從2024年一道高考題解法探究過(guò)程論高考創(chuàng)新試題的應(yīng)對(duì)策略

【摘要】高考中的創(chuàng)新試題真正要考查的是考生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維，在高考復(fù)習(xí)備考中緊緊依托教材進(jìn)行拓展延伸，在深入理解知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，這才是最根本的應(yīng)對(duì)策略.

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；高考創(chuàng)新題；應(yīng)對(duì)策略

2024年數(shù)學(xué)高考已塵埃落定，今年新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷試卷結(jié)構(gòu)做了重要調(diào)整，在題量減少的情況下，試題突出創(chuàng)新導(dǎo)向，加強(qiáng)創(chuàng)新能力考查，設(shè)計(jì)全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式，加強(qiáng)了解答題部分對(duì)基本能力的考查，提升壓軸題的思維量，突出理性思維和數(shù)學(xué)探究，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.其中新課標(biāo)Ⅰ卷第19題以數(shù)列為知識(shí)背景，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，題目非常新穎，沒(méi)有固定的模式，是今年高考數(shù)學(xué)的“聚焦點(diǎn)”[1].筆者對(duì)此題的解法進(jìn)行探究，并從試題解法的探究過(guò)程看這類題的解題策略，供讀者參考.

1試題及分析

（2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aji<j后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列．

（1）寫(xiě)出所有的i，j，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是i，j－可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是2，13－可分?jǐn)?shù)列；

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和ji<j，記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm>18．

此題以等差數(shù)列為知識(shí)背景，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，搭建思維平臺(tái)，引導(dǎo)考生積極思考，在思維過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇路徑和策略分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.充分體現(xiàn)了“多想少算”的設(shè)計(jì)理念，充分重視對(duì)思維能力、探究能力和解決問(wèn)題能力的考查.

2解法探究

解（1）由于從等差數(shù)列中取出的項(xiàng)成等差數(shù)列的充要條件是所取項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列，所以只需討論數(shù)列1，2，…，4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列即可，本文的討論均在此假設(shè)下進(jìn)行.

第1小問(wèn)相當(dāng)于從1，2，3，4，5，6中取出兩個(gè)數(shù)i和ji<j，使得剩下的四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，那么剩下的四個(gè)數(shù)只可能是1，2，3，4，或2，3，4，5，或3，4，5，6.所以所有可能的i，j有1，2，1，6，5，6.

（2）當(dāng)m=3時(shí)，由于從數(shù)列1，2，…，4m+2中取出2和13后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以排列成下面的形狀：

1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.共3組.

當(dāng)m≥4時(shí)，還有

15，16，17，18；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－3組.

故數(shù)列1，2，…，4m+2是2，13－可分?jǐn)?shù)列.

（3）解法1：設(shè)集合A={4k+1k=0，1，2，…，m}={1，5，9，13，…，4m+1}，

B={4k+2k=0，1，2，…，m}={2，6，10，14，…，4m+2}.

下面證明，對(duì)1≤i<j≤4m+2，如果下面條件1和條件2同時(shí)成立，

則數(shù)列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分?jǐn)?shù)列.

條件1：i∈A，j∈B或i∈B，j∈A；

條件2：j－i≠3.

分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.

情況1：如果i∈A，j∈B，且j－i≠3.

此時(shí)設(shè)i=4k1+1，j=4k2+2，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，

則由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2－k1>－14，故k2≥k1.

此時(shí)，從數(shù)列1，2，…，4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m個(gè)數(shù)只需要從小到大依次排列，即可得到m個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列.

情況2：如果i∈B，j∈A，且j－i≠3.

此時(shí)設(shè)i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}.

由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2－k1>14，故k2>k1.

由于j－i≠3，故4k2+1－4k1+2≠3，從而k2－k1≠1，這就意味著k2－k1≥2.

此時(shí)，把正整數(shù)1，2，…，4m+2按如下方式排列：

1，2，3，4；5，6，7，8；…；4k1－3，4k1－2，4k1－1，4k1.共k1組；

4k1+1，3k1+k2+1，2k1+2k2+1，k1+3k2+1；

4k1+2，3k1+k2+2，2k1+2k2+2，k1+3k2+2；

4k1+3，3k1+k2+3，2k1+2k2+3，k1+3k2+3；

4k1+4，3k1+k2+4，2k1+2k2+4，k1+3k2+4；

……

3k1+k2，2k1+2k2，k1+3k2，4k2.共k2－k1組；

4k2+3，4k2+4，4k2+5，4k2+6;4k2+7，4k2+8，4k2+9，4k2+10；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－k2組.

（如果某一部分的個(gè)數(shù)為0，則忽略之）

可見(jiàn)，取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m個(gè)數(shù)可排成m個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列，故此時(shí)數(shù)列1，2，…，4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列.

這就證明了：對(duì)1≤i<j≤4m+2，如果條件1和條件2同時(shí)成立，則數(shù)列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分?jǐn)?shù)列.

然后考慮這樣的i，j的個(gè)數(shù).

首先，由于A∩B=，A和B各有m+1個(gè)元素，故滿足條件1的i，j總共有m+12個(gè).

如果j－i=3，假設(shè)i∈A，j∈B，則可設(shè)i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2－4k1+1=3.

但這導(dǎo)致k2－k1=12，矛盾，所以i∈B，j∈A.

設(shè)i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，則4k2+1－4k1+2=3，即k2－k1=1.

所以可能的k1，k2恰好就是0，1，1，2，…，m－1，m，對(duì)應(yīng)的i，j分別是2，5，6，9，…，4m－2，4m+1，總共m個(gè).

所以這m+12個(gè)滿足條件1的i，j中，不滿足條件2的恰好有m個(gè).

這就得到同時(shí)滿足條件1和條件2的i，j的個(gè)數(shù)為m+12－m.

故Pm≥m+12－mC24m+2=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

證畢.

解法2：設(shè)1，2，…，4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列的i，j有bm個(gè)，則b1=3.

下面考慮bm+1與bm的關(guān)系：

設(shè)1，2，…，4m+2是i，j－可分?jǐn)?shù)列的i，j組成的集合為Am.

由于從1，2，…，4m+2，4m+3，4m+4，4m+5，4m+6的前4m+2個(gè)數(shù)中任意抽掉兩個(gè)數(shù)，不影響4m+3，4m+4，4m+5，4m+6成等差數(shù)列，所以AmAm+1，于是bm≤bm+1.

再考慮Am+1中比Am多出來(lái)的元素.

情況1：若抽取j=4m+6，i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），剩下的4m+4個(gè)數(shù)只需要從小到大依次排列，即成m+1個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列，這樣的i，j有m+2個(gè).

情況2：若抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1.

把從4m+5－4s到4m+6的整數(shù)按如下方式排列：

4m+6，4m+6－s，4m+6－2s，4m+6－3s，4m+6－4s；

4m+5，4m+5－s，4m+5－2s，4m+5－3s，4m+5－4s；

4m+4，4m+4－s，4m+4－2s，4m+4－3s；

4m+3，4m+3－s，4m+3－2s，4m+3－3s；

……

4m+7－s，4m+7－2s，4m+7－3s，4m+7－4s.

共有s行，前兩行有5個(gè)數(shù)，s≥3時(shí)后面每行有4個(gè)數(shù).

可見(jiàn)抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩下的4s個(gè)數(shù)排成了s個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列.而從1到4m+4－4s（當(dāng)m≥s時(shí)）的4m+4－4s個(gè)整數(shù)只需從小到大就可以排成m+1－s個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列.這說(shuō)明把前4m+6個(gè)正整數(shù)抽取了j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩余的4m+4個(gè)數(shù)可以排m+1個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列.這樣的i，j有m個(gè).

于是bm+1≥bm+m+2+m，即bm+1－bm≥2m+1.

故bm=bm－bm－1+bm－1－bm－2+…+b2－b1+b1≥2m+2m－1+…+2×2+3

=m2+m+1.

于是Pm=bmC24m+2≥m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

證畢.

3從試2E0ZxBSADImR9VgQwahjbg==題解法的探究過(guò)程看這類題的解題策略

這類題很新穎，沒(méi)有固定的模式，表面上涉及的知識(shí)點(diǎn)可以是高中數(shù)學(xué)的任何一個(gè)或幾個(gè)板塊，但核心是考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力.就這道題來(lái)講，表面上是考數(shù)列和概率，但解題過(guò)程的重心和難點(diǎn)都不在這兩部分，而是在構(gòu)造法和集合的劃分，它們是典型的解競(jìng)賽題的常用方法，沒(méi)有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和很強(qiáng)的思維能力是駕馭不了的.因此，這類題的解法沒(méi)有套路，沒(méi)有模型，不能照搬現(xiàn)成的解法，只靠刷題是練不出來(lái)的.但是，它畢竟還是數(shù)學(xué)題，解法的發(fā)現(xiàn)自然也會(huì)遵循數(shù)學(xué)題的解題規(guī)律，所以掌握一些解題策略還是很有幫助的.下面就從這道題解法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程來(lái)總結(jié)一些解這類題的策略.

第1問(wèn)的解法有兩種，第一種是注意到從6個(gè)數(shù)中取出兩個(gè)數(shù)有15種情況，把這15種情況考慮完即可；第二種方法是發(fā)現(xiàn)剩余的4個(gè)數(shù)一定有差為1的兩個(gè)數(shù)，故從小到大排成數(shù)列公差只能是1，很容易就得出只有3種情況.

第2問(wèn)只要把剩余的4m個(gè)數(shù)排成m個(gè)等差數(shù)列即可.解法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程就是嘗試各種排列方式，很快就得到了想要的結(jié)果.

第3問(wèn)解法的發(fā)現(xiàn)是比較困難的，在這一過(guò)程不斷變換策略，總算取得了突破.

策略1：特例入手.

首先研究了m=2的情況，很快發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，2，…，10的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，此時(shí)概率已大于18.再考慮m=3的情況，發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，2，3，…，14的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，由第2問(wèn)知還有2，13，此時(shí)概率為1191，小于18，說(shuō)明還有沒(méi)發(fā)現(xiàn)的.經(jīng)幾次嘗試，發(fā)現(xiàn)6，13也正確，因?yàn)槭Ｓ嗟?2個(gè)數(shù)可以排列成1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.此時(shí)概率已大于18.進(jìn)一步研究m=4的情況，找出了1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，1，18，5，18，9，18，13，18，2，13，6，13，共16個(gè)，而概率要大于18至少要20個(gè)，還差4個(gè).再找下去太費(fèi)時(shí)間，而且還不一定能得到結(jié)果，所以決定不找了，轉(zhuǎn)變策略.

策略2：歸納總結(jié).

分析m=1，2，3，4時(shí)找到的i，j，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)規(guī)律：（1）m取較大值時(shí)的i，j包含了m取較小值時(shí)的i，j.這點(diǎn)其實(shí)早就想到了，m取較大值時(shí)的數(shù)列就是在m取較小值時(shí)的數(shù)列的后面增加了一些數(shù)，而新增加的數(shù)本來(lái)就可以排列成都有4項(xiàng)的等差數(shù)列，所以m取較小值時(shí)的i，j自然也是m取較大值時(shí)的i，j；（2）i，j中的兩個(gè)數(shù)一奇一偶.其中前奇后偶的最多，而且這種情況下去掉這兩個(gè)數(shù)以后余下的4m個(gè)數(shù)分成了一段或兩段或三段，每段都是4的倍數(shù)個(gè)連續(xù)整數(shù)，這樣的i，j很容易找完.前偶后奇的找到的很少，原因是每找一個(gè)都要花大力氣去考慮余下的數(shù)怎么排列，所以本題的難點(diǎn)就在這里.根據(jù)發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)規(guī)律，想到了兩個(gè)突破方向.第一個(gè)是直接研究余下的數(shù)排列成等差數(shù)列中的規(guī)律，第二個(gè)是化整為零，利用遞推思想研究m+1相應(yīng)的i，j個(gè)數(shù)比m相應(yīng)的i，j個(gè)數(shù)增加的數(shù)量.

策略3：合情推理.

從特殊到一般是合情推理的一種重要形式，也是一種非常重要而有效的數(shù)學(xué)思想方法.根據(jù)這一思想，接下來(lái)就是利用已有的特例，研究i為偶數(shù)j為奇數(shù)時(shí)余下的數(shù)排列成等差數(shù)列中的一般規(guī)律.當(dāng)m=3時(shí)，去掉2和13，余下的數(shù)可以如下排列：1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.去掉6和13，余下的數(shù)可以如下排列：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.當(dāng)m=4時(shí)，去掉6和13，余下的數(shù)排列成：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14；15，16，17，18.

可以看出，當(dāng)i的前面或j的后面多于4個(gè)數(shù)時(shí)，可以把前后的數(shù)從小到大依次排成若干個(gè)都有4項(xiàng)的等差數(shù)列，再排中間余下的數(shù)即可.那么余下的數(shù)又有什么排列規(guī)律呢？按照上面的排列方式，要看出規(guī)律很難.所以想到了改變排列方式，按照數(shù)的大小順序把得到的數(shù)列從上往下排，并且把去掉的數(shù)加在相應(yīng)的位置，得到如下的排列：

1，4，7，10，13；1，2，3，4；1，2，3，4；

2，5，8，11，14；5，7，9，11，13；5，7，9，11，13；

3，6，9，12.6，8，10，12，14.6，8，10，12，14;

15，16，17，18.

可以看出，從i所在的行起到j(luò)所在的行止，先從上往下看再?gòu)淖笸铱?，這些數(shù)是從小到大依次排列的.為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，再取m=5，先考慮（6，19），發(fā)現(xiàn)排不出來(lái)，再考慮（6，21），發(fā)現(xiàn)可以如下排列：

1，2，3，4；

5，9，13，17，21；

6，10，14，18，22；

7，11，15，19；

8，12，16，20.

可見(jiàn)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)該修改為：i前面的數(shù)多于4個(gè)時(shí)，可以先從小到大排成若干個(gè)都有4項(xiàng)的等差數(shù)列.到最接近i時(shí)，余下的數(shù)先排最小的一個(gè)，再確定適當(dāng)?shù)墓?，使j在這一行的第5個(gè)；下一行的第一個(gè)數(shù)為i（比上一行的第一個(gè)數(shù)小1），公差不變，也是5個(gè)；再下面的幾行（如果有的話）都只排4個(gè)，且依次由上一行的數(shù)減1得到，把i和j之間的整數(shù)排完為止，根據(jù)公差與i和j所在的位置，計(jì)算出了需要排的行數(shù)為j在奇數(shù)中的排位數(shù)減去i在偶數(shù)中的排位數(shù)之差，但這個(gè)差不能是3；后面的數(shù)從小到大依次排列即可.發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律以后，就得到了解法1.

策略4：遞推思想.

由于有了前面的發(fā)現(xiàn)，所以想到了遞推的方法，這種方法在解數(shù)列題中有很好的效果，它實(shí)際上是把一個(gè)大問(wèn)題分割成了若干小問(wèn)題，然后各個(gè)擊破，這樣就極大地減小了難度.本題中，考慮到m取較大值時(shí)的i，j包含了m取較小值時(shí)的i，j，所以只要弄清楚m+1相應(yīng)的i，j個(gè)數(shù)比m相應(yīng)的i，j個(gè)數(shù)增加的數(shù)量即可.而增加的i，j中i和j至少有一個(gè)取自增加的4個(gè)數(shù).注意到j(luò)=4m+6時(shí)，只要取i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），則余下的4m+4個(gè)數(shù)只需要從小到大依次排列，即成m+1個(gè)都有四項(xiàng)的等差數(shù)列，這樣的i，j有m+2個(gè).但這個(gè)數(shù)量是不夠的，怎么找新的i，j成了難題.

策略5：前問(wèn)挖潛.

注意到第2小問(wèn)的結(jié)論中提供的信息：當(dāng)m=3時(shí)，數(shù)列1，2，3，…，13，14是2，13－可分?jǐn)?shù)列，這個(gè)結(jié)論僅僅就是提供一個(gè)特例嗎？恐怕不止于此.在高考題中，前面問(wèn)題中的結(jié)論對(duì)后面問(wèn)題的解法有很大幫助的情況并不少見(jiàn)，其目的是考查學(xué)生根據(jù)一絲有用的信息發(fā)現(xiàn)更重要的結(jié)論的能力，這是一種對(duì)數(shù)學(xué)的直覺(jué)和敏感，這種能力強(qiáng)的人學(xué)習(xí)潛力很大.對(duì)于本題，經(jīng)過(guò)分析，很快有了發(fā)現(xiàn)，那就是13正是倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，結(jié)合前面已發(fā)現(xiàn)的6，13，已經(jīng)有一定的方向了.接著又發(fā)現(xiàn)m=4時(shí)有2，17，6，17，10，17.到這里，特例已經(jīng)夠多了，并且猜想對(duì)于m+1相應(yīng)的這類i，j有2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5，共m個(gè).接下來(lái)就是尋找數(shù)的排列規(guī)律.

策略6：逆向思維.

經(jīng)過(guò)對(duì)得到的特例分析，把i和j放在適當(dāng)?shù)奈恢煤?，發(fā)現(xiàn)總是在后兩行，這樣就要先確定前面的數(shù)怎么排，困難較大.于是逆向思維，想到等差數(shù)列倒過(guò)來(lái)排也是等差數(shù)列，而從大到小排的好處是i和j總在前兩排，這樣排起來(lái)就方便多了.于是，把m=4時(shí)的2，17，6，17，10，17這幾個(gè)特例排成了如下的形狀：

18，14，10，6，2;18，15，12，9，6;18，16，14，12，10;

17，13，9，5，1;17，14，11，8，5;17，15，13，11，9；

16，12，8，4；16，13，10，7；8，7，6，5；

15，11，7，3；4，3，2，1.4，3，2，1.

經(jīng)過(guò)觀察，很容易就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：前兩行都有5個(gè)數(shù)，后面每行都有4個(gè)數(shù)，i在第一行的最后一個(gè)，17在第二行的第一個(gè)，把i和j之間的數(shù)排完需要的行數(shù)剛好是每行的公差（由等差數(shù)列的特征知這個(gè)規(guī)律是必然的），這部分排完后余下的數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┮来闻偶纯?經(jīng)進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)每行的公差與這類i，j的排列2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5中i所在那組的序號(hào)有關(guān)，也就是m+1減去i那組的序號(hào)之差等于公差.接下來(lái)就按照這一規(guī)律把一般情況排列出來(lái)，發(fā)現(xiàn)完全正確，這樣就有了解法2.

上面用到的這些策略在解數(shù)學(xué)題中都很常見(jiàn)且非常重要，輕松自如地運(yùn)用這些策略將能極大地提高解決新問(wèn)題的能力，而高考中的創(chuàng)新題真正要考的也正是考生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維[2].從這方面來(lái)講，平時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重心應(yīng)該放在提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和訓(xùn)練思維能力上，而不是用在刷題上，這才是最根本的應(yīng)對(duì)策略.

參考文獻(xiàn)

[1]教育部教育考試院. 優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)突出思維能力考查：2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析[J].中國(guó)考試，2024（07）：79-85.

[2]張君.高三壓軸題講評(píng)，講好思維的“卡殼”處：以2020屆成都三診理科數(shù)學(xué)第20題解法探究為例[J].教學(xué)考試，2020（47）：50-53.

作者簡(jiǎn)介

張君（1978—），男，四川宣漢人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;發(fā)表論文30余篇，主持一項(xiàng)四川省教育科研重點(diǎn)課題.

李武學(xué)（1966—），男，四川沐川人，中學(xué)高級(jí)教師；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

陳婷婷（1987—），女，四川宜賓人，中學(xué)一級(jí)教師；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

基金項(xiàng)目

2023年度四川省教育科研項(xiàng)目重點(diǎn)課題“拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)視域下普通高中‘強(qiáng)基課程’建設(shè)研究”（SCJG23A051）.