引用格式：吳志丹. 思維導圖在數(shù)學問題解決中的應(yīng)用研究［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（10）：4-7.

問題解決是數(shù)學教學活動中最基本、最重要的活動形式. 如何提高數(shù)學問題解決的效率，提高學生的思維能力，實現(xiàn)對問題深層次的理解，是一項值得研究的課題. 基于此，筆者對數(shù)學問題解決的思維過程進行了研究，分析了思維導圖的工具性特點，發(fā)現(xiàn)思維導圖恰好為數(shù)學問題解決的思維過程搭建了“腳手架”. 因此，提出了將思維導圖應(yīng)用于數(shù)學問題解決中的想法. 通過具體實例，給出了思維導圖在數(shù)學問題解決的各個階段中的具體應(yīng)用過程. 研究發(fā)現(xiàn)，思維導圖是解決數(shù)學問題的一種有效的認知工具，對于提高數(shù)學問題解決的效率、增強學生的思維能力有積極的作用.

一、數(shù)學問題解決的過程

問題是數(shù)學的心臟. 一個數(shù)學問題由初始狀態(tài)、目標狀態(tài)和問題解決規(guī)則組成. 解決數(shù)學問題，就是從初始狀態(tài)出發(fā)，按照某些規(guī)則（也稱“算子”），經(jīng)過若干個中間狀態(tài)，最終到達目標狀態(tài)的過程. 認知心理學把在解決一個問題的過程中所到達的全部中間狀態(tài)和全部算子統(tǒng)稱為問題空間. 問題解決就是對問題空間進行搜索，以便找到一條從問題的初始狀態(tài)到目標狀態(tài)的道路.

解決數(shù)學問題的過程往往伴隨著復雜的思維活動. 具體思維過程包括理解問題、探索思路、轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，以及回顧問題解決過程中的全部思維活動. 基于思維活動的分析，波利亞提出了問題解決的四個階段，即理解問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃和回顧反思，如圖1所示.

二、思維導圖在數(shù)學問題解決中的工具性分析

1. 思維導圖在激發(fā)三種思維中的作用

在數(shù)學問題解決的過程中經(jīng)常使用三種思維方式，即發(fā)散思維、集中思維和化歸思維. 思維導圖是激發(fā)大腦潛能的強有力的圖解工具，其結(jié)構(gòu)符合大腦的自然結(jié)構(gòu)和思維過程，可以幫助學生更好地運用上述三種思維方式.

（1）問題解決的發(fā)散思維和思維導圖.

發(fā)散思維不是局限于對已知問題的既定理解，而是對問題進行多角度、多方向的思考，進而提出新問題，發(fā)現(xiàn)多種解答的思維方式. 發(fā)散思維的特點是思路廣闊、尋求變異，通過對已知信息進行轉(zhuǎn)換或改造，擴散派生，從而形成新的信息. 思維導圖呈樹狀結(jié)構(gòu)，它從一個“主題中心”出發(fā)，從不同角度對問題進行探索，從不同層次對問題進行分析，其分支的數(shù)量體現(xiàn)了思維的廣度，即發(fā)散思維的廣度. 因此，思維導圖是發(fā)散思維圖形化的表征，可以幫助學生擴展“求解”的探索空間.

（2）問題解決的集中思維和思維導圖.

集中思維（又稱收斂思維）是調(diào)動各種已知信息，按照常規(guī)尋求問題解決的思維方式. 集中思維的特點是思路集中，所有信息都朝著一個目標深入發(fā)展，進而生成新的信息. 思維導圖中每個分支的長度都體現(xiàn)了思維的深度，即集中思維的深度. 思維導圖能夠?qū)W生對問題的理解逐步引向縱深.

（3）問題解決的化歸思維和思維導圖.

化歸思維是將待解決的問題轉(zhuǎn)化為更容易解決的或已經(jīng)解決的問題來處理，即化未知為已知、化困難為容易，然后將問題還原為原問題的思維方式. 例如，無理方程與分式方程的求解問題可以化歸為整式方程的求解問題. 對于較復雜的數(shù)學問題，思維導圖可以幫助學生實現(xiàn)化歸，其一般模式如圖2所示.

2. 思維導圖在思維監(jiān)控中的作用

思維監(jiān)控是指對于從事的問題解決活動（包括問題解決策略的選擇、整個問題解決過程的組織，目前所從事的工作在整個問題解決過程中的作用等內(nèi)容）中的自我意識、自我分析、自我評估和自我調(diào)節(jié). 思維監(jiān)控是學生對思維活動的自我意識、對自我認知過程的認知，是一種最高層次的認知. 美國心理學家弗拉維爾（J.H.Flavell）提出的元認知知識和元認知體驗指的就是思維活動的自我意識. 對于數(shù)學問題的解決，思維監(jiān)控起著至關(guān)重要的作用，它直接決定著問題能否順利解決甚至最終成敗.

思維導圖是一種元認知工具，能夠使學生將正在進行的認知活動作為意識對象，進行積極地監(jiān)控和調(diào)節(jié)，從而快速到達預定的目標狀態(tài). 從思維監(jiān)控的角度來看，思維導圖能夠幫助學生樹立自我意識，自覺調(diào)控思維進程，對自身的思維活動有清醒的認識和正確的評估，從而促進數(shù)學思維活動的順利進行，強化學生的思維能力和思維水平，提高數(shù)學問題解決的效率.

三、思維導圖在數(shù)學問題解決中的應(yīng)用

數(shù)學問題的解決需要進行一系列復雜的思維活動. 通過上述對思維導圖在激發(fā)三種思維和思維監(jiān)控中的工具性分析，發(fā)現(xiàn)思維導圖恰好為數(shù)學問題解決的思維過程搭建了“腳手架”. 通過下面的例題，說明思維導圖在數(shù)學問題解決的四個階段——理解問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧反思中的具體應(yīng)用過程.

例" 已知[sinα，cosα]是方程[8x2+6kx+2k+1=0]的兩個實根，求實數(shù)k的值.

1. 思維導圖在數(shù)學問題解決的“理解問題”階段的應(yīng)用

思維導圖在數(shù)學問題解決的“理解問題”階段的應(yīng)用，分為以下兩個部分.

（1）問題表征.

學生借助思維導圖將題目所具備的條件、待達到的目標和限制性因素等羅列出來. 通過圖形化的表征，學生能夠清晰地識別組成問題的基本概念，理解概念之間的多種關(guān)聯(lián)，解釋概念之間的隱含關(guān)系，從而更全面地弄清楚問題.

在該題中，借助思維導圖可以明確：題目中的已知條件是[sinα，cosα]為一元二次方程的兩個實根；該題需要求解的目標是方程中的待定系數(shù)k的值；限制性因素為兩個實根.

（2）模式識別.

在接觸并理解數(shù)學問題之后，學生需要先判斷題目的類型，以便將數(shù)學問題與已有知識和經(jīng)驗建立聯(lián)系，然后確定問題解決的思路. 這種先進行歸類、判別的策略就是模式識別.“已知一元二次方程的兩個實根，求方程的待定系數(shù)k的值”為一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系的問題，可以借助思維導圖的化歸思維，將問題化歸為關(guān)于k的方程來求解.

2. 思維導圖在數(shù)學問題解決的“擬訂計劃”階段的應(yīng)用

在數(shù)學問題解決的“擬訂計劃”階段恰當?shù)貞?yīng)用思維導圖，可以幫助學生激活問題圖式、搜索問題空間、實施思維監(jiān)控和確定解決方向.

（1）激活問題圖式.

當題目輸入大腦時，學生的思維就會提取貯存于大腦長時記憶里的知識組塊，即激活問題圖式. 問題圖式是由與問題類型有關(guān)的原理、概念、關(guān)系、規(guī)則和操作程序構(gòu)成的知識綜合體.

思維導圖能夠引導學生構(gòu)建一個類似人腦聯(lián)想記憶結(jié)構(gòu)的知識網(wǎng)絡(luò)圖，通過從已有的知識體系中快速找到與問題解決相關(guān)的知識組塊，激活問題圖式. 貝斯特（J.B.Best）曾指出，圖式知識一旦被激活，就能引導學生用特定的方式搜尋問題空間和問題的有關(guān)特征，從而提高問題解決的效率.

（2）搜索問題空間.

思維導圖的發(fā)散思維拓展了問題解決的探索空間. 思維導圖中的連接線，能夠引導學生積極主動地思考問題，激發(fā)創(chuàng)意與聯(lián)想，進而幫助學生將各種零散的想法、知識等內(nèi)容融會貫通為一個系統(tǒng). 思維導圖既能夠清晰地呈現(xiàn)概念或者公式之間復雜的邏輯關(guān)系，又能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力.

上述例題的思維導圖的建構(gòu)如圖3所示. 該題的建構(gòu)不是一蹴而就的過程，而是一個不斷充實、重組的動態(tài)過程.

（3）實施思維監(jiān)控.

問題解決是一種目的明確的活動. 因此，在問題解決的過程中，必須集中指向目標. 思維導圖可以幫助學生始終明確問題解決的目標，使學生對自身的思維活動有清醒的認識和正確的評估，對自身的思維實施監(jiān)控，從而促進數(shù)學思維的順利進行.

（4）確定解決方向.

問題解決的過程在一定意義上又是一種選擇的過程. 在解決數(shù)學問題的過程中，思維導圖是在發(fā)散思維的基礎(chǔ)上進行了收斂思維. 利用思維導圖的收斂思維，可以從若干種方案中挑選出最佳方案，將思維集中指向目標，以便迅速找到問題解決的條件和目標狀態(tài)之間的聯(lián)系，從而解決問題.

3. 思維導圖在數(shù)學問題解決的“執(zhí)行計劃”階段的應(yīng)用

思維導圖通過可視化的方法幫助學生厘清思維的脈絡(luò)，從復雜的知識網(wǎng)絡(luò)中找到問題解決所需要的中間狀態(tài). 學生參照圖示，實施求解計劃，從問題的初始狀態(tài)，經(jīng)過一系列中間的轉(zhuǎn)化狀態(tài)，逐步向目標狀態(tài)靠攏，然后對每個步驟進行檢驗. 該例題按照圖2執(zhí)行問題解決計劃，通過計算可以得出k的值.

4. 思維導圖在數(shù)學問題解決的“回顧反思”階段的應(yīng)用

“回顧反思”階段雖然容易被忽視，但它卻是提高數(shù)學思維的一個重要方面. 思維導圖呈現(xiàn)的是整個思維過程，其可視化的方法有助于學生對整個問題解決過程進行回顧和反思. 因此可以將其應(yīng)用于數(shù)學問題解決的“回顧反思”階段.

在該例題中，利用思維導圖進行回顧反思，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的限制條件為[Δ≥0]. 因此，在“執(zhí)行計劃”階段求出的[k=2]不滿足條件，故舍去. 若不經(jīng)歷“回顧反思”階段，就會得出錯誤的答案.

不僅如此，回顧與反思的過程還有利于創(chuàng)造性思維和批判性思維的培養(yǎng). 一個問題的結(jié)束意味著另一個問題的開始，思維導圖促進學生深層次地理解問題，而不是簡單地追求問題的答案.

四、結(jié)束語

數(shù)學問題解決是一項復雜的思維活動，思維導圖恰好為這一思維過程搭建了“腳手架”. 思維導圖能夠幫助學生調(diào)控和捋順思維，激發(fā)問題解決的靈感，提高問題解決的效率. 繪制思維導圖是一場頭腦風暴，對學生思維的培養(yǎng)大有裨益. 思維導圖以集中的方式將學生對問題的理解引向縱深，以發(fā)散的方式搜索信息，以邏輯的方式組織信息，有利于縱向思維能力、發(fā)散思維能力和邏輯思維能力的培養(yǎng). 思維導圖將隱性的知識顯性化，促進學生對自我認知結(jié)構(gòu)的批判，有利于培養(yǎng)學生的批判性思維和創(chuàng)造性思維. 因此，思維導圖是解決數(shù)學問題的一種有效的認知工具，應(yīng)用思維導圖能夠提高數(shù)學問題解決的效率，增強學生的思維能力.

參考文獻：

［1］班納吉. 人工智能理論方法［M］. 袁天鑫，譯. 上海：上海交通大學出版社，1991.

［2］喻平. 數(shù)學解題過程的理論分析［J］. 廣西師范大學學報（自然科學版），2000，18（4）：43-47.

［3］任樟輝. 數(shù)學思維理論［M］. 南寧：廣西教育出版社，2001.

［4］張武威，黃宇星.“思維導圖”應(yīng)用于“物理解題”的探究［J］. 電化教育研究，2009（9）：97-101.

［5］郭嵩，張雯惠. 數(shù)學的智慧［M］. 武漢：湖北教育出版社，2009.

［6］鄧鑄，姜子云. 問題圖式獲得理論及其在教學中的應(yīng)用［J］. 南京師大學報（社會科學版），2006（4）：111-115.

［7］貝斯特. 認知心理學［M］. 黃希庭，譯. 北京：中國輕工業(yè)出版社，2000.

［8］鄭毓信. 數(shù)學方法論［M］. 南寧：廣西教育出版社，2000.

［9］吳志丹. 協(xié)作建構(gòu)思維導圖在數(shù)學復習課中的應(yīng)用探究［J］. 電化教育研究，2010（7）：108-110.

基金項目：教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目——基于超星平臺的高等數(shù)學課程混合教學模式的研究與實踐（231102070271846）；

教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目——三全育人背景下高等數(shù)學課程思政建設(shè)與實踐（230824461607000）；

遼寧省教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度立項課題——高等數(shù)學課程思政育人體系構(gòu)建研究（JG22DB618）.

作者簡介：吳志丹（1979— ），女，博士，副教授，主要從事數(shù)學教育教學研究.