一道宏微結(jié)合題目多種解法的探討及教學(xué)啟示

摘 要：本文對一道宏觀與微觀相結(jié)合的題目進(jìn)行深入探討，分析了該題目的考查要點(diǎn)、解題思路，并提出了三種不同的解題方法。同時，本文比較了這些解法在模型建構(gòu)和思維路徑上的區(qū)別與聯(lián)系。最終，對宏微結(jié)合題目的特色和考查目標(biāo)給出了一些教學(xué)思考和建議。

關(guān)鍵詞：宏微結(jié)合；一題多解；模型建構(gòu)；教學(xué)啟示

1 引言

近幾年來，在北京普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試及之前高考的物理試題中，宏微結(jié)合的題目一直是考查的熱點(diǎn)。^{［1］［2］}例如，2013年北京卷第24題考查的“利用粒子簡化模型推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)表達(dá)式”、2016年北京卷第24題探討的“光鑷效應(yīng)”、2020年北京卷第19題涉及的“無限長直導(dǎo)線電子束發(fā)射”問題等，均屬于宏微結(jié)合的典型實(shí)例。這類題目不僅檢驗(yàn)了學(xué)生對相關(guān)物理概念、規(guī)律的理解和掌握程度，還著重考查了學(xué)生的模型建構(gòu)能力。^［3］它們均涉及物理觀念及科學(xué)思維等多方面的核心素養(yǎng)，具有較高的綜合性，對學(xué)生能力是極大的挑戰(zhàn)，并在試卷中具有較強(qiáng)的區(qū)分作用。此類題目往往存在多個解題途徑，因此，在日常教學(xué)中，若教師能夠引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，不僅有利于學(xué)生深刻理解題目中的物理情景，還能有效地促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展。

2 試題賞析

2.1 試題展現(xiàn)

如圖1所示，密封在真空中的兩塊等大、正對的金屬板M、N豎直平行放置，間距為d，將金屬板M、N與電源相連，兩板間的電壓大小恒為U。MN可看作平行板電容器，忽略邊緣效應(yīng)。用一束單色平行光照射金屬板M使其恰好發(fā)生光電效應(yīng)。金屬板M的面積為S，逸出功為W，普朗克常量為h。

已知單色平行光均勻照射到整個金屬板M上，照射到金屬板M上的功率為P，能引起光電效應(yīng)的概率為η，光電子從金屬板M逸出（不計初速度），經(jīng)過兩板間電場加速后打到金屬板N上形成穩(wěn)定的光電流，電子打到板N上可視為完全非彈性碰撞。電子的質(zhì)量為m，電荷量大小為e。忽略光電子之間的相互作用。求：

（1）該單色光的頻率ν；

（2）穩(wěn)定時光電流的大小I；

（3）電子對N板的撞擊力的大小F；

（4）兩金屬板間電子的分布規(guī)律。

2.2 試題解析

本題以光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)為背景，一方面考查了光電效應(yīng)的規(guī)律、電流的定義、動量定理、動能定理等物理知識，另一方面考查了帶電粒子在電場中的加速、恒定電流、完全非彈性碰撞等物理模型。本題的宏微結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下三個方面：宏觀上是大量光電子在靜電力作用下定向運(yùn)動形成穩(wěn)定電流，微觀上是從金屬板逸出的光電子在靜電力作用下做勻加速運(yùn)動；宏觀上是大量電子與N板碰撞后形成的撞擊力，微觀上是每個電子與N板發(fā)生完全非彈性碰撞的相互作用力；宏觀上是M、N兩板之間始終不變的電子總量，微觀上是電子數(shù)密度隨著電子速度的增大在空間上不斷減小的分布規(guī)律。

前三小問具體解答如下。

第（1）問，由hν＝W，①

可得ν＝Wh。②

第（2）問，單位時間內(nèi)逸出的光電子數(shù)

N₀＝ηPW，③

則電流

I＝N₀e＝ηPWe。④

第（3）問，設(shè)光電子到達(dá)N板的速度為v，根據(jù)動能定理有

eU＝12mv²，⑤

因Δt時間內(nèi)有N₀ Δt個電子與N板碰撞，根據(jù)動量定理有

FΔt＝N₀mvΔt，⑥

所以F＝ηPWmv，⑦

綜合式⑤⑦可得

F＝ηPW2emU。⑧

本題的多種解法主要出現(xiàn)在第（4）問，即求電子在兩金屬板間的分布規(guī)律。電子從M板逸出后在MN之間經(jīng)勻強(qiáng)電場加速，當(dāng)整個系統(tǒng)穩(wěn)定后，兩板間的電子分布具有保持不變的特點(diǎn)。從微觀角度看，電子的運(yùn)動是勻變速直線運(yùn)動；從宏觀角度看，電流是恒定的。這和之前學(xué)習(xí)的恒定電流的特點(diǎn)有很大不同。在之前的模型中，電子的運(yùn)動可以視為以某一穩(wěn)定的速率勻速運(yùn)動。然而，在本題中，電子速度越來越大，這說明沿其運(yùn)動方向的電子數(shù)分布是不均勻的，即隨著離開M板距離的增大，電子數(shù)密度逐漸降低。為了求在任意位置均適用的分布規(guī)律，我們可以沿電子運(yùn)動的方向建立Ox坐標(biāo)軸，并通過研究坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)位置坐標(biāo)x處的電子分布情況進(jìn)行論證。下面給出第（4）問的三種解法，并對每種解法進(jìn)行分析和說明。

【解法一】

如圖2所示，在水平方向上建立Ox坐標(biāo)軸，在x處截取一小段距離Δx，其在空間中對應(yīng)一個橫截面積為S的柱體。

設(shè)電子在x處的速度為v_x，則電子從M板逸出加速運(yùn)動到x處，根據(jù)動能定理有

eUxd＝12mv²x。⑨

設(shè)在x處，單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n_x，則圖2中的柱體內(nèi)包含的電子個數(shù)為

N_x＝n_xSΔx＝n_xSv_xΔt，⑩

其中N_x＝N₀Δt，B11

綜合式③⑨⑩B11可得n_x＝ηPWSmd2eUx。B12

可見，單位體積的電子數(shù)隨著離開M板距離的增加而逐漸減少。

【解法二】

在長為Δx的小柱體內(nèi)，所有電子的電荷量大小為Δq＝n_xeSv_xΔt。B13

根據(jù)電流定義

I＝ΔqΔt＝n_xeSv_x，B14

將式④和式⑨代入式B14，可得

n_x＝ηPWSmd2eUx。

對比解法一和解法二，可以發(fā)現(xiàn)兩種解法建構(gòu)的物理模型相同，但解題的角度有所不同。解法一是從一段距離Δx對應(yīng)的柱體中含有電子數(shù)的多少入手，找到單位體積所含電子數(shù)與體積為SΔx的柱體所含電子數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題，其思維的出發(fā)點(diǎn)是利用單位時間的電子數(shù)保持穩(wěn)定這一條件。解法二仍然利用這個柱體，但考慮的是一段時間Δt內(nèi)該柱體中含有的電子數(shù)，再利用電流的定義，得出單位體積的電子數(shù)的表達(dá)式，其思維的出發(fā)點(diǎn)是利用電流恒定這一結(jié)論。這兩種解法思維的出發(fā)點(diǎn)其實(shí)是有深刻聯(lián)系的，即單位時間的電子數(shù)穩(wěn)定是電流恒定的微觀本質(zhì)。

【解法三】

在x坐標(biāo)處取一豎直平面P，研究在MP空間中的電子總數(shù)，并找出其與位置坐標(biāo)x的定量關(guān)系（見圖3）。

設(shè)MP之間的整個空間內(nèi)總電子數(shù)為Nx總，單位時間逸出的光電子數(shù)為N₀，電子從M板逸出到平面P的加速時間為t，

則有Nx總＝N₀t，B15

電子在MP之間加速有x＝12at²，

可得t＝2xa，B16

將式③代入式B16可得

Nx總＝ηPW2xa。B17

設(shè)MN板間空間內(nèi)x處單位長度的電子數(shù)密度（即空間中電子分布隨位置坐標(biāo)x的變化率）為nλx，

則有nλx＝d（Nx總）dx＝ηP2W2ax，B18

其中a＝Uedm，B19

又因?yàn)镸、N板正對面積為S，所以在x處的單位面積電子數(shù)密度為

n（x）＝n_λ（x）S＝ηPWSmd2eUx。B20

解法三在建構(gòu)的模型和思維路徑上與前兩種解法有著顯著的差異。解法一和解法二都采用了微元法，它們思考的方向是如何表示某一位置處的電子分布情況，解法三則是根據(jù)電子在空間整體分布穩(wěn)定以及電子分布只隨位置坐標(biāo)x變化的特點(diǎn)，從電子分布總數(shù)對位置x的變化率的角度建構(gòu)模型并進(jìn)行求解。對于學(xué)生來說，解法一和解法二更容易理解，而解法三則要求學(xué)生深入理解某物理量對位置坐標(biāo)x變化率的概念，解法三對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高。

3 教學(xué)反思及啟示

宏微結(jié)合問題之所以頻繁出現(xiàn)在高考和學(xué)業(yè)水平等級性考試中，關(guān)鍵在于此類問題能夠深刻揭示物理學(xué)科現(xiàn)象與本質(zhì)之間的緊密聯(lián)系，并能有效考查學(xué)生模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證等科學(xué)思維能力。此外，這類題目往往具有創(chuàng)新性，能夠直觀反映學(xué)生的創(chuàng)造性思維水平。

面對宏微結(jié)合問題，學(xué)生的思維障礙主要

集中在兩方面：一是對問題中涉及的復(fù)雜物理情景理解困難；二是難以進(jìn)行模型的有效遷移和準(zhǔn)確建構(gòu)。具體而言，微觀問題因其抽象性而難以把握，同時學(xué)生也常困惑于如何在微觀本質(zhì)與宏觀現(xiàn)象之間建立起橋梁。

為了提升學(xué)生解決此類問題的能力，教師在日常教學(xué)中應(yīng)有意識地進(jìn)行針對性設(shè)計。一方面，教師可以在教學(xué)過程中利用一些宏微結(jié)合的典型情景，引導(dǎo)學(xué)生分別從微觀和宏觀兩個角度研究物理規(guī)律，如分析洛倫茲力和安培力的關(guān)系、理解導(dǎo)體棒切割磁感線時洛倫茲力的分力充當(dāng)非靜電力來做功的機(jī)制、探討氣體壓強(qiáng)的微觀解釋以及太陽帆的光壓問題等。另一方面，教師可以通過布置宏微結(jié)合的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中掌握解答此類問題的思維策略。在教學(xué)和解題過程中，教師要有意識地展現(xiàn)分析此類問題的思維路徑，指導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，并將題目與已學(xué)習(xí)的模型和知識相聯(lián)系。

從多角度解讀宏微結(jié)合問題，是提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵策略。多角度的思考和探究不僅可以提高學(xué)生思維的開放性和靈活性，還有助于學(xué)生建構(gòu)物理模型，靈活應(yīng)用物理規(guī)律和物理方法，進(jìn)而提升自身解決此類問題的能力。通過宏微結(jié)合題目多角度解題策略的訓(xùn)練，學(xué)生將能深刻理解物理學(xué)科的本質(zhì)，從而提升自身物理學(xué)科的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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