例談空間幾何體的“降維”方法

【摘要】空間幾何體是高中數(shù)學(xué)立體幾何板塊的重要研究對(duì)象，是空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的主要載體．空間幾何體的“降維”分析，即將空間立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，是研究立體幾何的一般方法，亦可培養(yǎng)學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化能力和直觀想象素養(yǎng)．

【關(guān)鍵詞】空間幾何體;“降維”分析;化歸轉(zhuǎn)化;直觀想象

高中數(shù)學(xué)的立體幾何問(wèn)題，尤其是與幾何體有關(guān)的問(wèn)題，常常需要轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行分析，本文稱之為“降維”．幾何體中常見(jiàn)的夾角問(wèn)題、截面形狀問(wèn)題、距離問(wèn)題、位置關(guān)系問(wèn)題以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，大都可以通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)化得以簡(jiǎn)化．本文主要提出三種“降維”分析的角度，以供讀者參考、討論、補(bǔ)充．

1“降維”方式1：展開(kāi)

例1長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到C1點(diǎn)，求小蟲(chóng)經(jīng)過(guò)的最短距離．

分析求最短路徑問(wèn)題，一般方法是將幾何體的表面展開(kāi)，進(jìn)而分析平面上兩點(diǎn)的最近距離，然后再還原為幾何體．本題中，將長(zhǎng)方體兩頂點(diǎn)A和C1置于同一平面的展開(kāi)方式有如上三種．如圖1-1、圖1-2和圖1-3：

在上面三個(gè)展開(kāi)圖中，連結(jié)AC1即為最短路徑，分別計(jì)算得到：

圖1-1中，AC1=（2+3）2+52=50=52；

圖1-2中，AC1=（2+5）2+32=58；

圖1-3中，AC1=（5+3）2+22=68；因此，本題小蟲(chóng)經(jīng)過(guò)的最短距離為52．

例2在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，點(diǎn)M為AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P，Q可以重合），求MP+PQ的最小值.

圖2分析本題所求為空間中兩條折線段的長(zhǎng)度之和，也是一種距離問(wèn)題，考慮將兩條直線所在的平面展平為同一平面從而實(shí)現(xiàn)“降維”．圖2中，由于點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，因此指定一點(diǎn)P，則PQ最小時(shí)點(diǎn)Q應(yīng)為P在底面ABCD上的投影，即有PQ⊥平面ABCD，故點(diǎn)Q在截面ACC1A1上，即Q在AC上．考慮將平面AB1C1和平面ACC1展為同一平面，如圖2-1，在這一平面上求兩條折線段距離，易得最小位置應(yīng)為圖2-2所示，即點(diǎn)M，P，Q共線且有MP⊥AC．結(jié)合題目已知條件，△AB1C1≌△ACC1且易得∠C1AC=∠B1AC1=30°，且有AM=12AB1=32，故所求最小值為MQ=AM·sin 60°=34．

展開(kāi)圖是將空間幾何問(wèn)題平面化最為直接的方法之一，通過(guò)這樣的方式，我們可以將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，借助平面幾何有關(guān)定理即可得解．

2“降維”方式2：截面

圖3例3如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為23，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD1上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于BD1的平面α，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)BP=x，則當(dāng)x∈［1，5］時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域．

分析本題涉及到正方體中垂直體對(duì)角線的截面問(wèn)題．圖3中所示三角形應(yīng)為平行于平面AB1C的等邊三角形，因此隨著x增大，三角形周長(zhǎng)也在不斷增大，直至△AB1C處．x繼續(xù)增大，截面開(kāi)始出現(xiàn)六邊形，如圖3-1，此時(shí)六邊形的六條邊可以看成三對(duì)，每一對(duì)即為圖中的MN和NQ.實(shí)際上，MN+NQ的值始終等于AB1，可參考圖3-2理解，也就是說(shuō)，截面雖然變?yōu)榱呅?，其周長(zhǎng)并沒(méi)有改變，直至截面再次轉(zhuǎn)為△A1DC1，而后周長(zhǎng)逐漸變?。虼瞬浑y得出，當(dāng)x∈［1，5］時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋?6，66］．

例4正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P，Q，R分別是棱A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，以△PQR為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，求這個(gè)正三棱柱的高.

圖4分析例題3的設(shè)問(wèn)直接指向了幾何體的截面問(wèn)題，我們只需要對(duì)截面的特征熟練掌握即可，而本題的問(wèn)題需要我們轉(zhuǎn)化為截面問(wèn)題．如圖4，根據(jù)前面的分析，我們很容易判斷出平面PQR平行于平面AB1D1，因此三棱柱另一底面必然也與平面AB1D1平行．此外，在正方體中，還有A1C⊥平面AB1D1，因此正三棱柱的三條側(cè)棱都與A1C平行，取其中一條研究，不難將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：過(guò)圖4中的P點(diǎn)，求作直線A1C的平行線，故問(wèn)題只需要在點(diǎn)P和直線A1C所在的平面上研究.進(jìn)一步地，在△A1AC中，取AC中點(diǎn)T，則必有PT∥A1C，因此正三棱柱的高即為PT=12A1C=32．

在例題3和例題4中，分別用到了幾何體的截面圖，相對(duì)于展開(kāi)圖，截面圖更多的用于定性分析之后的“降維”操作，也就是說(shuō)，我們已經(jīng)對(duì)題中的線線關(guān)系或線面關(guān)系有了具體的認(rèn)識(shí)，而后根據(jù)其所在的截面進(jìn)行進(jìn)一步分析．

實(shí)際上，幾何體的截面問(wèn)題是非常好的空間想象能力訓(xùn)練的素材，以正方體為例，其特殊截面如圖4-1所示，可以根據(jù)具體問(wèn)題再行補(bǔ)充．

3“降維”方式3：投影

新教材[1]中弱化了對(duì)幾何體三視圖的要求，但在很多情境中，將幾何體或某條直線投影到特定平面之后分析仍然會(huì)對(duì)計(jì)算有所簡(jiǎn)化．

例5如圖5，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，求點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值．

分析本題涉及異面直線間的距離，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)通過(guò)空間向量解題，但此法運(yùn)算起來(lái)較為復(fù)雜，因此可以考慮將問(wèn)題進(jìn)行“降維”分析，點(diǎn)P到直線CC1的距離，可以考慮將點(diǎn)P沿CC1的方向投影到底面A1B1C1D1上，即圖5-1中，取B1C1中點(diǎn)E1，連結(jié)EE1，P在D1E1上的投影為P1，因此本題轉(zhuǎn)化為求P1到直線CC1的距離最小值，即P1C1的最小值，很明顯，過(guò)C1做D1E1的垂線，垂足即為所求位置，答案為255．

例6如圖6所示的一塊長(zhǎng)方體木料中圖6，已知AB=BC=4，AA1=1，設(shè)E為底面ABCD的中心，且AF=λAD，（0≤λ≤12），求該長(zhǎng)方體中經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，E，F(xiàn)的截面面積的最小值．

分析由題意，點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動(dòng)，將經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，E，F(xiàn)的截面補(bǔ)全如圖6-1所示，其面積即為△A1EF面積的四倍，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求△A1EF的面積．易得A1E=3，故只需計(jì)算點(diǎn)F到A1E的距離的最小值，因此需要構(gòu)造一個(gè)過(guò)直線A1E的平面，使之與直線AD平行，即圖6-1中的平面A1D1MN．求點(diǎn)F到平面A1D1MN投影的距離，即求點(diǎn)A到平面A1D1MN的距離，即點(diǎn)A到A1N的距離，如圖6-2中，過(guò)點(diǎn)A做A1N的垂線，交A1N于P，線段AP=255即為F到平面A1D1MN的距離，也是F到A1E的距離的最小值，因此所求截面面積的最小值為1255．

這里所提到的投影，實(shí)際上是通過(guò)對(duì)題意的轉(zhuǎn)化，將題中所求的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其他特殊點(diǎn)到投影面的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．在涉及其他空間位置關(guān)系時(shí)，也可以通過(guò)將幾何體投影到指定平面進(jìn)行分析，例如研究異面直線夾角問(wèn)題，運(yùn)用三垂線定理解決線面關(guān)系等等，這些問(wèn)題都比較熟悉，此處不再展開(kāi)．

以上的三種“降維”方法是分析空間幾何體中位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的常用方法，“立體問(wèn)題平面化”是我們分析復(fù)雜幾何體問(wèn)題的首要思考方向，通過(guò)展開(kāi)圖、截面圖和適當(dāng)?shù)耐队翱梢詫?wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化或簡(jiǎn)化；“平面問(wèn)題三角化”實(shí)際上是轉(zhuǎn)化后的繼續(xù)分析，例如平面幾何中的正、余弦定理，平面向量甚至是解析幾何，都可以恰當(dāng)?shù)娜谌肫渲?，這在本文中的幾道例題中均有充分的體現(xiàn)．

當(dāng)然，解決立體幾何問(wèn)題的方法還有很多，例如平移、延展、截割、補(bǔ)形、構(gòu)造輔助幾何體以及運(yùn)用空間向量等等，無(wú)論是哪種方法，其根本抓手都是空間幾何體的基本性質(zhì)以及空間點(diǎn)線面的基本結(jié)論，只有熟知這些基本內(nèi)容，掌握研究立體幾何的基本方法，才能不斷生發(fā)出新的解決問(wèn)題思路，從而恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，進(jìn)而不斷運(yùn)用平面幾何中的素材強(qiáng)化空間幾何問(wèn)題的直觀想象素養(yǎng)[2]．

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)：B版[M]. 北京： 人民教育出版社，2020.

[2]章建躍. 樹(shù)立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（05）：1-4.

作者簡(jiǎn)介

崔鵬（1984—），男，北京人，中學(xué)高級(jí)教師、年級(jí)組長(zhǎng)、北京數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員、北京市骨干教師、海淀區(qū)學(xué)科帶頭人；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué)、教材教法分析以及數(shù)學(xué)學(xué)科德育理論研究與課堂實(shí)踐.

基金項(xiàng)目

北京市海淀區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)情境建構(gòu)與應(yīng)用”（HDGH20230373）.