擬Frobenius擴張和Ding投射模

摘 要：設(shè)R，S是環(huán)， R?S是擬Frobenius擴張。為了研究Ding投射模及其維數(shù)在擬Frobenius擴張下的同調(diào)不變性，對Ding投射模M作張量積， 證得M是Ding投射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)S?RM是Ding投射左S-模。若R?S是可分擬Frobenius擴張，則M與S?RM是等價的Ding投射左S-模，且對任意左S-模M，DpdS（M）=DpdR（M）。并且在可分擬Frobenius擴張下，環(huán)的Ding投射整體維數(shù)也具有不變性。

關(guān)鍵詞：擬Frobenius擴張；Ding投射模；可分擴張

中圖分類號：O154" " 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-0033（2024）06-0035-04

引用格式：廖楊.擬Frobenius擴張和Ding投射模[J].商洛學(xué)院學(xué)報，2024，38（6）：35-38.

Quasi Frobenius Extensions and Ding Projective Modules

LIAO Yang

（College of Mathematical Science， Chongqing Normal University， Shapingba" 401331， Chongqing）

Abstract： Let R and S be rings， R?S be a quasi Frobenius extension. In order to study the homological invariances of Ding projective modules and dimensions under quasi Frobenius extensions， making a tensor product on a Ding projective module M， it is proved that" M is a Ding projective left R-module if and only if S?RM" is a Ding projective left S-module; If R?S is a separable quasi Frobenius extension， then M and S?RM are an equivalent Ding projective left S-module， and for any left S-module M， DpdS（M）=DpdR（M）. And the Ding projective global dimensions of rings also have invariance under a separable quasi Frobenius extension.

Key words： quasi Frobenius extension; Ding projective module; separable extension

20世紀(jì)90年代，Enochs等[1]定義了任意環(huán)上的Gorenstein投射（內(nèi)射）模。Ding等[2]定義了強Gorenstein平坦模，并研究了其同調(diào)性質(zhì)。Gillespie[3]將強Gorenstein平坦模稱為Ding投射模。Yang等[4]對Ding投射模做進一步研究，得到了許多與Gorenstein投射模類似的性質(zhì)。王占平等[5]研究了Frobenius擴張下Ding投射模的同調(diào)性質(zhì)。作為Frobenius擴張的推廣， Müller[6]引入了擬Frobenius擴張的概念。Huang等[7]證明了在擬Frobenius擴張下，Gorenstein投射（內(nèi)射，平坦）模的一些同調(diào)性質(zhì)是保持的。基于此，本文研究Ding投射模及其維數(shù)在擬Frobenius擴張下的同調(diào)不變性。設(shè)R，S 是環(huán)， R?S是擬Frobenius擴張。定理1由Ding投射模的定義和對Ding投射左R-模M作張量積可證。定理2和定理3，設(shè)R?S是可分擬Frobenius擴張，再借助Ext函子可證。定理4和定理5由環(huán)的Ding投射維數(shù)的定義和已知可證。

1" 預(yù)備知識

本文中所有環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)。對環(huán)R，用Rop表示環(huán)R的反環(huán)，RM表示左R-模范疇。若M是（S，R）-雙模，則記為SMR。用P（R）表示投射R-模類。

給出擬Frobenius擴張的概念和相關(guān)結(jié)論。

設(shè)M和N是（S，R）-雙模，由注釋①可知，若存在正整數(shù)m，n及（S，R）-雙模P，Q，使得M⊕P?N（n）（記作M|N），以及N⊕Q?M（m）（記作N|M），則稱M與N相似，記作M～N。

定義1[6]" 稱環(huán)擴張R?S是擬Frobenius擴張，如果下列條件成立。

1）RS是有限生成投射R-模，且

S SR～HomR（RS，R）。

2）SR是有限生成投射Rop-模，且

RSS～Hom（SR，R）。

引理1" 設(shè)R?S是擬Frobenius擴張。

1）若P是投射左S-模，則P是投射左R-模。

2）若P是投射左R-模，則S?RP是投射左S-模。

證明：1）設(shè)0→RM→RN→RL→0是左R-模的正合列。由R?S是擬Frobenius擴張，則RS是投射的，所以有左S-模的正合列：

0→HomR（S，M）→HomR（S，N）→HomR（S，L）→0。

因為S P是投射模，所以序列：

0→HomS（P，HomR（S，M））→HomS（P，HomR（S，N））→HomS（P，HomR（S，L））→0。

正合。又因為

HomS（P，HomR（S，-））?HomR（S?S P，-）?

HomR（ P，-），

所以序列：

0→HomR（P，M）→HomR（P，N）→HomR（P，L）→0

正合，即P是投射左R-模。

2）設(shè)0→SM→SN→SL→0是左S-模的正合列。因為P是投射左R-模，所以序列

0→HomR（P，M）→HomR（P，N）→HomR（P，L）→0

正合。又因為

HomS（S?R P，-）?HomR（P，HomS（S，-））?

HomR（ P，-），

所以序列：

0→HomS（S?RP，M）→HomS（S?RP，N）→HomS（S?RP，L）→0

正合，即S?RP是投射左S-模。

引理2[7]" 設(shè)環(huán)擴張R?S是擬Frobenius擴張。

1）對任意左R-模M，S?RM～HomR（S，M）。

2）對任意右R-模N，N?RS～Hom（S，N）。

引理3" 設(shè)R?S是擬Frobenius擴張。

1）若F是平坦左S-模，則F是平坦左R-模。

2）若F是平坦左R-模，則S?RF與HomR（S，F(xiàn)）是平坦左S-模。

證明：1）設(shè)0→MR→NR是右R-模的正合列。因為RS是投射的，所以有右S-模的正合列0→M?RS→N?RS。由F是平坦左S-模，序列：

0→（M?RS）?SF→（N?RS）?SF

正合。又因為

（-?RS）?SF?-?R（S?SF）?-?RF，

所以序列0→M?RF→N?RF正合，即F是平坦左R-模。

2）設(shè)0→MS→NS是右S-模的正合列。因為F是平坦左R-模，所以序列0→M?RF→N?RF正合，又因為

-?S（S?RF）?（-?SS）?RF?-?RF，

所以序列：

0→M?S（S?RF）→N?S（S?RF）

正合，即S?RF是平坦左 S-模。又因平坦模對直和及直和項封閉，由引理2知HomR（S，F(xiàn)）也是平坦左S-模。

定義2[8]" 稱環(huán)擴張R?S是可分擴張當(dāng)且僅當(dāng)

μ∶S?RS→S，a?b [→][|] ab

是 S-雙模的可裂滿同態(tài)。

對任意左S-模M，由文獻[9]知，存在可裂的R-模滿同態(tài)π∶S?RM→M，任意s∈S，m∈M，π（s?R m）=sm。通常，π不是可裂的S-模滿同態(tài)。

引理4[9]" 下列條件等價：

1）環(huán)擴張R?S是可分擴張。

2）對任意S-雙模M，π∶S?RM→M是S-雙模的可裂滿同態(tài)。

3）存在e∈S?R S，使得μ（e）=1S，且對任意s∈S，se=es。

引理5" 設(shè)F是左S-模，R?S是可分擬Frobenius擴張。 則下列條件等價：

1）F是平坦左S-模。

2）F是平坦左R-模。

3）S?RF與HomR（S，F(xiàn)）是平坦左S-模。

證明：由引理3，只需證3）?1）。因環(huán)擴張R?S是可分擬Frobenius擴張，所以SF是S?R F的直和項，即F是平坦左S-模。

引理6[10]" 設(shè)0→A→B→C→0為左R-模復(fù)形的短正合列，則有左R-模正合列：

…→Hn（A）→Hn（B）→Hn（C）→Hn-1（A）

→Hn-1（B）→Hn-1（C）→Hn-2（A）→…。

給出Ding投射模的定義。

定義3[2]" 1）稱左R-模M是Ding投射模，設(shè)F為任意平坦左R-模，如果存在投射左R-模的正合列：

P∶…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…，

使得M?Ker（P0→P1），且序列HomR（P，F(xiàn)）正合。用DP（R）表示Ding投射R-模類。

2）設(shè)M是左R-模，稱

DpdR（M）=inf{n|?正合列0→Dn→Dn-1→…→D1→D0→M→0；?Di∈DP（R）}為M的Ding投射維數(shù)。若不存在這樣的n，則記DpdR（M）=∞。

2" 擬Frobenius擴張下Ding投射模的同調(diào)性質(zhì)

先討論在擬Frobenius擴張下，Ding投射模及其維數(shù)的同調(diào)性質(zhì)，再討論環(huán)的Ding投射整體維數(shù)在可分擬Frobenius擴張下的保持性。

命題1" 設(shè)M是Ding投射左S-模，R?S是擬Frobenius擴張。則M是Ding投射左R-模。

證明：設(shè)F為任意平坦左S-模，則存在投射左S-模的正合列：

P∶…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…，

使得M?Ker（P0→P1），且序列HomS（P，F(xiàn)）正合。根據(jù)引理1，則P也是投射左R-模的正合列。

設(shè)Q為任意平坦左R-模，由引理3，HomR（S，Q）是平坦左S-模，所以序列HomS（P，HomR（S，Q））正合。由同構(gòu)式：

HomR（P，Q）?HomR（S?SP，Q）?

HomS（P，HomR（S，Q））

知，序列HomR（P，Q）是正合的，所以M是Ding投射左R-模。

定理1" 設(shè)M是左R-模，R?S是擬Frobenius擴張。則M是Ding投射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)S?RM是Ding投射左S-模。

證明：1）充分性。由命題1，有Ding投射左R-模S?RM，并且M是S?RM的直和項，根據(jù)Ding投射模對直和項封閉可知M是Ding投射左R-模。

2）必要性。設(shè)F為任意平坦左R-模，由M是Ding投射模，則存在投射左R-模的正合列：

P∶…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…，

使得M?Ker（P0→P1），且序列HomR（P，F(xiàn)）正合。由引理1，則S?RPi是投射左S-模，故

S?R P∶…→S?RP-2→S?RP-1→S?RP0→S?RP1→S?RP2→…，

是投射左S-模的正合列，且S?RM?Ker（S?R P0→S?RP1）。設(shè)Q為任意平坦左S-模，由引理3知Q也是平坦左R-模。因此，由同構(gòu)式：

HomS（S?RP，Q）?HomR（P，HomS（S，Q））?HomR（P，Q）

知，序列HomS（S?RP，Q）正合，故S?RM是Ding投射左S-模。

定理2" 設(shè)M是左S-模，R?S是可分擬Frobenius擴張。則M是Ding投射左S-模當(dāng)且僅當(dāng)S?R M是Ding投射左S-模。

證明：1）必要性。由命題1，M也是Ding投射左R-模。由定理1，S?RM是Ding投射左S-模。

2）充分性。設(shè)F是任意平坦左S-模，則F也是平坦左R-模。由定理1，M是Ding投射左R-模，因此，Ext[R][igt;0]（M，F(xiàn)）=0。故

Ext[igt;0][S]（M，HomR（S，F(xiàn)））?Ext[R][igt;0]（S?SM，F(xiàn)）?

Ext[R][igt;0]（M，F(xiàn)）=0。

由引理3，Ext[igt;0][S]（M，S?RF）=0。又因F作為左S-模是S?RF的直和項，故Ext[igt;0][S]（M，F(xiàn)）=0。

因為Ding投射模對直和與直和項封閉，根據(jù)引理2，HomR（S，M）也是Ding投射左S-模，所以存在左S-模的正合列：

0→HomR（S，M）P0→K→0，

使得P0是投射左S-模，K是Ding投射左S-模。又因為存在S-模的單同態(tài)φ′∶M→HomR（S，M）（φ（m）（s）=sm），且φ看做R-模同態(tài)時是可裂的。所以存在R-模同態(tài)φ∶HomR（S，M）→M使得φ′φ=IdM。由命題1， K也是Ding投射左R-模，因此對任意平坦左R-模Q，有Ext[R][igt;0]（K，Q）=0，由引理6，序列：

0→HomR（K，Q）→HomR（P0，Q）→

HomR（HomR（S，M），Q）→0

正合。因此，對任意左R-模同態(tài)g∶M→Q，存在h∈HomR（P0，Q）使得hf=gφ′，即存在交換圖：

因此有S-模單同態(tài)fφ∶M→P0?？紤]左S-模的正合列：

0→M→K0→0，

其中K0=Cokerfφ， 則它也是左R-模正合列。又

h（fφ）=（hf）φ=gφ′φ=g， 則序列：

0→HomR（K0，Q）→HomR（P0，Q）→HomR（M，Q）→0

正合，又Ext1R（P0，Q）=0，由引理6有Ext1R（K0，Q）=0。由文獻[4]，K0是Ding投射左R-模。

對任意s∈S，p∈F，存在S-?？闪褲M同態(tài)α∶S?RF→F（α（s?Rp）=sp），因此，存在S-模同態(tài)α′∶F→S?RF使得αα′=IdF。由引理2和同構(gòu)式：

Ext1S（K0，HomR（S，F(xiàn)））?Ext1R（S?SK0，F(xiàn)）?

Ext1R（K0，F(xiàn)）=0

知Ext1S（K0，S?RF）=0。因此，由引理6，序列：

0→HomS（K0，S?RF）→HomS（P0，S?RF）→

HomS（M，S?RF）→0

正合。對任意S-模同態(tài)β∶M→F，存在

t∈HomS（P0，S?RF）

使得t（fφ）=α′β，即存在交換圖：

則（αt）fφ=（αα′）β=β。因此，序列：

0→HomS（K0，F(xiàn)）→HomS（P0，F(xiàn)）→HomS（M，F(xiàn)）→0

正合。由于K0是Ding投射左R-模，則S?RK0是Ding投射左S-模。設(shè)F為任意平坦左S-模，對K0重復(fù)上述過程，得左S-模的正合列：

0→M→P0→P1→P2→…，

其中Pi∈P（R），且序列被HomS（-，F(xiàn)）作用后仍正合。因此，由文獻[11]知M是Ding投射左S-模。

推論1" 設(shè)M是左S-模，R?S是可分擬Frobenius擴張。則M是Ding投射左S-模當(dāng)且僅當(dāng)M是Ding投射左R-模。

定理3" 設(shè)M是左S-模，R?S是可分擬Frobenius擴張。則DpdS（M）=DpdR（M）。

證明：由命題1，DpdR（M）≤DpdS（M）。設(shè)

DpdR（M）=nlt;∞，則存在左R-模的正合列：

0→Dn→Dn-1→…→D1→D0→M→0，

其中Di是Ding投射左R-模。根據(jù)定理1可知S?RM是Ding投射左S-模，因此可得左S-模的正合列：

0→S?RDn→S?RDn-1→…→S?RD1→

S?RD0→S?RM→0，

其中S?RDi是Ding投射左S-模。因此

DpdS（S?RM）≤n。由環(huán)擴張R?S是可分擬Frobenius

擴張知S M是S?RM的直和項，故由定理1知DpdS（M）≤DpdS（S?RM）≤DpdR（M）。即DpdR（M）=DpdS（M）。

定理4" 設(shè)M是左R-模，R?S是擬Frobenius擴張。則

DpdR（M）=DpdR（S?RM）=DpdS（S?RM）。

證明：由命題1知DpdR（S?RM）≤DpdS（S?RM）。由定理1，DpdS（S?RM）≤DpdR（M）。又因左R-模M是S?RM的直和項，由文獻[12]知：

DpdR（M）≤DpdR（S?RM）。

故DpdR（M）=DpdR（S?RM）=DpdS（S?RM）。

定義4[11]" 環(huán)R的左Ding投射整體維數(shù)定義為：

lglDpd（R）=sup{DpdR（M）|?M∈RM}。

定理5" 設(shè)R?S是可分擬Frobenius擴張，則lglDpd（R）=lglDpd（S）。

證明：先證lglDpd（S）≤lglDpd（R）。若lglDpd（R）=∞，則結(jié)論顯然成立。設(shè)lglDpd（R）=nlt;∞，M是任意左S-模，由定理3，DpdS（M）=DpdR（M）。則DpdS（M）≤n，故lglDpd（S）≤lglDpd（R）。同理，由定理4，lglDpd（R）≤lglDpd（S）。

3" 結(jié)語

本文主要研究Ding投射模及其維數(shù)在擬Frobenius擴張下的同調(diào)不變性。當(dāng)M是左R-模時，對M的投射分解做張量積，再利用伴隨同構(gòu)即證M是Ding投射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)S?RM是Ding投射左S-模，且DpdR（M）=DpdR（S?RM）=DpdS（S?RM）。當(dāng)M是左S-模時，借助Ext函子，由Ding投射模的定義證得M與S?RM是等價的Ding投射左S-模，且DpdS（M）=DpdR（M）。

注釋：

①" CASTA?O IGLESIAS F著《On quasi-Frobenius bimodules and corings》， 2006年發(fā)表于《arXiv： math/0612663v1》。

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收稿日期：2024-05-07

基金項目：重慶市自然科學(xué)基金項目（cstc2021jcyj-msxmX0048）

作者簡介：廖楊，女，重慶市黔江人，碩士研究生