高校新文科建設(shè)中數(shù)理模型簡化問題研究

【摘 要】 當(dāng)前許多文科領(lǐng)域在研究方法上越來越傾向于借助定量數(shù)理模型開展前沿研究，然而文科學(xué)習(xí)者和實(shí)務(wù)工作者數(shù)理工具基礎(chǔ)相對薄弱，造成研究與教學(xué)和應(yīng)用之間嚴(yán)重脫節(jié)。文章通過一個(gè)關(guān)于數(shù)理模型簡化路徑的思維框架發(fā)現(xiàn)，相對于自然語言模型、全模型、解說式模型、玩偶模型和數(shù)值模擬，數(shù)值示例可以大大降低文科數(shù)理工具門檻，同時(shí)保持科學(xué)研究的邏輯性、主要思想和發(fā)現(xiàn)，可以大幅度拉近“研、教、學(xué)、用”的距離。文章提出了數(shù)值示例開發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)流程，同時(shí)認(rèn)為推動(dòng)數(shù)值示例開發(fā)一方面需要高素質(zhì)專業(yè)學(xué)者隊(duì)伍的參與，也需要相應(yīng)的學(xué)術(shù)環(huán)境和資源配套。

【關(guān)鍵詞】 新文科；數(shù)值示例；理論模型；數(shù)理工具

【中圖分類號】 G640 【文章編號】 1003-8418（2024）10-0053-08

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【DOI】 10.13236/j.cnki.jshe.2024.10.007

【作者簡介】 秦文佳（1978—），女，江蘇無錫人，南京大學(xué)社會(huì)學(xué)院博士生，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)公共經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院副教授；張熠（1983—），男，山西長治人，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)公共經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、經(jīng)濟(jì)學(xué)博士（通訊作者）。

自20世紀(jì)50年代開始，不少人文社會(huì)學(xué)科開始大量借鑒自然科學(xué)研究中的定量研究方法，一方面更加注重通過數(shù)學(xué)理論模型進(jìn)行邏輯演繹，闡述學(xué)術(shù)思想和發(fā)現(xiàn)，另一方面更加注重通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，利用數(shù)據(jù)對理論進(jìn)行驗(yàn)證。這種趨勢起源于經(jīng)濟(jì)學(xué)，隨后也影響了社會(huì)學(xué)、政治學(xué)、管理學(xué)等許多學(xué)科，成為新文科特征之一。

數(shù)學(xué)工具的使用產(chǎn)生了兩方面效果：從積極的方面來看，大量模糊復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題能夠高度抽象概括為精煉的數(shù)學(xué)邏輯問題，使得各項(xiàng)討論都更加深入細(xì)致，大大促進(jìn)了文科的發(fā)展和科學(xué)化進(jìn)程［1］；從消極的方面來看，文科學(xué)習(xí)者和相關(guān)實(shí)務(wù)部門數(shù)理基礎(chǔ)總體偏低，隨著閱讀、了解和掌握前沿研究成果的門檻不斷提高，研究、講授、學(xué)習(xí)和應(yīng)用之間的距離拉大。這導(dǎo)致了幾個(gè)消極的后果：一是教學(xué)難度提高，最新的、更深刻的研究發(fā)現(xiàn)和思想成果難以走入本科生的課堂，教學(xué)和研究之間存在脫節(jié)；二是學(xué)生面臨的學(xué)習(xí)門檻過高，大量時(shí)間和精力需要消耗在數(shù)理工具的掌握上，擠壓了真正用來思考探索問題的時(shí)間和精力［2］［3］；三是學(xué)術(shù)研究門檻提高，導(dǎo)致研究中更注重形式上的嚴(yán)謹(jǐn)性，而非思想上的創(chuàng)新性和突破性，研究選題范圍受到很大限制，一些重大但不適合數(shù)理化的現(xiàn)實(shí)問題被有意地忽略［4］［5］［6］；四是影響了交叉學(xué)科發(fā)展和跨學(xué)科合作，相對數(shù)理基礎(chǔ)要求低的學(xué)科難以理解數(shù)理基礎(chǔ)成熟學(xué)科的發(fā)現(xiàn)，后者也無法將前者的思想成果都予以抽象化、數(shù)理化；五是束縛了前沿學(xué)術(shù)思想更大范圍的傳播，影響學(xué)術(shù)成果的推廣，當(dāng)實(shí)務(wù)界迫切希望學(xué)術(shù)界能提供可應(yīng)用的理論指引時(shí)，卻又難以閱讀和理解前沿研究成果發(fā)現(xiàn)［7］。

本文認(rèn)為在新文科建設(shè)中解決上述問題并不是要求前沿研究者刻意降低數(shù)理工具的應(yīng)用，而是可以通過數(shù)值示例的開發(fā)來溝通前沿研究與“教、學(xué)、用”之間的聯(lián)系，這對于提升我國文科的國際學(xué)術(shù)競爭力，促進(jìn)前沿成果轉(zhuǎn)化應(yīng)用是極為有利的。本文以社會(huì)保障經(jīng)濟(jì)學(xué)為例，主要探討數(shù)值示例開發(fā)的具體內(nèi)涵、理論和現(xiàn)實(shí)意義以及所需要的條件和學(xué)術(shù)環(huán)境。

一、理論模型簡化路徑

（一）“全模型”與“自然語言模型”

與自然科學(xué)類似，通過數(shù)理工具進(jìn)行社會(huì)科學(xué)研究，通常要求數(shù)理模型具有三個(gè)特點(diǎn)：一是嚴(yán)謹(jǐn)性，即數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程必須建立在精確的逐步邏輯分析上，沒有邏輯上的跳躍和模糊，這有助于清晰地刻畫變量之間的邏輯傳導(dǎo)過程；二是完整性，即模型能夠抽象概括研究問題的全部重要方面，模型中未分析的外生變量不會(huì)干擾模型主要機(jī)制、發(fā)現(xiàn)和結(jié)論；三是一般性，模型的假設(shè)條件盡可能地放松，能夠適用于大多數(shù)的情形，結(jié)論不依賴于特定的參數(shù)取值，具有很強(qiáng)的外推性。為了敘述方便，本文中將這種具有嚴(yán)謹(jǐn)、完整和一般性的模型稱為“全模型”，對應(yīng)于圖1中的A點(diǎn)。

全模型盡管能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治鲎兞恐g相互關(guān)系和彼此影響過程，但通常變量眾多，推導(dǎo)計(jì)算復(fù)雜，需要掌握不少高等數(shù)學(xué)技巧。在教學(xué)實(shí)踐中，直接向聽眾介紹全模型不僅教學(xué)時(shí)間長，過程較為乏味，也意味著教學(xué)要更加深入淺出、循循善誘，這對教師教學(xué)水平也提出了很高的要求?！叭Ｐ汀毕鄬Ρ容^適合于研究者同行交流以及面向博士二年級以上同學(xué)的課程，并且內(nèi)容應(yīng)是聽眾非常感興趣的重要問題。

與全模型相對應(yīng)的是完全用日常生活語言來解釋變量之間關(guān)系，同樣為了表述方便，在本文中稱之為“自然語言模型”，對應(yīng)于圖1中的B點(diǎn)。自然語言模型完全或基本不使用數(shù)學(xué)工具，模型的傳導(dǎo)機(jī)制以通俗而形象的語言來描述，對模型的嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性和一般性都沒有硬性的要求，多數(shù)的科普著作都使用這種語言。

自然語言模型比較適合面向非專業(yè)人士，側(cè)重于介紹一個(gè)理論最主要的發(fā)現(xiàn)、結(jié)論和基本的邏輯演繹思路。自然語言模型雖然較為通俗，容易使讀者初步理解或受到啟發(fā)，但是失去了對變量間相互傳導(dǎo)機(jī)制的完整展示，缺乏對假設(shè)前提和演繹證明過程的精確表述，所得結(jié)論的適用邊界不夠清晰，容易讓讀者產(chǎn)生“似是而非”“似懂非懂”的感覺。甚至相當(dāng)一部分思想較為深邃的研究很難通過自然語言就讓讀者領(lǐng)會(huì)其中的精妙之處，導(dǎo)致這些研究成果傳播范圍受限，沒有能夠轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)可應(yīng)用的知識(shí)。

因此，無論“全模型”還是“自然語言模型”都存在比較大的問題，前者過于專業(yè)，導(dǎo)致適應(yīng)受眾很小，而后者過于通俗，導(dǎo)致適應(yīng)這種方式的知識(shí)面很小。因此，拉近“研、教、學(xué)、用”的距離必須要對全模型進(jìn)行適度簡化，降低數(shù)學(xué)和理解上的難度，或?qū)ψ匀徽Z言進(jìn)行適度嚴(yán)謹(jǐn)化，更好地展示邏輯傳導(dǎo)過程。

（二） 理論模型簡化路徑

根據(jù)“全模型”的三個(gè)特點(diǎn)即嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性和一般性，也就演化出了三種不同的簡化路徑。

第一條路徑是“解說式模型”（illustrative model）。相對于全模型，“解說式模型”不強(qiáng)調(diào)機(jī)制的嚴(yán)謹(jǐn)性，可以允許部分邏輯環(huán)節(jié)存在缺失、模糊和跳躍，對應(yīng)于圖1中的C點(diǎn)。舉個(gè)例子來說，如圖2所示，假設(shè)全模型擬研究的問題是變量a如何影響到變量e，其中主要的路徑是從a到b再影響c，最終導(dǎo)致e。如果b到c的環(huán)節(jié)較為復(fù)雜，那么解說式模型可以較模糊地用自然語言來闡述這個(gè)環(huán)節(jié)，而先用較精確的數(shù)學(xué)語言來闡述變量a如何影響到變量b以及變量c如何影響變量e。

那么是否意味著從變量b到變量c的環(huán)節(jié)就不重要呢？通常來說并非如此。恰恰相反，變量b和c之間的關(guān)聯(lián)可能正是整個(gè)研究的重點(diǎn)。解說式模型只是為了先“掃除外圍”，將聽眾和讀者的注意力引導(dǎo)到最后這個(gè)核心機(jī)制上來，作者隨后會(huì)在全模型中對此進(jìn)行更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治觥?/p>

第二條路徑是“玩偶模型”（toy model）。相對于全模型，“玩偶模型”不強(qiáng)調(diào)完整性，通常是選取了模型中最核心的機(jī)制，加以高度抽象凝練。但是，玩偶模型本身傳導(dǎo)機(jī)制仍是清晰的，獲得結(jié)論的可推廣性也是可以保證的，對應(yīng)于圖1中的D點(diǎn)。舉例而言，在圖2中，除“a-b-c-e”這條主要機(jī)制外，還有一條變量b通過變量d再到變量e的次要機(jī)制。玩偶模型可以假設(shè)變量d外生，從而關(guān)閉這個(gè)次要機(jī)制，為理論分析營造一個(gè)純凈的思想實(shí)驗(yàn)環(huán)境，集中將主要機(jī)制分析清楚。

玩偶模型的特點(diǎn)是只選取了理論最重要的邏輯傳導(dǎo)路徑，但是要保證這個(gè)傳導(dǎo)路徑是暢通的，盡量避免模糊、缺失和跳躍的環(huán)節(jié)。在“玩偶模型”之后，研究者可以將更多外生變量或機(jī)制打開，以驗(yàn)證和說明即便在更完整的模型下，核心機(jī)制和結(jié)論也是成立無虞的。這種方式也有助于引導(dǎo)受眾重點(diǎn)關(guān)注模型的主要機(jī)制，迅速理解和把握理論模型的核心思想和發(fā)現(xiàn)。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，一旦模型包括不確定性、異質(zhì)性、一般均衡效應(yīng)以及動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，通常都不再有顯式解，因而也就很難完整展示理論機(jī)制。所以如果這些結(jié)構(gòu)只是為了完整地展示所有變量之間的關(guān)系，而不是核心機(jī)制，那么玩偶模型中就可以通過剔除這些效應(yīng)，獲得顯式解。

第三條路徑是“數(shù)值模擬”。數(shù)學(xué)模型的難度常常是由對一般性的追求導(dǎo)致的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是代數(shù)的運(yùn)用使得模型更為抽象，與現(xiàn)實(shí)問題有很大距離，直觀理解變得更加困難；二是假設(shè)過于一般化導(dǎo)致變量維度和數(shù)學(xué)處理難度提高。以經(jīng)濟(jì)學(xué)為例，在效用函數(shù)假設(shè)中，對數(shù)和平方根效用函數(shù)相對簡單，但是“常相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)效用函數(shù)”則復(fù)雜許多，而“Epstein-Zin效用函數(shù)”［8］更為一般化，也更復(fù)雜。在生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)中，從線性函數(shù)到“柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)”，再到常替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，最后到變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，也是越來越一般化，但數(shù)學(xué)上難度也不斷增加。因此，一種簡化的思路是拋開抽象的數(shù)學(xué)模型，而代之以具體的數(shù)值，對應(yīng)于圖1中的E點(diǎn)。在圖2中則意味著變量a、b、c、d、e都不是抽象的代數(shù)，而是具體的數(shù)值。近年來，不少經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究在數(shù)理模型推導(dǎo)后會(huì)給出數(shù)值模擬結(jié)果。這種數(shù)值模擬使得模型從一般抽象到具體，對于降低文章數(shù)理難度是有益的，而且由于有一個(gè)明確且直觀的數(shù)值結(jié)果，也更便于理論成果轉(zhuǎn)化運(yùn)用。

“解說式模型”“玩偶模型”和“數(shù)值模擬”在“全模型”的基礎(chǔ)上向“自然語言模型”靠攏，分別在嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性和一般性三個(gè)維度上做出了讓步，去掉了一個(gè)維度而保留兩個(gè)維度，從而降低了數(shù)理難度。然而，這種讓步仍然具有很大局限性，基本上是面向?qū)W術(shù)同行做出的讓步，而沒有真正地拉近“研、教、學(xué)、用”的距離。

具體來說，解說式模型和玩偶模型盡管有助于降低學(xué)術(shù)論文的數(shù)理難度，便于學(xué)術(shù)同行更快速地掌握論文中的核心思想、發(fā)現(xiàn)和結(jié)論，提高論文外審和得到認(rèn)可的效率，但是這種簡化仍然需要較高的前期知識(shí)儲(chǔ)備和數(shù)理基礎(chǔ)，并非面向初學(xué)者的，更多是面向大領(lǐng)域內(nèi)的同行以及高年級博士研究生。數(shù)值模擬仍然建立在完整的模型基礎(chǔ)上，使得模擬計(jì)算過程十分復(fù)雜，對數(shù)理統(tǒng)計(jì)、科學(xué)計(jì)算的要求很高，也很難直接應(yīng)用。例如，對實(shí)務(wù)者來說，盡管有一個(gè)定量的數(shù)值結(jié)果，但是由于對數(shù)值模擬背后的理論機(jī)制不甚清楚，無法判斷這個(gè)數(shù)值結(jié)果可信度如何，所以也不敢輕易采信數(shù)值結(jié)果作為決策依據(jù)。

二、數(shù)值示例的簡化路徑和開發(fā)流程

那么如何進(jìn)一步地簡化理論模型，從而真正面向初學(xué)者呢？我們必須再犧牲一個(gè)維度，只保留一個(gè)維度，那么應(yīng)該保留哪一個(gè)維度呢？

（一） 數(shù)值示例的簡化思路

在一些論述數(shù)學(xué)工具的論文特別是學(xué)術(shù)筆記中比較強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)工具的“一般性”，例如，專門研究效用函數(shù)形式的論文或介紹不同效用函數(shù)形式的學(xué)術(shù)筆記，對應(yīng)于圖1中的F點(diǎn)。然而，如果模型中絕大部分過程都是數(shù)值四則運(yùn)算和極為初步的微積分，那么學(xué)習(xí)難度就可以控制在中學(xué)階段，面向的受眾范圍將大為提高。“一般性”是導(dǎo)致數(shù)學(xué)難度升級的主要原因，而且通常承載的理論思想較小，所以首先被排除的就是“一般性”。

在多數(shù)綜述風(fēng)格的專業(yè)文章中比較強(qiáng)調(diào)“完整性”。我國傳統(tǒng)文科類論文和教學(xué)都基本采用這種風(fēng)格，對應(yīng)于圖1中的G點(diǎn)。如圖2中所示，這類文章會(huì)分兩點(diǎn)分別來闡述變量a和變量e之間的關(guān)系：先講述“a-b-c-e”這個(gè)主要傳導(dǎo)機(jī)制，然后再講述“a-b-d-e”這個(gè)次要關(guān)系。這種方式的優(yōu)點(diǎn)在于面面俱到，能夠讓人們對“變量a和e之間的關(guān)系”有一個(gè)總體的結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)。這類文章較少采用數(shù)學(xué)語言，而采用條分縷析的方式，也比較受實(shí)務(wù)者的歡迎，因此咨詢報(bào)告也多采用這種方式。但是單純強(qiáng)調(diào)“完整性”，而忽略了邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，將大大削弱這些研究的科學(xué)性，整個(gè)理論的傳導(dǎo)機(jī)制不夠清晰，許多邏輯環(huán)節(jié)上存在模糊、缺失和跳躍，更難以直接定量檢驗(yàn)理論的成立性。

我們認(rèn)為邏輯的“嚴(yán)謹(jǐn)性”是學(xué)術(shù)的靈魂，是新文科的重要特征，是最應(yīng)當(dāng)保留的部分。也就是說，我們可以利用玩偶模型，再采用數(shù)值的方式加以具體化，清晰地展示理論核心思想和邏輯傳導(dǎo)路徑。即便初學(xué)者也可以通過簡單的計(jì)算，從假設(shè)前提出發(fā)，一步一步演算，最終得到理論的核心發(fā)現(xiàn)和結(jié)論。這就需要數(shù)值示例，即圖1中的H點(diǎn)。

數(shù)值示例是將一個(gè)具有核心機(jī)制的玩偶模型進(jìn)一步數(shù)值化，從而用直觀的方式展現(xiàn)研究的核心機(jī)制、傳導(dǎo)過程和主要結(jié)論。相對于數(shù)值模擬，它通過犧牲完整性實(shí)現(xiàn)模型的高度簡化。相對于玩偶模型，它更為具體，通過犧牲一般性，僅依賴數(shù)值計(jì)算而非數(shù)學(xué)推導(dǎo)來展示核心思想，數(shù)學(xué)工具難度基本控制在高中數(shù)學(xué)范疇。數(shù)值示例選擇了與“解說式模型”不同的簡化思路：盡管犧牲了完整性和一般性，對于學(xué)生、公眾以及實(shí)務(wù)者來說，仍然可以非常清晰地看到完整或主要的邏輯環(huán)節(jié)和順序，把握學(xué)術(shù)成果的理論創(chuàng)新性和現(xiàn)實(shí)價(jià)值，而解說式模型則略過或模糊化部分邏輯環(huán)節(jié)，在一些情況下仍然容易給人以“似是而非”“似懂非懂”的感覺。

（二）數(shù)值示例的開發(fā)流程

數(shù)值示例的開發(fā)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持以受眾需求為導(dǎo)向的原則，我們提出了一個(gè)數(shù)值示例開發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)化流程，包括以下幾步：

步驟一是掌握“全模型”的基本原理、主要機(jī)制、核心結(jié)論和關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)。開發(fā)數(shù)值示例的前提是開發(fā)者對“全模型”要非常了解，明白哪些是理論模型不可或缺的部分，哪些實(shí)際上是為了達(dá)到“完整性”和“一般性”而進(jìn)行的拓展。

步驟二是對“全模型”盡可能簡化，建立“玩偶模型”。這一步非常關(guān)鍵，有點(diǎn)類似于“疊疊樂”積木玩具（一款經(jīng)典的木制益智積木玩具，玩家從堆疊起來的模型中輪流抽取小模塊，抽取導(dǎo)致模型垮塌的一方判輸），既要保持模型主體結(jié)構(gòu)不會(huì)“垮塌”，又要小心翼翼地剔除模型中非必需的部分。建立“玩偶模型”的過程主要是將全模型中的一些次要內(nèi)生機(jī)制關(guān)閉，將一些變量設(shè)為外生不變，同時(shí)采用更強(qiáng)的假設(shè)，將一些抽象的更一般的函數(shù)形式簡化為具體的函數(shù)形式，例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中采用對數(shù)、平方根等更簡單的效用函數(shù)，采用線性的生產(chǎn)函數(shù)等。但要注意的是，在這個(gè)過程中，要始終堅(jiān)持對受眾需求的分析，簡化理論模型的最終目標(biāo)永遠(yuǎn)是為了便于受眾理解和把握理論核心機(jī)制。

步驟三是對“玩偶模型”進(jìn)行賦值，使其從抽象的函數(shù)關(guān)系變?yōu)閿?shù)值關(guān)系。賦值過程中有兩點(diǎn)需要注意：一是賦值應(yīng)當(dāng)盡可能使得計(jì)算過程更為簡單，例如數(shù)值取整數(shù)優(yōu)于分?jǐn)?shù)和小數(shù)；二是數(shù)值范圍應(yīng)當(dāng)合理，并盡可能符合現(xiàn)實(shí)。雖然與數(shù)值模擬相比，數(shù)值示例中各參數(shù)取值并不要求特別精確，但與現(xiàn)實(shí)盡可能接近有助于加強(qiáng)數(shù)值示例的說服力，減少受眾的困惑。

步驟四是根據(jù)賦值，計(jì)算出模型主要結(jié)果。在這個(gè)過程中，應(yīng)當(dāng)完整地展示計(jì)算的全過程，逐步計(jì)算出最終的結(jié)果。對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，并根據(jù)需要探討參數(shù)取值對模型結(jié)果的影響，從而讓受眾完全理解模型背后的邏輯和傳導(dǎo)機(jī)制。

以上四個(gè)步驟中，第一步是前提，最關(guān)鍵的是第二步和第三步，這兩步抽絲剝繭地去除了全模型的“一般性”和“完整性”，最后一步展示了數(shù)值示例的邏輯“嚴(yán)謹(jǐn)性”。上述流程較好地體現(xiàn)了數(shù)值示例的簡化思路。

三、數(shù)值示例的開發(fā)案例

數(shù)學(xué)模型簡化的問題雖然廣泛存在于所有社會(huì)科學(xué)中，是新文科建設(shè)中面臨的普遍問題，但由于社會(huì)保障學(xué)科所具有的綜合性、交叉性、應(yīng)用性特點(diǎn)，表現(xiàn)得尤為突出。如果社會(huì)保障學(xué)科能夠很好地解決上述問題，推動(dòng)數(shù)理模型以通俗易懂的方式走入本科生課堂，促進(jìn)領(lǐng)域內(nèi)不同學(xué)科背景學(xué)者的交流，對于其他社會(huì)科學(xué)都有極高的借鑒意義。下面以社會(huì)保障的財(cái)務(wù)運(yùn)行模式為例，介紹如何建立數(shù)值示例。

（一） 樣例背景

社會(huì)保障的財(cái)務(wù)運(yùn)行模式主要分為兩種：現(xiàn)收現(xiàn)付制，即當(dāng)前發(fā)放給社會(huì)保障待遇領(lǐng)取者的資金主要直接向正在工作者征收的模式；積累制，即當(dāng)前發(fā)放給社會(huì)保障待遇領(lǐng)取者的資金主要來自既往的基金積累。圍繞這兩個(gè)模式的優(yōu)劣和社會(huì)福利效果，自1966年“艾隆條件”提出后，學(xué)者們進(jìn)行了長達(dá)半個(gè)多世紀(jì)的研究和爭論。Aaron提出在一定條件下，現(xiàn)收現(xiàn)付制可以實(shí)現(xiàn)資源的帕累托最優(yōu)配置［9］。隨后，經(jīng)濟(jì)學(xué)家在世代交疊模型中對這個(gè)理論進(jìn)行非常深入而持久的研究，發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題與政府債務(wù)［10］、資本黃金率［11］乃至房地產(chǎn)、金融泡沫等都有著很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)［12］，產(chǎn)生了極為豐碩的理論成果。

我們先運(yùn)用“自然語言模型”來闡述這一理論：“世代是無窮的，現(xiàn)收現(xiàn)付制特點(diǎn)是用后一代人的資金去贍養(yǎng)前一代人，如果下一代人口增長速度很快，或者下一代人的收入增長速度很快，那么與其讓上一代人存錢自我養(yǎng)老，不如直接將下一代人的收入轉(zhuǎn)移給上一代人，可以使得至少有一代人利益改善，而沒有任何一代人利益受損?！笨梢?，自然語言雖然比較通俗，也能較好地向非專業(yè)人士傳達(dá)一個(gè)理論的核心思想，但由于變量之間的邏輯關(guān)系不夠清晰，受眾處于“似懂非懂”的狀態(tài)，對理論的認(rèn)同和接受程度也會(huì)大打折扣。

下面我們看一下這個(gè)理論的“全模型”。首先需要建立一個(gè)世代交疊模型（Over lapping Generation Model，簡稱OLG），假設(shè)存在兩代人，每代人效用函數(shù)最大化問題為：

maxctt，ctt+1U（ctt，ctt+1，ltt） （1）

s.t.ctt=wtltt-St-Tt，ctt+1=St（1+rt+1）+Pt+1

t時(shí)刻出生的代表性行為人將生活兩期。第一期為年輕人，消費(fèi)為ctt，取決于工資收入wtltt中除去儲(chǔ)蓄預(yù)留以及社會(huì)保障繳費(fèi)后剩余的部分。wt為工資率，而ltt為勞動(dòng)時(shí)間。在進(jìn)入第二期或者說在t+1時(shí)刻成了老年人，對應(yīng)的消費(fèi)為ctt+1，取決于儲(chǔ)蓄連本帶息的積累額st（1+rt+1）以及社會(huì)保障待遇Pt+1。

除代表性行為人決策之外，全模型還應(yīng)當(dāng)描述：企業(yè)基于利潤最大化的決策，根據(jù)勞動(dòng)力和資本的價(jià)格，即工資和利率，選擇最優(yōu)的勞動(dòng)力雇傭水平以及使用的資本量；政府的預(yù)算平衡方程，即政府根據(jù)社會(huì)保障基金預(yù)算平衡的要求，確定繳費(fèi)和待遇水平；市場達(dá)到一般均衡條件，即產(chǎn)品市場和資本市場的出清過程。而且，上述模型是一個(gè)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，因此需要求解模型達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程。模型甚至還可以考慮不確定性、經(jīng)濟(jì)增長等許多新的內(nèi)生變量。

“全模型”的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)都是顯而易見的，一方面它很好地體現(xiàn)了邏輯的“嚴(yán)謹(jǐn)性”、分析的“完整性”以及模型設(shè)定上的“一般性”。另一方面“全模型”過于復(fù)雜，邏輯鏈條過長，涉及的變量和機(jī)制過多，數(shù)理難度過高，不適合本科教學(xué)、初學(xué)者學(xué)習(xí)以及實(shí)務(wù)者把握應(yīng)用。下面我們就分步驟論述如何構(gòu)建這個(gè)理論對應(yīng)的數(shù)值示例。

（二） 構(gòu)建數(shù)值示例

1. 步驟一：全模型分析

首先我們需要對“全模型”進(jìn)行分析，明確哪些是理論模型不可或缺的部分，哪些實(shí)際上是為了達(dá)到“完整性”和“一般性”而進(jìn)行的拓展。在上述社會(huì)保障財(cái)務(wù)運(yùn)行方式案例中，理論模型的核心機(jī)制是現(xiàn)收現(xiàn)付制可以通過代際贍養(yǎng)的方式，在一定條件下達(dá)成一個(gè)更優(yōu)資源分配狀態(tài)。因此，模型的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)、一般均衡效應(yīng)、不確定性、增長性以及工資如何決定，市場如何出清，都不是理論中最重要、最核心的部分。在玩偶模型中，這些次要機(jī)制均可以剔除或關(guān)閉。

2. 步驟二：建立玩偶模型

如前所述，帶有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)、不確定性和一般均衡效應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型通常都更為復(fù)雜，導(dǎo)致模型沒有顯式解，所以在本示例建立玩偶模型過程中，我們首先不考慮動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)、不確定性和一般均衡效應(yīng)。其次，本示例主要是分析勞動(dòng)者的行為，因此也不需要考慮企業(yè)決策行為。再次，在勞動(dòng)者行為決策問題中，勞動(dòng)供給也不是必需的，只要保留勞動(dòng)者在年輕和年老兩期的消費(fèi)情況即可。此外，可以將效用函數(shù)形式設(shè)為較為簡單形式：

U（ctt，ctt+1，ltt）=ctt·（ctt+1）β （2）

公式（2）中的效用函數(shù)保留了基本的邏輯關(guān)系，人們的效用取決于年輕時(shí)期和年老時(shí)期的消費(fèi)，β是折現(xiàn)率。接著，我們?nèi)サ裟Ｐ偷膭?dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)、一般均衡特征，假設(shè)一個(gè)“荒島”稟賦經(jīng)濟(jì)［13］。年輕和年老的兩代人生活在這個(gè)“荒島”上，荒島沒有任何可耕種的土地，只種植著一些椰子樹，定期會(huì)掉下椰子來，作為荒島唯一的產(chǎn)品，椰子樹即為“稟賦”。在t時(shí)刻出生的世代，年輕時(shí)期和年老時(shí)期的稟賦分別為ett和ett+1。暫時(shí)不要考慮荒島容納能力，假設(shè)荒島上的居民以穩(wěn)定的速度增長，每經(jīng)過一個(gè)世代人口翻一倍。t-1時(shí)刻出生的人數(shù)為Nt-1，則t時(shí)刻的人口增長為Nt。在稟賦經(jīng)濟(jì)下，均衡意味著不浪費(fèi)任何資源，個(gè)人消費(fèi)永遠(yuǎn)等于每個(gè)人獲得的稟賦，這也避免了個(gè)人效用最大化問題。

通過這個(gè)例子可以看出，建立“玩偶模型”的過程主要是將全模型中的一些次要機(jī)制關(guān)閉，將一些抽象的更一般的函數(shù)形式簡化為具體的易操作的函數(shù)形式，以便獲得顯式解，但是保留模型最主要的思想。

3. 步驟三：賦值計(jì)算

上述的玩偶模型已經(jīng)非常簡單，可以非常方便地進(jìn)行賦值運(yùn)算。首先，假設(shè)公式（1）中的貼現(xiàn)率為0.5，而每一代人年輕時(shí)的稟賦為2，年老時(shí)的稟賦下降為1。每代人的效用值為：

U（ctt，ctt+1）=ctt·（ctt+1）β=ett·（ett+1）β=2·（1）0.5=2  （3）

這樣的數(shù)值假設(shè)盡管簡單，但是體現(xiàn)了人們收入隨著年老而下降的風(fēng)險(xiǎn)，也產(chǎn)生了對社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的需求。其次，我們希望演示的是人口增長環(huán)境下現(xiàn)收現(xiàn)付制的優(yōu)勢，因此不妨如表1所示，假設(shè)t-1時(shí)刻人數(shù)Nt-1=100，到t時(shí)刻人口增長為200，此后依次遞增。

下面，我們說明現(xiàn)收現(xiàn)付制在一定條件下可以增進(jìn)社會(huì)福利。假設(shè)在每一個(gè)時(shí)刻，年輕人都從自己的稟賦中扣除1/3單位的稟賦，通過現(xiàn)收現(xiàn)付社會(huì)保障體系，稟賦交給了老年人。新的資源分配狀態(tài)如表1中括號內(nèi)的數(shù)字所示：初始的第0代人的稟賦為{ett，ett+1}={2，3/5}，后續(xù)世代的稟賦為{ett，ett+1}={3/5，3/5}。這樣的轉(zhuǎn)移支付是可行的，如在t+2時(shí)刻，每個(gè)年輕人轉(zhuǎn)移1/3，合計(jì)轉(zhuǎn)移1/3×400=400/3單位，每個(gè)老年人恰得到400/3/200=2/3。由于模型中每個(gè)老年人對應(yīng)于兩個(gè)年輕人，那么每個(gè)老年人可以得到2/3單位的稟賦。這時(shí)，初始的第0代人的效用為： U（c00，c01）=e0*0·（e0*1）β=2·（5/3）0.5=2.58

后續(xù)所有世代的效用為：

U（ctt，ctt+1）=et*t·（et*t+1）β=5/3.（5/3）0.5=2.15，t>0

由此得到了現(xiàn)收現(xiàn)付社會(huì)保障不存在和存在兩種情形下的福利水平。

4. 步驟四：結(jié)果說明

對比引入現(xiàn)收現(xiàn)付社會(huì)保障體系前后的社會(huì)福利水平可以發(fā)現(xiàn)，通過社會(huì)保障體系，對初始的第0代人來說，增長的效用相當(dāng)于提高了大約29%的稟賦（2.58/2-1）。對于后續(xù)世代來說，福利的增長也是巨大的。我們僅僅轉(zhuǎn)移相當(dāng)于年輕人稟賦16.67%（（1/3）/2=1/6）的資源，但是增長的效用卻相當(dāng)于原來每個(gè)年輕人的稟賦提高了7.58%（2.15/2-1），兩者之比達(dá)到：

7.58%/16.67%=45.5%

相當(dāng)于轉(zhuǎn)移一單位財(cái)富就等于創(chuàng)造了0.455單位的財(cái)富。這體現(xiàn)了在人口增長時(shí)，現(xiàn)收現(xiàn)付增進(jìn)社會(huì)福利的效果。

顯然，相對于自然語言模型，數(shù)值示例能夠更好地傳達(dá)世代交疊模型在社會(huì)保障財(cái)務(wù)運(yùn)行方面最重要的思想。相對于全模型，難度系數(shù)也大為降低，有助于學(xué)生建立對現(xiàn)收現(xiàn)付制運(yùn)行特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，這一稟賦模型還可以繼續(xù)擴(kuò)展：通過引入勞動(dòng)者的最優(yōu)儲(chǔ)蓄行為的選擇，可以完整演示艾隆條件，可以建立現(xiàn)收現(xiàn)付與國債之間等價(jià)性定理，可以演示現(xiàn)收現(xiàn)付制與最優(yōu)資本存量之間的對應(yīng)關(guān)系，甚至可以對中國養(yǎng)老金體系改革提供有益的參考。

四、總結(jié)與對策建議

自20世紀(jì)50年代開始，經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等文科越來越多地借鑒理科中廣泛使用的理論模型方法，這大大促進(jìn)了文科的發(fā)展和科學(xué)化進(jìn)程，但也導(dǎo)致文科前沿科研成果與普通大眾、初學(xué)者和實(shí)務(wù)部門之間的距離不斷拉大，這與文科關(guān)注人文社會(huì)的初衷并不相符。將前沿學(xué)術(shù)成果帶入本科生課堂，傳達(dá)給需要這些知識(shí)發(fā)現(xiàn)的實(shí)務(wù)工作者，正在變得越來越迫切。

學(xué)術(shù)研究中直接使用的“全模型”過于強(qiáng)調(diào)邏輯的“嚴(yán)謹(jǐn)性”、分析的“完整性”和變量關(guān)系的“一般性”，導(dǎo)致模型過于復(fù)雜，對專業(yè)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求過高，而科普作品中的“自然語言模型”則容易讓受眾產(chǎn)生“似懂非懂”的感覺?！皵?shù)值示例”在高度簡化的“玩具模型”基礎(chǔ)上，再進(jìn)行具體的數(shù)值計(jì)算，既保留了理論模型最核心的機(jī)制，又能大大降低專業(yè)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求，更適合本科生、初學(xué)者和實(shí)務(wù)工作者。本文提出了一個(gè)構(gòu)建數(shù)值示例的標(biāo)準(zhǔn)流程：第一步，掌握“全模型”的基本原理、主要機(jī)制、核心結(jié)論和關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)；第二步對“全模型”盡可能簡化，建立“玩偶模型”；第三步對“玩偶模型”進(jìn)行賦值，將變量間抽象的函數(shù)關(guān)系變?yōu)閿?shù)值關(guān)系；第四步，數(shù)值計(jì)算出主要結(jié)果，并對結(jié)果進(jìn)行分析說明。

科學(xué)知識(shí)的傳播通常不是“一站式”的，特別是學(xué)術(shù)前沿理論模型，往往需要“多級傳遞”：先從學(xué)術(shù)前沿到學(xué)術(shù)同行和博士生，再到本科生和初學(xué)者，最終面向大眾。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，第一個(gè)環(huán)節(jié)隨著我國文科學(xué)術(shù)體系的發(fā)展已經(jīng)建立了成熟的傳播系統(tǒng)。在第三個(gè)環(huán)節(jié)上，近年來隨著科普創(chuàng)作生態(tài)環(huán)境的改善和自媒體的發(fā)展，越來越多的科技工作者開始從事科普創(chuàng)作和宣傳。數(shù)值示例開發(fā)有助于彌補(bǔ)第二個(gè)環(huán)節(jié)的不足。本文接下來探討在新文科建設(shè)中完善數(shù)值示例開發(fā)體系的對策建議。

（一） 培養(yǎng)高素質(zhì)的數(shù)值示例開發(fā)人才

數(shù)值示例開發(fā)對人才素質(zhì)的要求較高。數(shù)值示例開發(fā)者首先要對“全模型”有著不亞于原創(chuàng)者的非常深刻的理解，才能很好地將全模型拆解開，保留理論模型核心機(jī)制的同時(shí)剔除或關(guān)閉擴(kuò)展衍生的部分。在這個(gè)過程中，數(shù)值示例開發(fā)者需要充分運(yùn)用各種簡化技巧，這就要求開發(fā)者非常清楚理論模型每個(gè)“元器件”扮演的角色，發(fā)揮的功能，方能刪繁就簡。最后，數(shù)值示例開發(fā)者還需要對受眾有充分的分析，掌握豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和技巧，從而能夠根據(jù)受眾需求進(jìn)行案例設(shè)計(jì)，有效地向受眾傳達(dá)理論模型的核心思想。

顯然，非專業(yè)性的科普工作者很難滿足上述三個(gè)條件，數(shù)值示例開發(fā)主要依賴在科研一線的高校文科教師。所以，應(yīng)當(dāng)向高校文科教師廣泛地推廣數(shù)值示例教學(xué)法，鼓勵(lì)教師自主設(shè)計(jì)、共同開發(fā)和分享優(yōu)秀的數(shù)值示例，逐步帶動(dòng)教師在完成前沿科研論文的過程中同步開發(fā)數(shù)值示例，進(jìn)一步擴(kuò)大個(gè)人學(xué)術(shù)成果的傳播和運(yùn)用范圍。

（二） 建立數(shù)值示例傳播共享平臺(tái)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，部分教師會(huì)自主設(shè)計(jì)數(shù)值示例，降低理論模型難度，便于學(xué)生理解。但是，這些數(shù)值示例散落在各個(gè)課程中，無法相互分享和組織共同開發(fā)，質(zhì)量也參差不齊。反過來，由于開發(fā)的數(shù)值示例缺乏傳播展示的平臺(tái)，不能轉(zhuǎn)化為個(gè)人標(biāo)志性的成果，也導(dǎo)致高校教師從事數(shù)值示例開發(fā)的熱情不足。

建議逐步建立三類數(shù)值示例的傳播共享平臺(tái)，簡稱為“一庫、一刊、一賽”：一是仿照“MBA案例庫”“MPA案例庫”等，建設(shè)各個(gè)學(xué)科的“數(shù)值示例庫”，選擇性收錄各類優(yōu)秀的數(shù)值示例，入庫的示例對外開放，供教師、同學(xué)和實(shí)務(wù)工作者使用；二是設(shè)立“數(shù)值示例”專門期刊，發(fā)表基于文科前沿研究成果的優(yōu)秀數(shù)值示例；三是設(shè)立“數(shù)值示例比賽”，鼓勵(lì)學(xué)者和在校學(xué)生參與數(shù)值示例的開發(fā)，對優(yōu)秀案例給予資助鼓勵(lì)。

（三） 規(guī)范和保護(hù)數(shù)值示例的產(chǎn)權(quán)

數(shù)值示例開發(fā)在著作權(quán)中應(yīng)當(dāng)被視為一種“改編權(quán)”。我國《著作權(quán)法》規(guī)定“改編權(quán)，即改變作品，創(chuàng)作出具有獨(dú)創(chuàng)性的新作品的權(quán)利”，具體可視為將“全模型”改編為“簡本”?！吨鳈?quán)法》第二節(jié)第三條規(guī)定，“改編、翻譯、注釋、整理已有作品而產(chǎn)生的作品，其著作權(quán)由改編、翻譯、注釋、整理人享有，但行使著作權(quán)時(shí)不得侵犯原作品的著作權(quán)”。另第十二條規(guī)定，“使用改編、翻譯、注釋、整理、匯編已有作品而產(chǎn)生的作品進(jìn)行出版、演出和制作錄音錄像制品，應(yīng)當(dāng)取得該作品的著作權(quán)人和原作品的著作權(quán)人許可，并支付報(bào)酬”。同時(shí)，在《著作權(quán)法》第四節(jié)第二十四條中也規(guī)定了不需要支付報(bào)酬的情形：“為學(xué)校課堂教學(xué)或者科學(xué)研究，翻譯、改編、匯編、播放或者少量復(fù)制已經(jīng)發(fā)表的作品，供教學(xué)或者科研人員使用，但不得出版發(fā)行?！边@表明正式出版數(shù)值示例仍然需要得到原作者許可并支付報(bào)酬，但完全可以用于課堂教學(xué)。建議規(guī)范和保護(hù)數(shù)值示例產(chǎn)權(quán)可以從以下三個(gè)方面著手：一是數(shù)值示例應(yīng)視為改編的新著作，尊重改編者的著作權(quán)，對侵權(quán)行為應(yīng)予打擊；二是公開出版數(shù)值示例應(yīng)當(dāng)取得原作者的許可，支付相應(yīng)報(bào)酬，這樣可以鼓勵(lì)全模型原作者自主開發(fā)數(shù)值示例，或者原作者與改編者合作共同開發(fā)；三是明確課堂教學(xué)和科研人員使用不受著作權(quán)限制，這樣可以擴(kuò)大數(shù)值示例的傳播范圍。

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The Simplification of Mathematical Models in the Construction of New Liberal Arts

Qin Wenjia，Zhang Yi

Abstract： At present， many fields of liberal arts are increasingly inclined to carry out frontier research with quantitative mathematical models in research methods. However， liberal arts learners and practitioners have relatively weak foundations in using mathematical tools， resulting in a serious disconnect between research and teaching， learning and application. Through a framework of thinking on the simplified path of mathematical models， this paper finds that compared with natural language models， full models， illustrative models， toy models and numerical simulations， numerical examples can greatly reduce the threshold of mathematical tools of liberal arts， while maintaining the logic， main ideas and discoveries of scientific research， thus greatly narrowing the gap between "research and teaching， learning and application". This paper proposes a standard process for the development of numerical examples， and provides a sample. We argue that promoting the development of numerical examples requires the participation of high-quality professional scholars on the one hand， and the corresponding academic environment and resources on the other hand.

Key words： new liberal arts; numerical examples; theoretical models; mathematical tools

（責(zé)任編輯 肖地生）