“內(nèi)” “外”兼顧 “功” “能”并舉

摘 要：本文結(jié)合3道典型例題的不同解法，闡述了處理球腔導(dǎo)體電場分布問題的“內(nèi)”“外”兼顧思想，以及處理其中電場能量問題的“功”“能”并舉思想，為大學(xué)物理及中學(xué)物理競賽教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：靜電場；球腔導(dǎo)體；唯一性定理；功能關(guān)系

靜電場中的球腔導(dǎo)體問題，因其綜合性強(qiáng)且相對抽象，成為電磁學(xué)領(lǐng)域的重難點(diǎn)之一。為了幫助學(xué)生更清晰地整理相關(guān)知識脈絡(luò)，同時輔助教師實(shí)現(xiàn)更高效的教學(xué)，本文特選了三道典型例題作為切入點(diǎn)，通過探討這些例題的不同解法，總結(jié)出解題思路，并提煉出處理此類問題的核心思想與方法，旨在啟發(fā)引導(dǎo)，促進(jìn)教師和學(xué)生更深入地探討與學(xué)習(xí)。

1 典例剖析

1.1 例題1及其解析

如圖1所示，半徑為a的導(dǎo)體球外同球心放置一個半徑為b的不帶電導(dǎo)體薄球殼，在距離球心為d（d＞b）處有一個帶電荷量為q的固定點(diǎn)電荷?，F(xiàn)讓內(nèi)導(dǎo)體球接地，靜電平衡后，求：

（1）內(nèi)導(dǎo)體球上的電荷量q_a；

（2）外導(dǎo)體球殼的電勢U_b。

1.1.1 第（1）問解析

根據(jù)靜電場的高斯定理可知，外球殼的內(nèi)表面帶有感應(yīng)電荷－q_a。由于外球殼不帶電，故外球殼外表面也會有感應(yīng)電荷，電荷量為q_a。而內(nèi)球接地，電勢為零，根據(jù)球心處電勢為零的條件有kq_aa＋k－q_ab＋kq_ab＋kqd＝0，進(jìn)而得到q_a＝－adq。

1.1.2 第（2）問解法一

球殼雖薄，但仍可以看作是帶空腔的導(dǎo)體。由于球殼的靜電外屏蔽效應(yīng)，空腔內(nèi)的電荷分布、電場分布將不受腔外電荷的影響。且由于腔內(nèi)帶電球和球腔導(dǎo)體的幾何對稱性，內(nèi)球上、外球殼內(nèi)側(cè)的電荷分布都是均勻的。計算r＝b和r＝a處的電勢差得

U_b－U_a＝kq_ab－kq_aa＝kqd1－ab，

而U_a＝0，因此U_b＝kqd1－ab。

點(diǎn)評：本題中，腔外點(diǎn)電荷電荷量的變化會影響腔內(nèi)導(dǎo)體球上的帶電荷量，進(jìn)而影響腔內(nèi)的電場。一旦球殼外帶電體的電荷量、位置確定，內(nèi)球、外球殼內(nèi)側(cè)的帶電荷量就能夠確定。根據(jù)靜電場的唯一性定理，空腔內(nèi)部的電勢分布也是唯一確定的。

上述方法在沒有考慮腔外電荷的情況下得到了外球殼的電勢。因此，本文嘗試換個角度，從腔外入手進(jìn)行求解。

1.1.3 第（2）問解法二

從腔外看，外導(dǎo)體球殼上的電荷（總電荷量為q_a）和距離球心為d處的點(diǎn)電荷共同決定了外導(dǎo)體球殼的電勢。根據(jù)鏡像法的結(jié)論^［1］，球面上的感應(yīng)電荷可用兩個像電荷來代替：一個像電荷位置在距球心b²d處，帶電荷量q′＝－bdq，它與球外電荷q一起作用使得球面上的電勢為零；另一個像電荷則在球心，電荷量為q_a－q′＝－adq＋bdq＝bdq1－ab，這部分電荷在外球殼上產(chǎn)生的電勢U_b＝kq_a－q′b＝kqd1－ab，和解法一的結(jié)果一致。

需要說明的是，從腔內(nèi)計算外球殼電勢時，我們選取了內(nèi)球?yàn)榱汶妱莼c(diǎn)。而由腔外計算時，則選取無窮遠(yuǎn)處為零電勢基點(diǎn)。在帶電體系統(tǒng)尺度遠(yuǎn)小于地球表面時，可認(rèn)為地球表面是接近于無限大的平面，電荷面密度極小，接近于零。^［2］ 因此，在這種情境下，從地球表面延伸至無窮遠(yuǎn)處的空間，電場強(qiáng)度趨近于零，即不存在明顯的電場線，且兩點(diǎn)間的電勢差也趨近于零。基于上述分析，我們可以合理推斷，在腔內(nèi)和腔外分別選取的零電勢基點(diǎn)，在電勢計算上可視為等效的。所以，無論是從腔內(nèi)還是腔外出發(fā)進(jìn)行計算，導(dǎo)體表面的電勢值均應(yīng)保持一致。

基于上述例題，下文考慮了從腔內(nèi)、外分別計算導(dǎo)體電勢但結(jié)果不等的情況。

1.2 例題2及其解析

如圖2所示，兩個帶電荷量分別為q₁、q₂的點(diǎn)電荷被放置在內(nèi)、外半徑分別為r₁、r₂的不帶電導(dǎo)體球殼的空腔之內(nèi)。q₁、q₂距球心分別為a₁、a₂。求q₁、q₂的電勢能，以及整個帶電系統(tǒng)的電勢能。

解析：解決本問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解q₁、q₂處的電勢。點(diǎn)電荷q₁、q₂在空腔內(nèi)壁產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷和兩個點(diǎn)電荷一起在腔內(nèi)形成了電場。根據(jù)鏡像法，可等效認(rèn)為腔內(nèi)電場由q₁、q₂以及它們對應(yīng)的像電荷q′1＝－r₁a₁q₁，q′2＝－r₂a₂q₂共同在腔內(nèi)產(chǎn)生。其中q′1位于離球心O的距離d₁＝r²₁a₁處，q′2位于離球心O的距離d₂＝r²₂a₂處，這四個電荷共同作用使得球腔內(nèi)壁為等勢面且電勢為零。因此，如果以空腔內(nèi)壁為零電勢基點(diǎn)，q₁、q₂處的電勢u₁、u₂分別為

u₁＝kq₂a₁＋a₂＋kq′2a₁＋d₂＋kq′1d₁－a₁＝kq₂a₁＋a₂

＋k－r2q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q₁r²₁－a²₁；

u₂＝kq₁a₁＋a₂＋kq′1a₂＋d₁＋kq′2d₂－a₂＝

kq₁a₁＋a₂＋k－r₁q₁a₁a₂＋r²₁＋k－r2q₂r²₂－a²₂。

又由于導(dǎo)體球殼孤立且不帶電，導(dǎo)體球殼外表面因靜電感應(yīng)會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，電荷量為q₁＋q₂，并均勻分布在外表面上。由于內(nèi)外電場互不影響，可得到導(dǎo)體球殼的電勢為

U_殼＝kq₁＋q₂r₂，

因?qū)w球殼是等勢體，其上任一點(diǎn)的電勢均為此值。

鑒于空腔內(nèi)、外電場的整體性，必須考慮作為腔內(nèi)、外電場銜接點(diǎn)的導(dǎo)體球殼電勢的單值特性，對q₁、q₂處的電勢u₁、u₂進(jìn)行修正，可表示為

U₁＝u₁＋U_殼＝kq₂a₁＋a₂＋k－r2q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q₁r²₁－a²₁＋kq₁＋q₂r₂；

U₂＝u₂＋U_殼＝kq₁a₁＋a₂＋k－r₁q₁a₁a₂＋r²₁＋k－r2q₂r²₂－a²₂＋kq₁＋q₂r₂。

應(yīng)注意，這樣的修正不會影響腔內(nèi)的電勢分布，因?yàn)殡妱莘植挤从车葎菝娴男螤詈偷葎菝嬷g的相對關(guān)系，整體電勢的抬高不會影響這種相對關(guān)系。因此q₁、q₂的電勢能為W（q₁）＝q₁U₁＝kq₁q₂a₁＋a₂＋k－r2q₁q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q²₁r²₁－a²₁＋kq₁（q₁＋q₂）r₂；

W（q₂）＝q₂U₂＝kq₁q₂a₁＋a₂＋k－r₁q₁q₂a₁a₂＋r²₁＋k－r2q²₂r²₂－a²₂＋kq₂（q₁＋q₂）r₂。

再求整個帶電系統(tǒng)的電勢能，即系統(tǒng)中所有電荷之間的相互作用能，根據(jù)電荷系統(tǒng)相互作用能的計算方法^［3］，結(jié)果為

W＝12（q₁U₁＋q₂U₂＋q_殼U_殼），

由于球殼不帶電，q_殼＝0，因此

W＝12（q₁U₁＋q₂U₂）。

點(diǎn)評：與例題1有所不同的是，在例題2中，當(dāng)我們利用鏡像法來求解腔內(nèi)電場時，所選定的腔內(nèi)電勢分布的零電勢基點(diǎn)是空腔的內(nèi)壁。然而，從腔外觀察并進(jìn)行電勢計算時，通常會選取無窮遠(yuǎn)處作為零電勢基點(diǎn)。這種腔內(nèi)與腔外零電勢基點(diǎn)選取的不一致，可能會引發(fā)與導(dǎo)體電勢單值性原理相沖突的情況。為了消除這一矛盾，我們需要對腔內(nèi)電勢的計算進(jìn)行修正，具體而言，是要將原本基于空腔內(nèi)壁的電勢分布調(diào)整為以無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)時的導(dǎo)體電勢值作為基準(zhǔn)。這樣，無論是腔內(nèi)還是腔外的電勢計算，都能保持與導(dǎo)體電勢單值性原理的一致性。

下面通過例題3來進(jìn)一步地闡釋以上思想方法的具體運(yùn)用。

1.3 例題3及其解析

如圖3所示，例2中原有的條件都不變，在導(dǎo)體外放置一個電荷量為Q的點(diǎn)電荷，其到球心距離為d，在保持q₁、q₂不動的情況下，用外力緩慢移動點(diǎn)電荷Q至無窮遠(yuǎn)處，求外力做的功。

解析：可根據(jù)功能關(guān)系，從系統(tǒng)靜電能量的變化角度反推外力做功。準(zhǔn)確把握變化過程中初態(tài)、末態(tài)帶電系統(tǒng)各部分的電勢分布是運(yùn)用本方法的關(guān)鍵。例2的求解已為本方法的展開做好了鋪墊。

1.3.1 解法一

Q到球心距離為d時，整個帶電系統(tǒng)的電勢能

W_i＝12（q₁U′1＋q₂U′2＋q_殼U_殼＋QU_Q）＝

12q₁u₁＋kQd＋kq₁＋q₂r₂＋q₂u₂＋kQd＋kq₁＋q₂r₂＋0

＋Qkq₁＋q₂＋r₂dQd＋k－r₂dQd－r²₂d，

其中U₁′、U₂′分別為Q到球心距離為d時，q₁、q₂處的電勢。當(dāng)Q移到無窮遠(yuǎn)處后，帶電系統(tǒng)總能量

W_f＝12（q₁U₁＋q₂U₂）＝

12q₁u₁＋kq₁＋q₂r₂＋q₂u₂＋kq₁＋q₂r₂，

這個結(jié)果在例2中已求解。根據(jù)功能關(guān)系，外力做功

A＝W_f－W_i＝12k－Qq₁d＋k－Qq₂d－

Qkq₁＋q₂＋r₂dQd＋k－r₂dQd－r²₂d＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r³₂2d²（d²－r²₂）。

另一方面，由于點(diǎn)電荷Q的移動非常緩慢，可以認(rèn)為外力大小和點(diǎn)電荷Q受到的靜電力大小始終相等，可直接求解點(diǎn)電荷Q受到的靜電力進(jìn)而計算做功。當(dāng)然也可以根據(jù)靜電力做功的性質(zhì)進(jìn)行求解。

1.3.2 解法二

求解點(diǎn)電荷Q受到的靜電力進(jìn)而計算做功。Q所在位置處的電場強(qiáng)度，由導(dǎo)體外表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生，與導(dǎo)體空腔內(nèi)表面的電荷，腔內(nèi)點(diǎn)電荷均無關(guān)。使用鏡像法來計算此處的電場強(qiáng)度，該電場由兩個像電荷產(chǎn)生：第一個像電荷Q′＝－r₂dQ，距離圓心x₁＝r²₂d；

第二個像電荷Q″＝q₁＋q₂-Q′，位于圓心。規(guī)定背離圓心，徑向向外為正方向，Q所在位置處的電場強(qiáng)度

E＝kQ″d²＋kQ′（d－x₁）²，

將Q″、Q′、x₁代入得到

E＝kq₁＋q₂＋r₂dQd²＋k－r₂dQd－r²₂d²，F(xiàn)＝QE。

隨著點(diǎn)電荷的運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)電荷Q到圓心的距離為x，靜電力F隨x的變化關(guān)系為

F（x）＝kQ（q₁＋q₂）x²＋kQ²r₂x³－kQ²r₂x（x²－r²₂）²，

由于運(yùn)動過程緩慢，外力與靜電力大小相等，方向相反，整個過程中外力做的功

A＝∫^+∞_d

－F（x）dx＝∫^+∞_d－kQ（q₁＋q₂）x²dx＋

∫^+∞_d－kQ²r₂x³dx＋∫^+∞_dkQ²r₂x（x²－r²₂）²dx＝

－kQ（q₁＋q₂）d－kQ²r₂2d²＋kQ²r₂2（d²－r²₂）＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r³₂2d²（d²－r²₂）。

1.3.3 解法三

根據(jù)靜電力做功的性質(zhì)求解。要特別注意的是，當(dāng)點(diǎn)電荷從初始位置（設(shè)電勢為U₀）移動到無窮遠(yuǎn)處（U_∞＝0）時，靜電力做功不能寫成A＝Q（U₀－U_∞）＝QU₀，因?yàn)樵陔姾梢苿拥倪^程中，感應(yīng)電荷的分布在發(fā)生變化，Q所處的電場也在發(fā)生變化。為解決這個問題，可以將點(diǎn)電荷Q的電荷量“化整為小”，“一小份一小份”地轉(zhuǎn)移到無窮遠(yuǎn)處（設(shè)每一小份電荷量為dq）。在每次轉(zhuǎn)移一小份電荷量dq時，可近似認(rèn)為靜電場沒有發(fā)生變化，再將每一小份電荷移動過程中外力所做的功相加（積分）得到最終的結(jié)果。雖然在“一份一份”分割點(diǎn)電荷Q的過程中，外力需要額外做功，但若再考慮把一份份電荷量在無窮遠(yuǎn)處重新聚成Q的過程，可發(fā)現(xiàn)外力額外做功之和為零，對結(jié)果不會產(chǎn)生影響。再簡化一下，把點(diǎn)電荷Q移動到無窮遠(yuǎn)處靜電力所做的功，和把點(diǎn)電荷Q從無窮遠(yuǎn)處移動到初始位置所做的功，大小是相等的。因此有A＝－

∫^Q₀

－kr₂dqd－r²₂d＋kq₁＋q₂＋qr₂dddq＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r3₂2d²（d²－r²₂）。

點(diǎn)評：不同的解題方法往往是不同物理觀念的直接體現(xiàn)。解法一以電荷系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)功能關(guān)系間接求解，體現(xiàn)了能量觀念。解法二通過電荷所受靜電力與位置關(guān)系直接求解做功，體現(xiàn)了運(yùn)動和相互作用觀念。解法三將電荷Q分成無限多份電荷，抓住轉(zhuǎn)移無限小電荷過程中電場分布不變的特點(diǎn)，以及靜電力做功的性質(zhì)求解，體現(xiàn)了利用電場這一物質(zhì)的客觀規(guī)律解決問題的物質(zhì)觀念。

2 思想方法總結(jié)

上述三個例題體現(xiàn)了處理靜電場中空腔導(dǎo)體問題的常用思想方法，總結(jié)如下。

2.1 用鏡像法處理球腔內(nèi)、外電場腔外電場的計算，分以下兩種情況說明。

2.2.1 情況一

若導(dǎo)體球接地，電勢維持為零，只需在球內(nèi)部引入一個像電荷，使其與球外電荷共同作用使得球面電勢為零即可。

根據(jù)靜電場的唯一性定理，對于一個區(qū)域，如果其內(nèi)部的電荷分布確定，邊界條件也給定，那么區(qū)域內(nèi)的電場就是唯一確定的。對于以導(dǎo)體為邊界的情況，“邊界條件給定”是指：各導(dǎo)體的電勢給定，或各導(dǎo)體上的電荷量給定，或在部分導(dǎo)體的電勢給定的同時，其他導(dǎo)體的電荷量給定。^［4］由于該像電荷的引入沒有改變導(dǎo)體球外表面的電勢，因此沒有改變腔外電場的邊界條件，可起到替代導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷的作用。設(shè)導(dǎo)體球半徑為R，導(dǎo)體球外部點(diǎn)電荷q到球心距離為d，像電荷q′到球心距離為b，則有

q′＝－Rdq，b＝R²d。

2.2.2 情況二

若導(dǎo)體球不接地，根據(jù)靜電場的唯一性定理，只需在情況一取像電荷q′的基礎(chǔ)上，在不改變導(dǎo)體球電勢的情況下，于球心處再添加一個像電荷q″即可。設(shè)導(dǎo)體球帶電荷量為Q，根據(jù)球心處電勢的不變性有

kQR＋kqd＝kq″Rq″＝Q＋Rdq。

腔內(nèi)電場的計算：若在導(dǎo)體球腔內(nèi)偏心處放置一點(diǎn)電荷，如圖4所示，設(shè)腔內(nèi)電荷量為q′，根據(jù)高斯定理可知，球腔內(nèi)壁會產(chǎn)生電荷量－q′的感應(yīng)電荷，且球腔內(nèi)壁為等勢面。根據(jù)靜電場的唯一性定理，由于內(nèi)壁電荷量確定，腔內(nèi)電荷分布確定，腔內(nèi)的電場也唯一確定。另外，聯(lián)系不等量異種電荷的電場分布可知，電場中必有一個等勢面是球面，且電勢為零，如圖1左圖虛線所示。這個球面的球心位置、半徑與兩個電荷的電荷量、位置有關(guān)。因此只要選取一個適當(dāng)?shù)南耠姾蓂，使得q與q′產(chǎn)生的電場中的零電勢球面和球腔內(nèi)壁完全重合，腔內(nèi)壁感應(yīng)電荷的作用就可以被q代替。設(shè)腔內(nèi)壁半徑為R，q′到球心距離為b，像電荷q到球心距離為d，則有q＝－dRq′，d＝R²b。

2.2 帶電系統(tǒng)靜電勢能的計算

帶電系統(tǒng)的靜電勢能，是在帶電系統(tǒng)形成的過程中，外力克服靜電力做功轉(zhuǎn)化而來的能量，其總靜電能等于諸電荷元的自能和電荷元之間的互能之和^［5］，數(shù)值上等于將帶電體各電荷元移動到無窮遠(yuǎn)處的過程中靜電力做的功。

以兩個點(diǎn)電荷q₁、q₂組成的系統(tǒng)為例，它們之間的靜電互能為

W＝q₁U21＝q₂U12＝12（q₁U21＋q₂U12），

將該結(jié)論推廣到多個點(diǎn)電荷組成的帶電系統(tǒng)，則有

W＝12ni＝1q_iU_i。

其中U_i表示第i個點(diǎn)電荷元處的電勢。一般地，計算時不需考慮點(diǎn)電荷的自能。

2.3 “內(nèi)”“外”兼顧，把控全局

求解靜電場空腔導(dǎo)體中的電場分布問題，要做到“內(nèi)”“外”兼顧，把控全局。

首先，從“內(nèi)”看，通常以導(dǎo)體空腔內(nèi)壁，或是空腔內(nèi)部已知電勢的特殊位置作為零電勢基點(diǎn)計算空腔內(nèi)部的電勢分布。

其次，從“外”看，通常以無窮遠(yuǎn)處為零電勢基點(diǎn)，從腔外計算導(dǎo)體外部的電勢分布。

無論是從“內(nèi)”看還是從“外”看，鏡像法和疊加原理都是求解電勢分布的常用手段。為保證導(dǎo)體電勢在空腔內(nèi)、導(dǎo)體外電場整體

的單值性，要注意將腔內(nèi)電場的零電勢基點(diǎn)修正為以無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)時導(dǎo)體的電勢值。

2.4 “功”“能”并舉，拓寬思路

求解靜電場空腔導(dǎo)體中的電場能量問題，要做到“功”“能”并舉，拓寬思路。

首先，從“功”的觀點(diǎn)看，選定被移動的點(diǎn)電荷為研究對象，直接求解其受力隨位置的變化關(guān)系，進(jìn)而計算做功。也可依據(jù)靜電力做功和初、末位置電勢差的關(guān)系求解，但要注意這個關(guān)系必須在點(diǎn)電荷所處電場不變的前提下才可使用。例題3的解法三中將點(diǎn)電荷化整為小，逐個搬運(yùn)的做法值得借鑒。

其次，從“能”的觀點(diǎn)看，選定帶電系統(tǒng)為研究對象，依據(jù)功與帶電系統(tǒng)靜電能量變化的量度關(guān)系，根據(jù)系統(tǒng)初、末的能量狀態(tài)反觀相應(yīng)的做功量。在“內(nèi)”“外”兼顧的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確求解空腔內(nèi)外的電勢分布，進(jìn)而準(zhǔn)確把握系統(tǒng)的能量狀態(tài)，是運(yùn)用本方法的重要前提。

3 結(jié)語

本文結(jié)合例1和例2兩道例題，闡釋了處理靜電場空腔導(dǎo)體電場分布問題的“內(nèi)”“外”兼顧思想。以導(dǎo)體電勢的單值性為橋梁，結(jié)合腔外的電勢分布情況，修正了空腔內(nèi)部電勢分布的零電勢基點(diǎn)，為進(jìn)一步研究電場中的能量問題打好基礎(chǔ)。另外，本文借例3闡釋了處理靜電場空腔導(dǎo)體電場能量問題的“功”“能”并舉思想。從“運(yùn)動和相互作用觀、物質(zhì)觀、能量觀”三大物理觀念出發(fā)，分別給出從“功” “能”角度入手的三種解法。觀念雖有差異，方法雖有不同，但本質(zhì)卻是相通的。

在對各種物理問題的處理中，教師和學(xué)生應(yīng)朝著更深刻的思維、更豐富的觀念、更高的要求邁進(jìn)。在教學(xué)過程中對一些典型例題進(jìn)行多角度分析和拓展，并對解題思想進(jìn)行歸納總結(jié)，有利于學(xué)生清晰認(rèn)知問題的物理本質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)思維與探究意識，進(jìn)而促進(jìn)其學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)

［1］［4］郭碩鴻. 電動力學(xué)（第三版）［M］. 北京：高等教育出版社，2008：54-55，43-47．

［2］［3］程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程·電磁學(xué)篇（第二版）［M］. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2014：27-28．

［5］趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)（上冊）［M］. 北京：高等教育出版社，1985：101-107．