基于GGB對(duì)極點(diǎn)極線背景下圓錐曲線問題的探究與推廣

【摘要】極點(diǎn)極線背景下的圓錐曲線問題是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，GGB是一款能夠同時(shí)處理幾何與代數(shù)問題的功能強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件.對(duì)近五年來(lái)極點(diǎn)極線背景下的圓錐曲線高考題進(jìn)行梳理，并借助GGB軟件對(duì)極點(diǎn)極線背景下的定點(diǎn)問題、定直線問題、平行垂直問題和傾斜角與斜率問題進(jìn)行了探究與推廣.

【關(guān)鍵詞】極點(diǎn)極線；圓錐曲線；GGB；信息技術(shù)

1引言

GeoGebra軟件（以下簡(jiǎn)稱GGB）是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計(jì)的一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，只需點(diǎn)擊或者輸入命令就可以實(shí)現(xiàn)畫圖、作切線極線等功能，給解析幾何的研究帶來(lái)了極大的便利.

極點(diǎn)極線背景下的圓錐曲線問題一直是高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)，選取近年來(lái)極點(diǎn)極線背景下的高考圓錐曲線大題，分析其背景，并借助GGB對(duì)其進(jìn)行探究與推廣，以期為教學(xué)、命題、解題帶來(lái)一定的參考與啟示.

2極點(diǎn)極線的相關(guān)概念

2.1極點(diǎn)極線的定義

代數(shù)定義：二次曲線C：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0），點(diǎn)P（x0，y0）與直線Ax0x+By0y+Cx0y+y0x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0是二次曲線C的一對(duì)極點(diǎn)與極線.

幾何定義：以橢圓為例如圖1，點(diǎn)P不在圓錐曲線上，過點(diǎn)P作圓錐曲線的兩條割線，分別交曲線于A，B，C，D四點(diǎn)，弦AC與BD的交點(diǎn)為M，直線AD與BC的交點(diǎn)為N，則直線MN為點(diǎn)P的極線，直線PN為點(diǎn)M的極線，直線PM為點(diǎn)N的極線.△PMN稱為自極三角形，其中每一頂點(diǎn)與其對(duì)邊所在的直線為一組極點(diǎn)極線[1].

2.2調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束

調(diào)和點(diǎn)列：對(duì)于線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D，若滿足CACB=DADB，則稱點(diǎn)列A，C，B，D是調(diào)和點(diǎn)列，點(diǎn)列D，B，C，A也是調(diào)和點(diǎn)列.以橢圓為例，如圖2，過點(diǎn)Q作直線與圓錐曲線交于A，B兩點(diǎn)，與點(diǎn)Q的極線交于點(diǎn)P，則A，Q，B，P是調(diào)和點(diǎn)列.

調(diào)和線束：如圖3，若A，C，B，D是調(diào)和點(diǎn)列，O為直線外任意一點(diǎn)，則直線OA，OC，OB，OD為調(diào)和線束.另一直線截調(diào)和線束，則截得的四點(diǎn)A′，C′，B′，D′仍成調(diào)和點(diǎn)列.

直線OA，OC，OB，OD的斜率分別記為k1，k2，k3，k4，則滿足2（k1k3+k2k4）=（k1+k3）（k2+k4）.特別地，當(dāng)調(diào)和線束四條直線中有一條直線如OD的斜率不存在時(shí)，調(diào)和線束的斜率滿足k1+k3=2k2；當(dāng)有一條直線的斜率為0，如k4=0時(shí)，調(diào)和線束的斜率滿足1k1+1k3=2k2（調(diào)和線束斜率的等差模型）.

3題目探究與推廣

統(tǒng)計(jì)了2020年到2024年近五年來(lái)全國(guó)卷關(guān)于極點(diǎn)極線問題的考查情況如表1，可以發(fā)現(xiàn)極點(diǎn)極線為背景的圓錐曲線問題是高考數(shù)學(xué)不折不扣的熱點(diǎn)問題，借助GGB對(duì)其常見的四種考查形式進(jìn)行探究與推廣.

3.1定點(diǎn)問題

例1（2020年全國(guó)Ⅰ卷理/文·20/21）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；

（2）求證：直線CD過定點(diǎn).

極點(diǎn)極線背景分析：易得橢圓的方程為x29+y2=1，如圖4，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)M，CB與AD交于點(diǎn)Q，則△PQM為自極三角形，點(diǎn)M和直線PQ是一對(duì)極點(diǎn)極線.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，0），則直線PQ為x=9xM，又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=6上，所以9xM=6，解得xM=32，所以直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

探究1已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)， P為直線x=m（m>a）上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D，直線CD過定點(diǎn)（a2m，0）（直線過定點(diǎn)與圓錐曲線的形狀無(wú)關(guān)）.

如圖5，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，m，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，a］，［a，10］，繪制橢圓E：x2a2+y2b2=1；設(shè)置點(diǎn)P（m，0），PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D；對(duì)直線CD開啟跟蹤，改變P點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)直線CD隨著P點(diǎn)的變化而變化，但是CD始終過定點(diǎn)；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b，m的值重復(fù)操作，發(fā)現(xiàn)直線CD仍然始終過定點(diǎn)，說明該性質(zhì)與圓錐曲線的形狀無(wú)關(guān).

探究2 已知A，B分別為雙曲線E：x2a2－y2b2=1的左、右頂點(diǎn)， P為直線x=m（0<m<a）上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D，直線CD過定點(diǎn)（a2m，0）（以雙曲線為例，直線過定點(diǎn)與圓錐曲線的類型無(wú)關(guān)）.

如圖6，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，m，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，5］，［0，a］，繪制雙曲線C：x2a2－y2b2=1；設(shè)置點(diǎn)P（m，0），PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D，對(duì)直線CD開啟跟蹤，改變P點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)直線CD隨著P點(diǎn)的變化而變化，但是CD始終過定點(diǎn)；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b，m的值重復(fù)操作，發(fā)現(xiàn)直線CD仍然始終過定點(diǎn)，說明該性質(zhì)與圓錐曲線的類型無(wú)關(guān).

探究3 已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)， 過點(diǎn)（m，0）（0<|m|<a）的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)P過定直線x=a2m（互換條件與結(jié)論問題變?yōu)槎ㄖ本€問題）.

如圖7，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，m，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，a］，［－a，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；設(shè)置M（m，0），過點(diǎn)M的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)P；對(duì)點(diǎn)P開啟跟蹤，改變C點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)隨著直線CD的變化而變化，但是P點(diǎn)始終在一條定直線上；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b，m的值重復(fù)操作，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)仍然始終在一條定直線上，說明互換本題的條件與結(jié)論仍然成立.

3.2定線問題

將例1中圓錐曲線的類型改為雙曲線，互換條件與結(jié)論將題目改為定直線問題，就可以得到2023年新課標(biāo)Ⅱ卷圓錐曲線大題，該題和2020年全國(guó)Ⅰ卷圓錐曲線大題同出一源，背景相同，其探究推廣略.

例2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷·21）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過點(diǎn)B（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上.

極點(diǎn)極線背景分析：易得雙曲線的方程為x24－y216=1，如圖8，設(shè)MN與A1A2交于點(diǎn)B，設(shè)MA2與NA1交于點(diǎn)Q，則△PQB為自極三角形，直線PQ與點(diǎn)B互成一對(duì)極點(diǎn)極線，則點(diǎn)P在點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極線x=－1上.

3.3平行垂直關(guān)系

例3（2024年全國(guó)甲卷理/文·20/21）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)P（4，0）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，證明AQ⊥y軸.

極點(diǎn)極線背景分析：易得橢圓的方程為x24+y23=1.如圖9，PA∩FM=D，點(diǎn)D在P的極線上，則A，D，B，P為調(diào)和點(diǎn)列，以Q為束心，QA，QD，QB，QP為調(diào)和線束.QD的斜率不存在，則kQA+kQP=2kQN，又N為PF的中點(diǎn)，可得kQB=kQN=2kQP，所以kQA=0，即AQ⊥y軸.

探究4設(shè)C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，c=a2－b2，點(diǎn)M（c，b2a）在C上，過點(diǎn)P（a2c，0）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，則AQ⊥y軸（AQ⊥y軸與圓錐曲線的形狀無(wú)關(guān)）.

如圖10，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；令c=a2－b2，設(shè)置F（c，0），M（c，b2a），P（a2c，0），N為線段FP的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，連接線段AQ；對(duì)直線AQ開啟跟蹤，改變A點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)直線AB、點(diǎn)Q隨著A點(diǎn)的變化而變化，但是直線AQ始終垂直于y軸；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b的值重復(fù)上面操作，發(fā)現(xiàn)直線AQ仍然垂直于y軸，說明該性質(zhì)與圓錐曲線的形狀無(wú)關(guān).

探究5設(shè)C：x2a2－y2b2=1（a，b>0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（c，b2a）在C上，過點(diǎn)P（a2c，0）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，則AQ⊥y軸（以雙曲線為例，探究AQ⊥y軸與圓錐曲線的類型無(wú)關(guān)）.

如圖11，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，5］，繪制雙曲線C：x2a2－y2b2=1；設(shè)置F（c，0），M（c，b2a），P（a2c，0），N為線段FP的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，連接線段AQ；對(duì)直線AQ開啟跟蹤，改變A點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)直線AB、點(diǎn)Q隨著A點(diǎn)的變化而變化，但是直線AQ始終垂直于y軸；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b的值重復(fù)上面操作，發(fā)現(xiàn)直線AQ仍然垂直于y軸，說明該性質(zhì)與圓錐曲線的類型無(wú)關(guān).

探究6設(shè)C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（c，b2a）在C上.A為橢圓C上位于y軸左側(cè)的一點(diǎn)，且滿足直線AQ⊥y軸交MF于點(diǎn)Q（Q在橢圓內(nèi)），連接N（c+a2c2，0）與Q，線段NQ與C交于點(diǎn)B，證明：直線AB過定點(diǎn)（a2c，0）（互換條件與結(jié)論改為直線過定點(diǎn)問題）.[HJ1.3mm]

如圖12，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條a，b，區(qū)間范圍分別為［0，5］，［0，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；將A設(shè)置為為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N（c+a2c2，0），作直線AQ⊥y軸交MF于點(diǎn)Q，連接線段NQ與C交點(diǎn)B；對(duì)直線AB“開啟跟蹤”，調(diào)整點(diǎn)A的位置，可以發(fā)現(xiàn)直線AB隨著A點(diǎn)位置的變化而變化，但是直線AB恒過定點(diǎn)；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a，b的值，重復(fù)上面操作，發(fā)現(xiàn)直線AB仍然恒過定點(diǎn)，說明互換該題的條件與結(jié)論仍然成立.

3.4傾斜角與斜率問題

例4（2022年全國(guó)甲卷理/文·20/21）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β，當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

極點(diǎn)極線背景分析：易得拋物線的方程為y2=4x，如圖13，延長(zhǎng)BM和AN交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)MN和AB交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D的極線PQ：x=－2交x軸于點(diǎn)E，則△PQD為自極三角形，E，F(xiàn)，D，G為調(diào)和點(diǎn)列.

由DFDG=EFEG，得G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），|tanα|=EQEF，|tanβ|=EQEG=EQ2EF，則|tanα|=2|tanβ|，且tanα與tanβ同號(hào)，令k=tanβ，由題意知k>0，tan（α－β）=k1+2k2=11k+2k，當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即k=22時(shí)tan（α－β）最大，所以直線AB的方程為y－0=22（x－4），即x－2y－4=0.

探究7拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，直線AB過定點(diǎn)（2p，0）（定點(diǎn)問題）.

如圖14，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條p，區(qū)間范圍設(shè)為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；設(shè)置點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B；對(duì)直線AB“開啟跟蹤”，調(diào)整點(diǎn)M的位置，可以發(fā)現(xiàn)直線AB隨著點(diǎn)M位置的變化而變化，但是直線AB恒過定點(diǎn)；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變p的值，重復(fù)上面操作，直線AB仍然恒過定點(diǎn).

探究8拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，MN和AB的交點(diǎn)為P，AN和BM的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P，Q在定直線x=－p上（定直線問題）.

如圖15，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條p，區(qū)間范圍設(shè)為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；直線MN和AB的交點(diǎn)為P，AN和BM的交點(diǎn)為Q，對(duì)點(diǎn)P，Q“開啟跟蹤”，調(diào)整點(diǎn)M的位置，可以發(fā)現(xiàn)P，Q在定直線上；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變p的值重復(fù)上面操作，P，Q仍在定直線上.

探究9拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，過點(diǎn)A和B作拋物線的切線，兩條切線的交點(diǎn)在定直線x=－2p上（定直線問題）.

如圖16，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條p，區(qū)間范圍設(shè)為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；過點(diǎn)A和B作拋物線的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P；對(duì)點(diǎn)P“開啟跟蹤”，調(diào)整點(diǎn)M的位置，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在定直線上；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變p的值重復(fù)上面操作，P仍在定直線上.

探究10拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD，ND與C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)（圓過定點(diǎn)問題）.

如圖17，使用GGB作圖，設(shè)置數(shù)值滑動(dòng)條p，區(qū)間范圍設(shè)為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；以AB為直徑作圓，對(duì)圓“開啟跟蹤”，調(diào)整點(diǎn)M的位置，可以發(fā)現(xiàn)以AB為直徑的圓恒過原點(diǎn)；拖動(dòng)滑動(dòng)條改變p的值重復(fù)上面操作，以AB為直徑的圓仍然恒過原點(diǎn).

5結(jié)束語(yǔ)

高考?jí)狠S題并非無(wú)源之水，而是有根可尋，極點(diǎn)極線蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容，是考試考查的重點(diǎn)，是命題取之不盡的源泉.借助GGB軟件對(duì)復(fù)雜的幾何動(dòng)態(tài)問題進(jìn)行展示探究，使得圓錐曲線問題的探究更加動(dòng)態(tài)直觀形象，進(jìn)而窺探問題的背景，挖掘試題的本質(zhì)，自然可以居高臨下地認(rèn)識(shí)高考試題，游刃有余地駕馭課堂[2].

參考文獻(xiàn)

[1]王文彬.極點(diǎn)、極線與圓錐曲線試題的命制[J].數(shù)學(xué)通訊，2015（08）：62-66.

[2]張志勇.2016年高考四川卷解析幾何題的探源與推廣[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（18）：53-58.

作者簡(jiǎn)介

朱樹金（1997—），男，山東濱州人，高中二級(jí)教師；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

李怡泉（1995—），男，湖北宜昌人，中學(xué)數(shù)學(xué)教師；主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.