基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探索

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)領(lǐng)域中指出，在小學(xué)階段，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?？梢?，基于運(yùn)算一致性進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是極為重要的。文章在解讀“運(yùn)算一致性”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，探索了基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)意義，提出了基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略，希望能為廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者提供參考借鑒，共同推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提升。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算一致性；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G427" " " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "文章編號(hào)：2097-1737（2024）31-0008-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體化、結(jié)構(gòu)化?；谶\(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有助于教師從整體化、結(jié)構(gòu)化的角度統(tǒng)籌規(guī)劃數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，從而有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)的系統(tǒng)性和質(zhì)效性。在某種程度上，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)脫離了數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中的意義，將學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界引向符號(hào)世界，從而帶領(lǐng)其掌握數(shù)與數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于落實(shí)“四基”。然而，就當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀而言，部分教師對(duì)此的重視程度不夠，還有部分教師由于缺乏相關(guān)理論、經(jīng)驗(yàn)等的支撐，雖然開展了基于運(yùn)算一致性的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，但是未能獲得預(yù)期效果。鑒于此，筆者進(jìn)行了此次實(shí)踐探索。

一、運(yùn)算一致性的內(nèi)涵解讀

小學(xué)階段的“運(yùn)算一致性”，是指小學(xué)階段接觸到的所有數(shù)的運(yùn)算，在運(yùn)算意義、算理、算法方面都是相通的。在運(yùn)算意義方面，小學(xué)階段總共涉及了加、減、乘、除四則運(yùn)算，其中減法、乘法、除法運(yùn)算都可以還原成加法，也就是說，這三則運(yùn)算都是從加法衍生而來的，加法是這三則運(yùn)算的基礎(chǔ)。在算理方面，小學(xué)階段主要涉及了分配律、交換律、結(jié)合律這三種基礎(chǔ)運(yùn)算律，它們與等式的基本性質(zhì)共同構(gòu)成加、減、乘、除四則運(yùn)算的算理基礎(chǔ)，這些算理適用于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，也就是適用于小學(xué)階段所有數(shù)的運(yùn)算。在算法方面，加、減、乘、除四則運(yùn)算在一般情況下都能還原為計(jì)數(shù)單位之間以及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算[1]。

二、基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)意義

第一，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。就小學(xué)階段而言，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生感受整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)在算理、算法等方面的共性，這種共性有助于學(xué)生抓住數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)，有利于學(xué)生提升運(yùn)算能力。

第二，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能夠幫助學(xué)生將瑣碎的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來，建構(gòu)起系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)?；谶\(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)通過尋找整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)在概念及運(yùn)算上的一致性，或者說共通性，讓學(xué)生能夠?qū)⒃粳嵥榈臄?shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，在整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算與數(shù)量關(guān)系等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起本質(zhì)聯(lián)系，組成一個(gè)框架更清晰、內(nèi)容更明了的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而更好地學(xué)習(xí)并掌握“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域知識(shí)。

第三，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是對(duì)數(shù)的關(guān)系、運(yùn)算、規(guī)律等的討論和研究，其結(jié)論指向各種抽象化的數(shù)學(xué)符號(hào)、公式與定律，而非具有現(xiàn)實(shí)背景的各種數(shù)量?；谶\(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就是一種脫離現(xiàn)實(shí)背景，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)的數(shù)學(xué)化教學(xué)，此種教學(xué)方式有助于學(xué)生形成和發(fā)展符號(hào)意識(shí)[2]。

三、基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

（一）概念切入，理解運(yùn)算一致性

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及的數(shù)，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，從數(shù)的概念角度來看，這些數(shù)都是以計(jì)數(shù)單位為基礎(chǔ)構(gòu)建而成的。由此可見，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)在概念層面具有一致性，這是數(shù)的運(yùn)算一致性的基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)時(shí)，可以從數(shù)的概念一致性的角度切入，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)的運(yùn)算一致性。整數(shù)通常以個(gè)、十、百等作為計(jì)數(shù)單位，小數(shù)通常以十分之

一、百分之一等作為計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)雖然沒有固定的計(jì)數(shù)單位，但是每個(gè)分?jǐn)?shù)仍舊是若干相同分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的集合。從這一角度來看，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算，

本質(zhì)上都是計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算，

這也是小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算一致性的直接體現(xiàn)。教師在進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算的教學(xué)時(shí)，可以從“計(jì)數(shù)單位”的角度切入，引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)，感受并理解數(shù)的運(yùn)算一致性[3]。

以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（下冊(cè)）“四則運(yùn)算”這一單元為例。教材將本單元內(nèi)容分為了兩個(gè)部分，其一為“加、減法的意義和各部分間的關(guān)系”，其二為“乘、除法的意義和各部分間的關(guān)系”。這種編排方式很容易讓學(xué)生感受到加、減法之間有關(guān)系，乘、除法之間有關(guān)系，但是卻容易讓學(xué)生忽視加、減、乘、除四則運(yùn)算之間的關(guān)系。針對(duì)這一問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的概念一致性的角度入手，感受加、減、乘、除四則運(yùn)算之間的運(yùn)算一致性。因?yàn)楸締卧簧婕罢麛?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，所以本文從數(shù)的概念一致性角度切入的四則運(yùn)算教學(xué)也只涉及到整數(shù)。例如：

整數(shù)加法：814＋1142＝（100×8＋10×1＋1×4）＋（1000×1＋100×1＋10×4＋1×2）＝1000×1＋100×（8＋1）＋10×（1＋4）＋1×（4＋2）＝1000＋900＋50＋6＝1956。前述整數(shù)加法運(yùn)算中，以1000、100、10、1為計(jì)數(shù)單位，加法運(yùn)算本質(zhì)上就是各個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的合并。

整數(shù)減法：1956－1142＝（1000×1＋100×9＋10×5＋1×6）－（1000×1＋100×1＋10×4＋1×2）＝1000×（1－1）＋100×（9－1）＋10×（5－4）＋1×（6－2）＝0＋800＋10＋4＝814。前述整數(shù)減法運(yùn)算中，同樣以1000、100、10、1為計(jì)數(shù)單位，減法運(yùn)算本質(zhì)上就是各個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的拆分。

整數(shù)乘法：3×4＝3＋3＋3＋3＝12。前述整數(shù)乘法運(yùn)算以3為計(jì)數(shù)單位，4則是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，乘法運(yùn)算本質(zhì)上就是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的合并。

整數(shù)除法：12÷3＝4?？蓪⑵滢D(zhuǎn)化為減法12－3－3－3－3＝0。前述整數(shù)除法運(yùn)算以3為計(jì)數(shù)單位，4是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，除法運(yùn)算本質(zhì)上就是將被除數(shù)拆分為若干個(gè)計(jì)數(shù)單位。

由上可知，加、減、乘、除四則運(yùn)算本質(zhì)上就是計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算，由此學(xué)生就能感受到四則運(yùn)算之間的運(yùn)算一致性。有此認(rèn)知后，學(xué)生進(jìn)行四則混合運(yùn)算時(shí)，就能通過四則運(yùn)算之間的靈活轉(zhuǎn)換，找到更為簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法，這對(duì)于其運(yùn)算能力的提升是極為有益的。

（二）類比教學(xué)，感受運(yùn)算一致性

數(shù)的運(yùn)算一致性，不僅體現(xiàn)在運(yùn)算意義的一致性上，還體現(xiàn)在算法的一致性上。就小學(xué)階段而言，教師應(yīng)在學(xué)生理解數(shù)的算法一致性的基礎(chǔ)上進(jìn)行整數(shù)的運(yùn)算教學(xué)。因此，在整數(shù)運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)重視對(duì)算法的教學(xué)。推導(dǎo)數(shù)的算法仍應(yīng)以計(jì)數(shù)單位為基礎(chǔ)。加、減法運(yùn)算，本質(zhì)上是相同計(jì)數(shù)單位之間的個(gè)數(shù)合并或拆分；乘、除法運(yùn)算，本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算（整數(shù)除法例外）[4]。由于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算在算法方面基本上是相通的，具有一致性，所以教師在引導(dǎo)學(xué)生理解整數(shù)的算法后，就可以通過類比整數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生感受整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算在算法方面的一致性。

例如，人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)（上冊(cè)）“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一單元的第2部分為“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”，主要介紹了簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加、減法運(yùn)算。教材介紹分?jǐn)?shù)加法的算法就是從計(jì)數(shù)單位的角度出發(fā)的（如圖1）。在圖1的分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算中，本質(zhì)上就是將“”當(dāng)作計(jì)數(shù)單位，所以，“＋”其實(shí)就是2個(gè)計(jì)數(shù)單位和1個(gè)計(jì)數(shù)單位合并，即3個(gè)計(jì)數(shù)單位，也就是“”。

在進(jìn)行上述分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師可類比整數(shù)的加法運(yùn)算教學(xué)，以此引導(dǎo)學(xué)生感受整數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算在算法上的一致性。具體而言，教師可舉如下整數(shù)加法運(yùn)算案例：2＋1＝3。該整數(shù)加法運(yùn)算以“1”為計(jì)數(shù)單位，加法運(yùn)算其實(shí)就是“1”這一計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的合并或疊加。由此可見，無論是分?jǐn)?shù)加法還是整數(shù)加法，本質(zhì)上都是某一計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的合并或疊加。

此外，教師還可以為學(xué)生呈現(xiàn)以下整數(shù)加法案例：22＋11＝33。在該整數(shù)加法運(yùn)算中，同時(shí)存在“1”和“10”兩個(gè)計(jì)數(shù)單位，加法運(yùn)算同樣是各個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的合并或疊加，但要注意，這種合并或疊加是指相同計(jì)數(shù)單位之間個(gè)數(shù)的合并或疊加。由此，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考如下分?jǐn)?shù)加法問題：參考上述整數(shù)加法案例，思考＋應(yīng)該怎么計(jì)算。在該分?jǐn)?shù)加法中，這兩個(gè)加數(shù)明顯不是同一計(jì)數(shù)單位，因此要想完成該運(yùn)算，就要設(shè)法將兩個(gè)加數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閾碛型挥?jì)數(shù)單位的分?jǐn)?shù)。由此，學(xué)生不僅對(duì)異分母分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算有了一定的解題思路，還能更加了解加法運(yùn)算的本質(zhì)，即“相同計(jì)數(shù)單位之間的個(gè)數(shù)疊加”。

（三）自主探究，深悟運(yùn)算一致性

在小學(xué)階段，有關(guān)數(shù)的運(yùn)算一致性的探尋最終落腳點(diǎn)基本都在數(shù)的計(jì)數(shù)單位上，也就是說，數(shù)的運(yùn)算基本上都是計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算[5]。有了上述認(rèn)知，教師除了可以組織一系列的教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度感受數(shù)的運(yùn)算一致性外，還可以在與運(yùn)算相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生自主探究并感悟其中所隱藏的運(yùn)算一致性。這樣不僅有助于學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)，還能增強(qiáng)其對(duì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

例如，教師在講授人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（下冊(cè)）“小數(shù)的加法和減法”中“小數(shù)加減法”這部分內(nèi)容時(shí)，由于學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)加減法與分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算，且在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師已經(jīng)帶領(lǐng)學(xué)生以類比的方式感受了整數(shù)與分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的一致性，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以自主探究的方式，深入感受小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)在加減法運(yùn)算方面的一致性。為了引導(dǎo)學(xué)生更好地開展本次自主探究活動(dòng)，教師可借助問題引導(dǎo)學(xué)生找到正確的自主探究方向。具體而言，教師可為學(xué)生設(shè)置以下問題：“我們已經(jīng)知道，加法運(yùn)算的本質(zhì)就是‘相同計(jì)數(shù)單位之間的個(gè)數(shù)疊加’，

所以在進(jìn)行小數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，大家能結(jié)合小數(shù)的意義和性質(zhì)、讀法和寫法，找到小數(shù)運(yùn)算中需要用到的計(jì)數(shù)單位嗎？”該問題為學(xué)生自主探究小數(shù)加減法運(yùn)算中隱藏的運(yùn)算一致性內(nèi)涵找準(zhǔn)了切入點(diǎn)，而后教師可引導(dǎo)學(xué)生就“6.45＋4.29＝10.74”這一小數(shù)加法運(yùn)算案例，展開自主探究活動(dòng)。

學(xué)生在之前“小數(shù)的意義和性質(zhì)”這一單元的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道小數(shù)的基本構(gòu)成情況，由此就能推斷出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。例如，6.45和4.29的計(jì)數(shù)單位包括整數(shù)部分的個(gè)位“1”，以及小數(shù)部分的十分位“”和百分位“”，也就是說6.45是由6個(gè)“1”、4個(gè)“”、5個(gè)“”構(gòu)成，4.29則是由4個(gè)“1”、2個(gè)“”、9個(gè)“”構(gòu)成。所以，“6.45+4.29”其實(shí)就是6個(gè)“1”加4個(gè)“1”、4個(gè)“”加2個(gè)“”、5個(gè)“”加9個(gè)“”，其運(yùn)算本質(zhì)仍舊是“相同計(jì)數(shù)單位之間的個(gè)數(shù)疊加”，與整數(shù)和分?jǐn)?shù)加法的算法一致。

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，基于運(yùn)算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，從而有效提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。在運(yùn)算一致性視域下，教師在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)應(yīng)注意從數(shù)的概念角度切入，引導(dǎo)學(xué)生感受運(yùn)算一致性，或通過類比教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生感受運(yùn)算一致性。當(dāng)然，在這個(gè)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生在自主探究的過程中深入探尋并感悟數(shù)的運(yùn)算一致性，這樣不僅能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算一致性的理解，還能有效提升運(yùn)算教學(xué)的效果。

參考文獻(xiàn)

程麗娜.小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算一致性的實(shí)踐探討：以“數(shù)與運(yùn)算”總復(fù)習(xí)為例[J].新教育，2023（35）：86-88.

王智明.一致性視角下小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)的理解及教學(xué)改進(jìn)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（22）：4-5.

王宇馳.大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與運(yùn)算一致性的實(shí)踐[J].亞太教育，2023（20）：160-162.

王加林.體會(huì)乘法運(yùn)算本質(zhì)的一致性：《乘法運(yùn)算總復(fù)習(xí)》一課教學(xué)與思考[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2023（8）：92-96.

王嵐.“運(yùn)算一致性”理念下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思與行[J].江蘇教育，2023（14）：6.

基金項(xiàng)目：本文系三明市基礎(chǔ)教育科學(xué)研究2023年度常規(guī)課題“基于數(shù)理思維的小學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂策略研究”（課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：JYKT-23034）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：胡敏華（1978.10-），女，福建三明人，任教于福建省三明市沙縣區(qū)金沙小學(xué)，一級(jí)教師，本科學(xué)歷。