一道調(diào)考填空題的探究與啟示

【摘要】從一道調(diào)考題出發(fā)，對知識背景進行溯源，幫助學(xué)生找到解題的切入點.在探究問題的過程中，感悟到高考備考需要站位有高度、內(nèi)容有廣度、過程有梯度、培養(yǎng)有深度的一些觀念，希望對廣大一線教師有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；馬爾科夫鏈；復(fù)習(xí)備考

1問題的發(fā)現(xiàn)與提出

武漢2024年2月調(diào)考高中數(shù)學(xué)填空的壓軸題如下：

“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖1所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束.已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為 .

作為填空壓軸題，難度不言而喻.學(xué)生們反映對此題完全“摸不著頭腦”，即不知道這道題要考查的意圖？破題的切入點在哪里？筆者通過研究高考題、調(diào)研題，以及對教材的挖掘，發(fā)現(xiàn)此題和最近幾年的高考題均與馬爾科夫鏈密切相關(guān)，故做了以下一些整理，希望對廣大一線教師的復(fù)習(xí)與備考有一些啟發(fā).

2問題的關(guān)聯(lián)與溯源

2.1馬爾科夫鏈的介紹

在計算機學(xué)習(xí)算法中，馬爾科夫鏈?zhǔn)莻€很重要的數(shù)學(xué)模型.因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機過程，且下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).用數(shù)學(xué)語言表達：隨機變量X1，X2，…，Xn為一個數(shù)列，這些變量的取值構(gòu)成的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，其中Xn的值表示在時間n的狀態(tài)，Xn+1對于過去狀態(tài)的條件概率分布僅是Xn的一個函數(shù)，即

P（Xn+1）=P（Xn+1|X1，X2，X3，…Xn）=P（Xn+1|Xn）.

這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科夫性質(zhì).

2.1.1賭徒輸光問題

高中生要理解馬爾科夫鏈，可以從著名的數(shù)學(xué)問題——賭徒輸光來展開.恰巧2023年杭州二模21題就是以賭徒輸光問題為背景，我們不妨先來看看此題：

馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P（Xt+1）=P（Xt+1|…，Xt-2，Xt-1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，A<B），賭博過程如數(shù)軸（圖2）所示.

當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時，最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題：

（1）請直接寫出P（0）與P（B）的數(shù)值.

（2）證明{P（n）}是一個等差數(shù)列，并寫出公差d.

（3）當(dāng)A=100時，分別計算B=200，B=1000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)B→∞時，P（A）的統(tǒng)計含義.

解析（1）我們先來考慮兩個極端情況：當(dāng)賭徒開始的本金為0元時，即一開始就輸光了，所以他輸光的概率P（0）=1；當(dāng)賭徒開始的本金為B元時，即一開始就已經(jīng)贏到目標(biāo)錢數(shù)的狀態(tài)，賭博結(jié)束，所以他輸光的概率P（B）=0.

（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元下一場贏的事件，則

P（M）=P（N）P（M|N）+P（N-）P（M|N-），

即P（n）=12P（n+1）+12P（n-1），所以P（n）-P（n-1）=P（n+1）-P（n），所以{P（n）}是一個等差數(shù)列.

設(shè)P（n）-P（n-1）=d，則P（n-1）-P（n-2）=d，…，P（1）-P（0）=d，累加得P（n）-P（0）=nd，故P（B）-P（0）=Bd，得d=-1B.

（3）由P（n）-P（0）=nd，得P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當(dāng)B=200，P（A）=50%；當(dāng)B=1000，P（A）=90%；當(dāng)B→∞，P（A）→1，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.

近幾年一部熱門電影《孤注一擲》中，張藝興飾演的程序員就用馬爾科夫鏈數(shù)學(xué)模型推演過賭徒必然輸光的問題，加上詐騙分子利用賭徒的翻本心理，誘導(dǎo)賭徒借高利貸繼續(xù)賭，結(jié)果只能是馬爾科夫鏈的疊加，借的越多輸?shù)迷綉K.

2.1.2一維隨機游走模型

賭徒問題又可以抽象為這樣的一個數(shù)學(xué)問題：

（1）簡化為點在數(shù)軸上移動；

（2）每次移動都有一定的概率；

（3）下一時刻的位置狀態(tài)只與上一次的位置狀態(tài)有關(guān)系，可寫出概率遞推公式；

（4）它最后會停下來，達到一個給定的最終狀態(tài).

這個數(shù)學(xué)問題其實就是一維的隨機游走模型，而且兩側(cè)有吸收壁.什么是一維隨機游走模型呢？該模型是指在一維空間中，即一條直線上，有一個可以任意移動的質(zhì)點，質(zhì)點位置只能位于整點處，它能以一定的概率向左或向右移動一個單位長度，每個單位時間移動一次.一維隨機游走模型可分為以下三類：

（1）無吸收壁的一維隨機游走.

無吸收壁的一維隨機游走就是上述一維隨機游走的原始定義，沒有邊界，永遠移動，我們會重點研究質(zhì)點處在某一位置的概率.假設(shè)時刻t=0時，點位于x=i（i∈N*）處，下一個時刻，它將以概率α向左移動一個單位，或以概率β向右移動一個單位，其中α∈（0，1），α+β=1.若記狀態(tài)Xt=i表示：在時刻t該點位于位置x=i（i∈N*），那么由全概率公式可得：

P（Xt+1=i）=P（Xt=i+1）·P（Xt+1=i|Xt=i+1）+P（Xt=i-1）·P（Xt+1=i|Xt=i-1），其中，P（Xt+1=i|Xt=i+1）=α，P（Xt+1=i|Xt=i-1）=β，代入上式可得：P（Xt+1=i）=α·P（Xt=i+1）+β·P（Xt=i-1），若再用Pi表示點在i處的概率，則有

Pi=α·Pi+1+β·Pi-1.①

一維隨機游走模型是馬爾科夫鏈的一個特例，無吸收壁的一維隨機游走可得概率遞推公式①，重點關(guān)注的是質(zhì)點在某一位置的概率.

（2）雙側(cè)吸收壁的一維隨機游走.

一維隨機游走的基礎(chǔ)上，如果在位置x=0和x=m處均添加吸收壁，當(dāng)質(zhì)點運動到吸收壁位置時會被吸收停止運動，就是上文介紹的賭徒必輸問題（m的值對應(yīng)目標(biāo)金額B的值）.有了吸收壁，一維空間變得不夠自由，原來的無吸收壁的遞推公式也不成立了.我們此時研究質(zhì)點位置概率的意義并不大，轉(zhuǎn)而會對點從x=i處不停隨機運動最后被吸收壁吸收的概率感興趣.

假設(shè)初始位置x=i，0<i≤m（i，m∈N），記質(zhì)點從x=i到吸收壁x=m的概率為Pi，質(zhì)點將以概率α或β（α∈（0，1），α+β=1）向左或向右移動一個單位.由全概率公式

P（從i到m）=P（向左一步）·P（從i到m|向左一步）+P（向右一步）·P（從i到m|向右一步）代入數(shù)據(jù)，得遞推關(guān)系

Pi=α·Pi-1+β·Pi+1.②

以上遞推關(guān)系是質(zhì)點每次游走只有向左或向右兩種可能的情況，如果質(zhì)點在每一次游走的可能有如下三種情況：向左平移一個單位的概率為α，向右平移一個單位的概率為β，原地不動的概率為γ，同理可得這樣一個遞推關(guān)系

Pi=α·Pi-1+γ·Pi+β·Pi+1.③

（3）單側(cè)吸收壁的一維隨機游走.

在一維隨機游走的基礎(chǔ)上，從位置x=0處、x=m處僅選擇一處添加吸收壁，就是數(shù)學(xué)中另一個有趣的酒鬼失足問題：一個醉鬼行走在一頭是懸崖（設(shè)懸崖處于x=0的位置）的道路上，他的初始位置為x=i，向左或向右走一步的概率都是0.5（畢竟喝醉了，隨機行動），問他失足掉入懸崖的概率是多少？現(xiàn)實中，醉漢不一定走直線，他的移動可以抽象為在二維空間（用xOy平面直角坐標(biāo)系研究）上隨機游走，那么酒鬼失足問題就是一個簡單的二維隨機游走問題了.醉漢問題最早于1905年7月由Karl Pearson在《自然》雜志上提出：假如有個醉漢醉得十分嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？大家感興趣的話可以查閱相關(guān)資料研究.

2.2教材中的馬爾科夫鏈

高中數(shù)學(xué)教材2020年人教A版選擇性必修第三冊91頁第10題：甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率［1］ .

分析n次傳球后球在甲的手中，只跟上一次球在不在甲的手中有關(guān)，與前面n-2次球在誰的手中無關(guān)，屬于馬爾科夫鏈問題.

解析記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后，球在甲的手中”，設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn（n=1，2，3，…，n），則有p1=0，An=An-1·An+An-1·An，所以pn+1=P（An·An+1+An·An+1）=P（An·An+1）+P（An·An+1）

=P（An）·P（An+1|An）+P（An）·P（An+1|An）=（1-pn）·12+pn·0=12（1-pn），

即pn+1=-12pn+12，n=1，2，3，…，所以pn+1-13=-12（pn-13），且p1-13=-13

所以數(shù)列pn-13表示以-13為首項，-12為公比的等比數(shù)列，

所以pn-13=-13×（-12）n-1，所以pn=-13×（-12）n-1+13=13［1-（-1）n·12n-1］，

即n次傳球后球在甲手中的概率是13［1-（-1）n·12n-1］.

另外，2007年8月第一版的人教A版教材選修4-9“風(fēng)險與決策”中的第四講是馬爾科夫型決策簡介，大家也可以進行查閱與學(xué)習(xí).

2.3高考真題、調(diào)考題中的馬爾科夫鏈

2019年全國Ⅰ卷21題的藥物試驗問題、2020年全國Ⅰ卷19題羽毛球比賽問題、2023年新高考Ⅰ卷21題的投籃問題、2023年杭州二模21題的賭徒輸光問題、2023年茂名二模的摸球問題等都是馬爾科夫鏈.為何這一類題越來越多的出現(xiàn)了呢？因為新教材引入了全概率公式，而一維馬爾科夫鏈模型可以簡單的概括為“全概率公式+數(shù)列遞推”問題，并且它是人工智能學(xué)習(xí)的一種非常重要的算法，所以不難理解這一類問題會經(jīng)常出現(xiàn)在高考真題與熱門調(diào)考題中了.

3問題的探究與解析

3.1探究

經(jīng)過對問題的關(guān)聯(lián)與溯源，我們發(fā)現(xiàn)只要一個隨機過程具有下一狀態(tài)的概率分布只能由上一狀態(tài)決定的“無記憶”的性質(zhì)，它就可以轉(zhuǎn)化為一個馬爾科夫鏈問題，我們就可以利用全概率公式找到狀態(tài)之間的遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列知識，進一步可以得到隨機過程中有關(guān)概率的通項公式，從而解決問題.

3.2解析

視角1粒子下一次的位置在幾號倉只與上一次小顆粒的位置在幾號倉有關(guān)，屬于馬爾科夫鏈問題，故可先考慮粒子運動到1號倉的可能性，再考慮它從1號倉出去的可能性.

解析1設(shè)粒子運動n次后在第1號倉、第2號倉、第3號倉的概率分別為an，bn，cn，n∈N，則有an=13bn-1，bn=13an-1+12cn-1cn=13bn-1，，可推出an+1=518an-1，n≥3.

又a0=1，a1=0，a2=19，得∑+∞i=0ai=1+0+19+0+19×518+…=1+191-518=1513，

所以從1號倉到達容器外的概率為23×1513=1013.

視角2粒子從幾號倉出去被捕獲，相當(dāng)于有吸收壁的問題，故可關(guān)注粒子出發(fā)的位置到最后被特定出口捕獲的概率.

解析2設(shè)粒子從i號倉出發(fā)最終從1號口出去的概率為Pi，則有P1=23+13P2，

P2=13P1+0+13P3P3=12P2，，解得P1=1013.

視角3從粒子總量的角度出發(fā)，比較直觀.（學(xué)生的一種解答）

解析3假設(shè)1號倉中開始有總量為1的粒子群進入，并設(shè)從1號倉三個通道口出去的粒子數(shù)均為x，從2號倉三個通道口出去的粒子數(shù)均為y，從3號倉三個通道口出去的粒子數(shù)均為z，當(dāng)試驗結(jié)束時，有1-3x+y=0，x+z-3y=0，y-2z=0，解得x=513，y=213，z=113.

所以從1號倉出去的粒子為513×2=1013.

4由問題探究到備考的啟示

4.1備考站位要有高度

黨的二十大報告中強調(diào)，要“全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才”.拔尖創(chuàng)新人才是新知識的創(chuàng)造者、新領(lǐng)域的開拓者、新技術(shù)的發(fā)明者，這就不難理解為什么現(xiàn)在的高考真題、調(diào)考題經(jīng)常出現(xiàn)一些“出乎意料”又在“情理之中”的創(chuàng)新題.新定義、高等數(shù)學(xué)背景等包裝的創(chuàng)新題，只是外表多了一個千奇百怪的容器，容器內(nèi)裝的東西才是值得探索的內(nèi)核.這個內(nèi)核是什么呢？是“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，確切地說是可以適應(yīng)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng).教師要明確無論是高中課本知識還是拓展的知識，只是命題的載體，高考考查的核心是運用知識解決問題的能力，其背后體現(xiàn)出的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的高低.

4.2內(nèi)容選擇要有廣度

2019年全國Ⅰ卷21題的藥物試驗題、2022年新高考Ⅰ卷20題的疾病與衛(wèi)生習(xí)慣問題、2022年北京鉛球比賽、2020年全國Ⅰ卷19題羽毛球比賽問題，以及本文研究的問題都是物理“布朗運動”與數(shù)學(xué)概率的交叉問題.種種跡象表明國家選拔的人才是學(xué)科交叉型人才、復(fù)合型人才，所以高考試題注重考查學(xué)生運用知識解決問題的能力.本文從馬爾科夫鏈的概念介紹到聞名有趣的數(shù)學(xué)問題探究，再到抽象本質(zhì)的數(shù)學(xué)研究，利于學(xué)生多角度的體驗、思考同一類問題，總結(jié)出解題的規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.教師可以通過文獻閱讀、研究調(diào)考題等方式大量輸入，那么在教學(xué)資源選擇的時候，就可以從容地找到與生活實際相關(guān)、與其他學(xué)科融合的情境，并對數(shù)學(xué)知識進行廣泛聯(lián)系與拓展，幫助學(xué)生全方位、多角度地學(xué)習(xí)與理解.最終達到學(xué)生在考試中不怕“生題”，敢于嘗試的教學(xué)效果.

4.3教學(xué)過程要有梯度

能力的培養(yǎng)從來不是一蹴而就的.拿游泳為例，無論是學(xué)習(xí)哪種泳姿（蛙泳或自由泳），教學(xué)第一步都是讓學(xué)員學(xué)會在水中放松身體，擁有漂浮在水面上的能力；第二步是分解練習(xí)，教學(xué)員分別訓(xùn)練手部動作、腳步動作、換氣動作等；下一步讓學(xué)員練習(xí)腿部加換氣的配合；最后一步才是加上手部動作的完整配合練習(xí).本文對問題的探究注重難點分解，從易于理解的馬爾科夫鏈概念引入，到有趣的“賭徒問題”探究，再抽象為一維隨機游走模型的研究（有無吸收壁問題的討論），以及推廣到二維隨機游走的模型，由具體到抽象，理解上由易到難，從而使得問題的解析水到渠成.一道難題的教學(xué)需要如此，一類難題的教學(xué)更應(yīng)如此.對于學(xué)生理解、掌握有困難的一些知識，或者思維量大、綜合性強的一類題目，教師應(yīng)該深入探索，在高中三年的教學(xué)過程中分散難點，有計劃、分階段滲透教學(xué)，循序漸進，才能達到培養(yǎng)思維的目的，取得良好的教學(xué)效果.

4.4思維培養(yǎng)要有深度

本文的填空題，學(xué)生為什么感覺“難入手”，原因在于平常沒有將這一類題研究“透”.如果教師以課本傳球習(xí)題為源，按照上文的梯度順序，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些問題都是具有下一狀態(tài)的概率只由上一狀態(tài)決定的隨機過程，抽象成一維隨機游走的模型，提煉出“無記憶”的馬爾科夫性質(zhì)，相信深入的探究與挖掘后，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落地的同時，學(xué)生們對此道調(diào)考題自然而然能從視角1或視角2展開思考.

筆者因此受到啟發(fā)：平常教學(xué)中要以知識為元，思考為軸突，建立舊知與新知的聯(lián)系，像神經(jīng)元傳輸信息一樣建立起知識網(wǎng)絡(luò)；總結(jié)通性通法，探尋基本解題規(guī)律，幫助學(xué)生掌握解題的一般套路，形成一定的解題邏輯.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，形成的解題套路、思考方向就是數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)的體現(xiàn).目前命題的方向是反機械刷題，反套路，其實就是命題者通過一些知識背景使解題的規(guī)律隱性化.而考生作為解題者，與命題者的思考恰好是一個相反的過程，所以我們要在平常的教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生將隱性的解題規(guī)律顯性化的能力，從而達到化繁為簡，化陌生為熟悉的效果.

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修A版：第三冊[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介

楊宇（1990—），男，江西東鄉(xiāng)人，碩士，中教一級；曾榮獲市級優(yōu)秀援藏教師、區(qū)先進班集體、區(qū)百優(yōu)班主任、區(qū)優(yōu)秀青年教師等稱號；曾取得“一師一優(yōu)課，一課一名師”省級優(yōu)課、全國中小學(xué)信息技術(shù)創(chuàng)新與實踐活動教學(xué)優(yōu)質(zhì)成果獎；主要研究高中教學(xué)與考試方向；發(fā)表論文5篇.