高中數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學課例研究

【摘要】新一輪課程改革注重核心素養(yǎng)導向的課程教學.課堂是落實核心素養(yǎng)導向教學的主要場所，教師是落實核心素養(yǎng)導向教學的行動主體，學生是落實核心素養(yǎng)導向教學的行為客體.需要借助行動研究來把握教與學的內(nèi)在聯(lián)系，提煉核心素養(yǎng)導向的教學方法與路徑，結(jié)構(gòu)化單元教學課例研究正是基于上述需求應運而生的.

【關鍵詞】高中數(shù)學；結(jié)構(gòu)化；單元教學；課例研究

1問題的提出

教育部于2020年進行了普通高中課程修訂工作，本次修訂的最大特點是制定了學科課程標準，凝煉了學科核心素養(yǎng).基于學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵要求，需要教師探索和創(chuàng)新教學方式.考慮到學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的發(fā)展具有階段性、連續(xù)性和整合性的特點，需要教師在設計教學時從整體上關注教學內(nèi)容邏輯結(jié)構(gòu)，把握學生原有的認知結(jié)構(gòu).

2數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學內(nèi)涵

數(shù)學是一門結(jié)構(gòu)性很強的學科，從數(shù)學教學視角來看，數(shù)學結(jié)構(gòu)構(gòu)成大致如下.

李昌官認為：“數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則即從數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)和學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)出發(fā)設計和組織教學，以完善和發(fā)展學生原有認知結(jié)構(gòu)為目的.”[1]張然然認為：“數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學是指教師從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過問題驅(qū)動引導學生利用已有知識和方法，主動參與數(shù)學探究過程，建構(gòu)數(shù)學概念、命題等.”[2]二者都強調(diào)了以數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點設計教學，強調(diào)結(jié)構(gòu)引領教學的重要性.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2022年修訂）》（以下簡稱課程標準）明確指出：“重視以學科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促進學科核心素養(yǎng)的落實.”[3]而數(shù)學核心素養(yǎng)的成分難以在單個的知識點上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識體系、知識結(jié)構(gòu)之中[4].筆者認為，數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學與單元教學密不可分，數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學應關注知識體系，將數(shù)學內(nèi)容置于單元整體結(jié)構(gòu)中理解，實施數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學.結(jié)構(gòu)化是實施數(shù)學單元教學的重要抓手，結(jié)構(gòu)化不僅能厘清單元知識內(nèi)部的關聯(lián)，更是聯(lián)結(jié)不同單元知識的“橋梁”，結(jié)構(gòu)化的目的是通過教與學的過程實現(xiàn)數(shù)學思維的“可視化”，實現(xiàn)“看得見、摸得著、帶得走（核心素養(yǎng)導向的教學）”的學科教學.單元教學是實現(xiàn)知識、方法結(jié)構(gòu)化的重要載體，把具有相同或相似結(jié)構(gòu)的知識以單元的形式關聯(lián)，進行整體思考和設計，構(gòu)建單元知識結(jié)構(gòu)、探索研究單元問題的方法結(jié)構(gòu)，促進學生認知結(jié)構(gòu)發(fā)展.從單元和整體出發(fā)設計教學，比割裂地、零碎地設計教學更有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑.

3數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學實踐路徑

基于數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學的內(nèi)涵要求，教學需從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和學生的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，把數(shù)學知識、技能、方法、經(jīng)驗等各要素按照層級結(jié)構(gòu)組成一個融會貫通的整體，分析其邏輯關聯(lián)，對數(shù)學教學進行系統(tǒng)規(guī)劃.要做到這些，需要教師進行深度教研、合作教研，形成教研合力.近年來，國內(nèi)一線教學中出現(xiàn)了一種凝聚集體智慧的教研活動——磨課，其形式上是一種教研活動，方法上是一種教學行動研究，實質(zhì)是一種中式課例研究[5]，其研究的一般模式如下表.

對于數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學而言，課堂是落實教學活動的主要場所，教師是落實教學活動的行動主體，學生是落實教學活動的行為客體.“磨課”研究恰是教師對“課堂”的研究，是教師基于實踐情境的反思性研究，其目的是教師“教好書”（學生能夠發(fā)展）、教師專業(yè)在課堂實踐中成長（教師能夠發(fā)展），這恰好達成了促進教學行動主體和行為客體雙重發(fā)展的目標.因此，“磨課”研究是數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學順利實施的實踐路徑[6].

4高中數(shù)學結(jié)構(gòu)化單元教學課例研究實踐案例

筆者以人教A版（2019年版）普通高中教科書必修第一冊第三章3.3節(jié)課后“探究與發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì)”為例，進行結(jié)構(gòu)化單元課例研究實踐，利用信息技術手段輔助教學，探索由數(shù)學抽象知識可視化到數(shù)學思維可視化的一般方法路徑.教學過程環(huán)節(jié)如下.

（一）教學課例研究的初次設計

1.情境引入

問題1：數(shù)學情境（一般觀念）：本章函數(shù)內(nèi)容學習的一般路徑？

教師引導：函數(shù)的一般概念：背景—概念—性質(zhì)—應用.

冪函數(shù)：背景—概念—圖象與性質(zhì)—應用.

問題2：現(xiàn)實背景問題中蘊含的函數(shù)模型都是已知的初等函數(shù)模型嗎？

問題情境：如圖1所示，在自家院子一側(cè)靠墻（墻的長度為2米）用籬笆圍成一個面積為0.5平方米的矩形花圃，設邊長AB為x米，籬笆長為y米.

（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并指出其定義域.

（2）當這個矩形邊長AB為多少時，所用籬笆最短？

答案預設：（1）y=x+1x（0＜x≤2）.

追問：函數(shù)y=x+1x有什么特點？你認為可以從哪些方面研究這個函數(shù)？按照怎樣的路徑研究？

答案預設：函數(shù)y=x+1x是由已知函數(shù)y=x與y=1x構(gòu)造而成的.

教學說明：核心素養(yǎng)導向的數(shù)學單元教學是基于一般觀念指導下的數(shù)學學習與探究活動，關注研究一類問題的基本套路與一般路徑，注重構(gòu)建單元知識的整體結(jié)構(gòu).

2.新知探究

探究過程1：直觀感知.

問題3：函數(shù)圖象的基本構(gòu)成要素是什么？

答案預設：點.

追問1：從代數(shù)的角度如何刻畫點？

答案預設：橫坐標和縱坐標.

追問2：能否從點的角度利用已知函數(shù)y=x與y=1x的圖象與性質(zhì)直觀感知函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì)？

教師引導：在函數(shù)y=x與y=1x的圖象上，分別任取點B，C，用點B，C的運動變化規(guī)律來描述函數(shù)y=x+1x的圖象上任意點D的運動變化狀態(tài).

追問3：從形的角度，可以用點B，C的運動變化規(guī)律來描述點D的運動變化狀態(tài)嗎？

答案預設：設點B，C，D在一條與x軸垂直的動直線上，點B，C與點D的位置關系不易確定.

追問4：從數(shù)的角度，可以用點B、C的運動變化規(guī)律來描述點D的運動變化狀態(tài)嗎？

答案預設：設點B（x，x），C（x，1x），則點D（x，x+1x）在函數(shù)y=x+1x的圖象上，通過動態(tài)演示點D（x，x+1x）的軌跡變化直觀感知函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì).

問題4：結(jié)合前面學習函數(shù)的相關知識，我們可以根據(jù)點D的運動變化研究函數(shù)y=x+1x上的哪些性質(zhì)？

教師引導：站在單元整體的高度上，用聯(lián)系的眼光看問題.本章我們學習了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，這些都是本節(jié)課的研究內(nèi)容.

追問1：如圖2所示，從左向右看，隨著x的增大，你能探究出哪些性質(zhì)？

答案預設：yD隨xD的變化而變化，可以發(fā)現(xiàn)：

函數(shù)y=x+1x的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；值域為（-∞，-2］∪［2，+∞）；在（-∞，-1］和［1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，0）和（0，1）上單調(diào)遞減.

追問2：進一步地，可以探究函數(shù)y=x+1x的奇偶性嗎？

答案預設：作點B，C關于原點的對稱點B′（-x，-x），C′（-x，-1x），構(gòu)造點D′（-x，-x-1x），則點D′與點D關于原點對稱，且在函數(shù)y=x+1x的圖象上，所以函數(shù)y=x+1x是奇函數(shù).

追問3：觀察點D運動變化的區(qū)域，你有什么發(fā)現(xiàn)？

答案預設：當x＞0時，點D始終在直線y=x的上方和y軸右側(cè)運動；當x＜0時，點D始終在直線y=x的下方和y軸左側(cè)運動.所以函數(shù)y=x+1x的漸近線是y軸和y=x.

探究過程2：圖象確認.

利用Geogebra軟件畫出函數(shù)y=x+1x的圖象，對探究過程1進行直觀確認.如圖3所示.

教學說明：

通過信息技術輔助手段將數(shù)學思維直觀展現(xiàn)，發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng).引導學生探究研究基本初等函數(shù)函數(shù)的一般方法，歸納、總結(jié)學習一類數(shù)學對象的一般套路.

探究過程3：邏輯證明.

對定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、漸近線進行演繹證明，限于篇幅，此處過程省略.

教學說明：

經(jīng)歷嚴謹?shù)难堇[證明，發(fā)展學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng).遵循直觀感知→圖象確認→邏輯證明這一不斷深入的數(shù)學認知邏輯過程，學生構(gòu)建了基于信息技術輔助數(shù)學教學的一般路徑，形成了完整的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).在此基礎上，通過整合前面所學函數(shù)單元內(nèi)容，進一步充實數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu).

3.新知應用

例1：問題解決：（2）當這個矩形邊長AB為多少時，所用籬笆最短？

例2：探究函數(shù)y=x+4x的圖象與性質(zhì).

教學說明：

通過相似問題引導學生動手探究，達到鞏固新知，嘗試構(gòu)建解決一類問題的方法結(jié)構(gòu)，完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

4.課堂小結(jié)

（二）磨課思考

課堂教學是一門藝術，課堂教學設計反映了教師對核心素養(yǎng)導向的課程標準理念的領悟，對教科書內(nèi)容編排的理解，以及對學生學情的把握.教師對課堂教學藝術盡善盡美的追求永無止境.筆者結(jié)合課堂學生聽課反饋，在本課例原有設計的基礎上開展磨課研究，引發(fā)了以下思考.

1.教學過程的合理性認知

章建躍博P95GZETJmfHHyvgJxnQy8lHIdPlcJ/UmpOeLZpdQntU=士提出教學要做到“兩個過程”的合理性，即數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學生認知過程的合理性.本節(jié)課最大的特征是“探究”，前面設計的利用信息技術工具探究性質(zhì)的過程，與其理解為“探究”過程，不如理解為“驗證”過程更為合理，主觀上學生能想到利用信息技術工具探究函數(shù)性質(zhì)嗎？客觀上學生利用信息技術探究的條件（有無硬件？是否會使用軟件？）具備嗎？其實以上“探究”過程是存在于教師大腦里的主觀認知，是教師強加給學生的過程，實質(zhì)是教師帶領學生的“驗證”過程，而非學生關于本節(jié)知識的認知，悖離“學生認知過程合理性”理念.其結(jié)果是將知識灌輸給學生，學生對知識的理解是知其然，不知其所以然，無法將新知融入到已有知識結(jié)構(gòu)中去.從學生的認知視角出發(fā)，如何更好地體現(xiàn)“探究”屬性、展現(xiàn)“探究”過程？這需要研究學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，基于學生的數(shù)學認知起點，設計本節(jié)課的探究過程.

2.構(gòu)建單元結(jié)構(gòu)的邏輯方法

學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化而成的.隨著數(shù)學知識的不斷積累，知識間的邏輯關聯(lián)越發(fā)凸顯.因此，需要用聯(lián)系的、整體的眼光來理解新知，將新知置于單元整體結(jié)構(gòu)中考量，思考其在單元中所處的地位，與前面知識是如何承接的，對后續(xù)知識的學習有何啟發(fā). 南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展研究中心渠東劍老師針對單元教學的情境設計提出了“一線串聯(lián)通的問題情境”的觀點，意指同一個問題情境應反復用于一個單元的知識學習之中，這對于學生理解數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)起到了重要作用.借用這個觀點，我們思考函數(shù)y=x+1x的由來背景是什么？聯(lián)系前面學習的基本初等函數(shù)，其形成特點有一般規(guī)律可循嗎？如果把這些問題想透徹、理清楚，對于揭示本節(jié)的內(nèi)容本質(zhì)能夠起到至關重要的作用.本節(jié)內(nèi)容是在學生學習了函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪函數(shù)后安排的一節(jié)探究課，具體要探究哪些內(nèi)容？按照怎樣的路徑探究？只要認真思考本單元所學內(nèi)容及其研究的一般路徑、本節(jié)內(nèi)容所處本單元中的位置，這個問題并不難回答.

本節(jié)課探究的主要內(nèi)容是函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì)，探究順序如何安排？這需要參考大單元教學中初等函數(shù)圖象與性質(zhì)探究的一般方法結(jié)構(gòu)，更要考慮學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu). 教師需要關注學生的認知起點，遵循由已知到未知的探究思路，在把握認知結(jié)構(gòu)的前提下合理設計探究過程，在探究的過程中理清本節(jié)內(nèi)容知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)，嘗試構(gòu)建探究未知函數(shù)圖象與性質(zhì)的方法結(jié)構(gòu).

（三）教學課例再設計實踐

為落實上述幾點磨課思考，筆者對課例進行了有針對性的再設計，并進行課堂實踐.

1.基于知識發(fā)展路徑，合理引入新知

基于知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性理解，從數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)來看，新課的引入應重視新舊知識在內(nèi)容上的邏輯連貫性，需要構(gòu)建與新知密切聯(lián)系的“先行組織者”.從數(shù)學方法結(jié)構(gòu)來看，本節(jié)課是在一以貫之的函數(shù)大情境背景下對研究一類具體函數(shù)的一般方法與路徑的強化，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和冪函數(shù)的學習路徑，順應學生的認知經(jīng)驗，本節(jié)課在引入環(huán)節(jié)應引導學生思考函數(shù)y=x+1x的由來背景.

問題1：初中我們學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，上節(jié)課我們學習了冪函數(shù)，請大家思考它們與冪函數(shù)有什么聯(lián)系呢？

教師引導：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)都是由冪函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過加減乘除等運算構(gòu)造而成的.

追問1：更進一步地，如果將兩個冪函數(shù)進行加減乘除，可以得到新函數(shù)嗎？比如將y=x和y=1x進行加、減、乘、除，可以得到哪些函數(shù)呢？

教師引導：如圖5所示.

追問2：對于函數(shù)y=x+1x，你認為可以從哪些方面研究這個函數(shù)？按照怎樣的路徑研究？

教師引導：緊扣單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)，類比冪函數(shù)的研究內(nèi)容和研究的一般路徑，我們得出本節(jié)課的研究內(nèi)容和研究路徑.

研究內(nèi)容：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、其他性質(zhì).

研究路徑：背景—概念—圖象與性質(zhì)—應用.

教學說明：

通過選取熟悉的、相關聯(lián)的數(shù)學情境引入，體現(xiàn)知識內(nèi)容之間的內(nèi)在關聯(lián)，遵循知識發(fā)展的邏輯結(jié)構(gòu)，凸顯研究方法的一致性與延續(xù)性，強化研究一類具體函數(shù)的方法路徑.

2.順應認知邏輯路徑，親歷新知探究

基于學生認知發(fā)展過程的合理性理解，教師應站在學生視角“身臨其境”地體驗知識生成過程，這需要教師從微觀視角研究學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，把握學生的認知起點設計教學.基于此，筆者設計了課前導學環(huán)節(jié)，借助學案把脈學生認知起點，課中關注單元知識內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)和數(shù)形結(jié)合思想方法主線結(jié)構(gòu)，順應學生認知結(jié)構(gòu)設計本節(jié)知識探究過程，合理設問、適時提問、及時追問，搭建認知思維“臺階”.

問題2：按照研究路徑，我們?nèi)绾翁骄亢瘮?shù)的圖象與性質(zhì)呢？（展示預習學案，見圖6）

教師引導：歸納同學們預習學案所畫圖象，我們獲得本節(jié)課的認知起點.

（1）圖象的獲取方法有描點作圖法和利用性質(zhì)描繪圖象的方法.

（2）利用性質(zhì)描繪圖象基本上都結(jié)合了冪函數(shù)y=x和y=1x的圖象與性質(zhì)進行分析.

（3）由于認知水平的差異，同學們描點的精細程度、性質(zhì)應用的深入程度有所不同，導致獲取的圖象之間有差異，其實同學們獲取的都是函數(shù)的大致圖象.

追問1：圖象有差異，能否用有差異的圖象探究函數(shù)性質(zhì)嗎？

教師引導：顯然，這是不嚴謹?shù)?既然無法通過“形”來探究性質(zhì)，我們還可以怎么做呢？我們不妨轉(zhuǎn)到“數(shù)”這條路徑上進行探究.

追問2：從“數(shù)”的角度看，什么是已知的？

教師引導：由前面分析可知，函數(shù)y=x+1x的解析式結(jié)構(gòu)是已知的，可否通過對其解析式進行研究獲取部分性質(zhì)？顯然，這是符合我們認知規(guī)律的.下面我們來探究函數(shù)的定義域、值域、奇偶性（與前面同）.

問題3：由于函數(shù)是奇函數(shù)，接下來可以怎樣研究圖象？

預設答案：可以先研究x＞0時的函數(shù)圖象.

追問1：你能利用函數(shù)y=x和y=1x的圖象變化趨勢，結(jié)合定義域、值域說明函數(shù)y=x+1x在（0，+∞）上的圖象變化趨勢嗎？

教師引導：當x→0時，y=x+1x→1x→+∞，其圖象與y=1x的圖象越來越靠近，所以y軸是其漸近線.當x→+∞時，y=x+1x→x→+∞，其圖象與y=x的圖象越來越靠近，所以y=x也是其漸近線.

追問2：你能畫出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象嗎？

答案預設：如圖7所示.

追問3：結(jié)合奇偶性，你能畫出整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？

答案預設：如圖8所示.

追問4：觀察圖象可以獲得函數(shù)的單調(diào)性嗎？由圖象得到的單調(diào)性嚴謹嗎？你能嚴格證明嗎？

問題4：請嘗試借助信息技術輔助工具設計一個用y=x和y=1x的圖象疊加演示y=x+1x的圖象的方案.觀察你畫的圖象與信息技術生成的圖象一致嗎？

教師引導：具體演示如圖3.

例題：略（同前面所述）.

教學說明：

通過對學生認知起點的把握，按照定義域→值域→奇偶性→漸近線→圖象→單調(diào)性的認知順序?qū)嵤┙虒W，符合結(jié)構(gòu)化單元教學的邏輯合理性的要求，完善了單元數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

3.回歸單元方法路徑，重構(gòu)新知結(jié)構(gòu)

數(shù)學教學應關注單元內(nèi)容內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學內(nèi)容發(fā)生、發(fā)展的一般方法與路徑，凸顯數(shù)學方法結(jié)構(gòu).

（1）數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)構(gòu)建.

（2）數(shù)學方法結(jié)構(gòu)歸納.

①通過已知函數(shù)的運算構(gòu)造新函數(shù)是學習、研究函數(shù)的一種重要方法；

②對新函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究應建立在已有認知結(jié)構(gòu)的基礎上，其研究的一般思路是由已知到未知，研究的一般方法是性質(zhì)與圖象的交互探究、數(shù)與形的雙向奔赴.

教學說明：

站在單元整體的高度上，重構(gòu)數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)，凸顯方法的普適性，構(gòu)建函數(shù)單元學習的一般方法路徑.

5實踐思考

基于結(jié)構(gòu)化單元教學，要求教師專于課標理念研究、鉆研與挖掘教科書、探求“教”的結(jié)構(gòu)化路徑，善于研究學生認知，站在學生的視角把握學生認知思維特點，探求“學”的結(jié)構(gòu)化路徑.教師應站在整體和結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，關注同一主線知識發(fā)展的邏輯順序，關注不同主線知識之間的邏輯關聯(lián)，關注不同知識所蘊含的通性通法、數(shù)學思想以及核心素養(yǎng).教學過程中善于合理設置課堂問題，提出“先行組織者”，采用追問的形式，暴露學生的思維誤區(qū)，確定認知起點，以原有認知結(jié)構(gòu)為基礎構(gòu)建新課知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).教學要善于從整體入手，促成知識、方法的遷移，完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

參考文獻

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作者簡介

劉守文（1983—），男，安徽合肥人，碩士，中學數(shù)學高級教師，合肥市高中數(shù)學學科帶頭人；主要從事中學數(shù)學教學研究；發(fā)表論文10余篇.

王世朋（1982—），男，安徽合肥人，碩士，中學高級教師；合肥市高中數(shù)學學科帶頭人，人教社教材專家，合肥市高中數(shù)學侯曙明、蒲榮飛教育名師工作室核心成員，合肥市高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎，合肥市中小學教學競賽一等獎；主要研究中學數(shù)學教學、信息化輔助教學；主持和參與省市課題5項；發(fā)表論文 20余篇．

基金項目

安徽省教育科學研究項目“‘結(jié)構(gòu)化’統(tǒng)領的高中數(shù)學單元教學案例研究”（JK23084）.