小學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)的內(nèi)涵、價(jià)值與培養(yǎng)策略

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的小學(xué)生核心素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)，推理意識(shí)是其中之一，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意落實(shí)教學(xué)內(nèi)容可視化、教學(xué)對象序列化、教學(xué)要素結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀推理、形成有序推理、建立模型推理，從而更好地促進(jìn)他們推理意識(shí)的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；推理意識(shí)；素養(yǎng)發(fā)展；直觀推理；有序推理；模型推理

【中圖分類號(hào)】G623.5 "【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A "【文章編號(hào)】1005-6009（2024）33-0047-04

【作者簡介】皋嶺，江蘇省蘇州市吳中區(qū)華中師范大學(xué)蘇州灣實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇蘇州，215104）黨支部副書記，高級教師，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，蘇州市優(yōu)秀教育工作者。

推理是邏輯行為的一種基本形式，也是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的重要工具。數(shù)學(xué)推理不僅是學(xué)科知識(shí)體系的基本邏輯，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)推理意識(shí)的培養(yǎng)，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知以及今后的學(xué)習(xí)和生活都具有至關(guān)重要的影響。為此，我們需要深入研究和實(shí)踐，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理意識(shí)。

一、小學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)的內(nèi)涵與價(jià)值

1.以推理的形式建構(gòu)數(shù)學(xué)體系，凸顯內(nèi)容的一致性與結(jié)構(gòu)化

推理是思維的基本形式之一，是指由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新的判斷（結(jié)論）的過程。數(shù)學(xué)推理是關(guān)于數(shù)學(xué)對象的推理，同時(shí)也是運(yùn)用數(shù)學(xué)對象的推理。數(shù)學(xué)推理是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知體系、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式。雖然數(shù)學(xué)推理不像具體案例那樣獨(dú)立呈現(xiàn)，但在學(xué)生的數(shù)學(xué)概念探索、數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)實(shí)踐創(chuàng)新等多個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中廣泛存在。推理意識(shí)對學(xué)生的數(shù)學(xué)高品質(zhì)學(xué)習(xí)和思維能力的多維度發(fā)展都具有重要的影響。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：推理一般包括合情推理和演繹推理。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)大多是建立在已有事實(shí)的基礎(chǔ)上的，他們憑借自己的經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，這就是合情推理在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初期建構(gòu)的具體應(yīng)用。隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷深入，他們的數(shù)學(xué)知識(shí)逐漸從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算，演繹推理就成了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的必要方式。這兩種推理方式在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)及解決問題的過程中相輔相成、缺一不可。學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系就是在這些不同形式的推理應(yīng)用的基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的，并通過推理凸顯其數(shù)學(xué)知識(shí)的一致性與結(jié)構(gòu)化。正如史寧中教授在《漫談數(shù)學(xué)的基本思想》一文中所指出的：“通過推理，得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展?！?/p>

2.以兒童的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，體現(xiàn)發(fā)展的階段性與人本化

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該以兒童為中心，引導(dǎo)他們采用與其認(rèn)知水平相適應(yīng)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。這不僅是兒童階段性數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的客觀需求，也是體現(xiàn)人本化教育理念的具體實(shí)踐。

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的主要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)推理作為核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性，對小學(xué)階段的推理意識(shí)和初中階段的推理能力分別進(jìn)行了闡述，提出小學(xué)階段的推理意識(shí)是指對邏輯推理過程及其意義的初步感知，同時(shí)對其實(shí)施過程從四個(gè)方面進(jìn)行了明確，包括“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”的合情推理要求，以及“通過法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程”的演繹推理要求。這些實(shí)施要求在學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)過程中得到了有效融合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理要面向兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理清思路，得出初步猜想，發(fā)現(xiàn)可能的結(jié)論，并指導(dǎo)他們運(yùn)用事實(shí)和邏輯進(jìn)行論證或說理。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，推動(dòng)他們形成“講道理、有條理”的思維品質(zhì)，從而為其推理能力的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)的培養(yǎng)策略

1.內(nèi)容可視化，進(jìn)行直觀推理

由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，不少學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)的培養(yǎng)面臨著一定的挑戰(zhàn)。因此，教師教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式將推理內(nèi)容可視化。這樣，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓數(shù)學(xué)推理變得更加直觀，促進(jìn)其數(shù)學(xué)推理意識(shí)的發(fā)展。

例如，教學(xué)蘇教版四上“商的變化規(guī)律”時(shí)，有教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察一組算式——6÷2=3、12÷4=3、18÷6=3、24÷8=3，根據(jù)這幾道算式的被除數(shù)、除數(shù)和商的變化情況歸納出商不變的規(guī)律。然而，這樣的推理內(nèi)容往往會(huì)由于算式過于抽象，致使學(xué)生難以理解；另外，僅憑幾道算式就得出商不變的普遍規(guī)律，學(xué)生也難以完全接受。那么，如何解決這一問題呢？教師可以運(yùn)用推理內(nèi)容可視化的方法（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生通過形象、直觀的方式進(jìn)行有效推理。

首先，借助與除法算式一一對應(yīng)的等分實(shí)物情況直觀形象地理解：總數(shù)（被除數(shù)）乘或除以幾，平均分的份數(shù)（除數(shù)）同時(shí)乘或除以幾，每份數(shù)（商）不變。接著，用條形圖代替實(shí)物，這樣，商的變化規(guī)律不僅依然存在，還拓展了兒童的推想空間。一方面，無論條形數(shù)量按規(guī)律依次增多或減少，每一小段條形（表示商）都保持不變。由此可知，算式按照這樣的規(guī)律寫下去，雖然無法完全列出，但借助直觀的條形圖也能幫助學(xué)生理解規(guī)律的延續(xù)性。另一方面，每一小段條形不僅可以表示商是3，還可以看成其他數(shù)，如1、2、4……這樣，就把無限多商不變規(guī)律的算式通過直觀圖示體現(xiàn)出來了。雖然這里是不完全歸納推理，但有了直觀圖示的支撐，也能實(shí)現(xiàn)完全歸納推理的效果。

2.對象序列化，形成有序推理

歸納與類比是學(xué)生進(jìn)行合情推理的主要形式。學(xué)生在進(jìn)行歸納或類比推理時(shí)，往往要將研究對象進(jìn)行序列化，即把事物或問題按照一定規(guī)律排列成有序的序列，從而便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納或類比推理。

例如，教學(xué)蘇教版五上“解決問題的策略：列舉”時(shí)，教師出示如下問題情境：王大叔用22根1米長的木條圍一個(gè)長方形花圃，怎樣圍面積最大呢？為了解決這個(gè)問題，學(xué)生根據(jù)“長+寬=22÷2=11（米）”這個(gè)條件，借助表格列舉出長與寬符合條件的不同長方形，進(jìn)而探索出當(dāng)長為6米、寬為5米時(shí)，長方形花圃的面積最大，達(dá)到了30平方米。但是，學(xué)生在使用列舉策略解決問題后，往往會(huì)產(chǎn)生一種猜想：在周長一定的情況下，圍成長方形的長與寬的數(shù)值越接近，面積就越大。然而，僅憑周長為22米的長方形進(jìn)行的變化，并不能充分證明這個(gè)猜想的正確性。如何突破這一難點(diǎn)呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用推理對象序列化的方法，將長方形（特殊情況下是正方形）相鄰的兩條邊長借助表格進(jìn)行有序列舉（如圖2），然后填入相應(yīng)的面積。

在圖2所示的表格中，從右上到左下畫的每一條斜線段，都是在將周長相等的長方形（特殊情況下是正方形）圍成的面積數(shù)值串聯(lián)起來。不難看出，每條線段上的數(shù)值越靠近中間，面積的數(shù)值就越大，即周長一定，圍成長方形（特殊情況下是正方形）的長與寬的數(shù)值越接近，面積就越大。數(shù)有基數(shù)和序數(shù)兩種不同屬性，在推理過程中充分運(yùn)用數(shù)的這兩種屬性，使推理過程與對象的呈現(xiàn)變得更加有序，不僅可以更加直觀地驗(yàn)證猜想的正確性，還能使學(xué)生的推理更加嚴(yán)謹(jǐn)、縝密。

3.要素結(jié)構(gòu)化，建立模型推理

很多數(shù)學(xué)問題都涉及多個(gè)要素之間的關(guān)系，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生將這些要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，通過建立模型分析和解決數(shù)學(xué)問題。這種方式不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理意識(shí)和能力，還有助于他們更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，教學(xué)蘇教版三下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，在解決“用5、7、2、4這四個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式：□□×□□，積最大是多少？”這道題目時(shí)，學(xué)生通常會(huì)想到先運(yùn)用列舉的方法，把四個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式一一列舉出來，如57×24、57×42、52×74、52×47、54×27、54×72等，然后分別計(jì)算出它們的積，最后找出積最大的算式。他們也會(huì)感到困惑：能否把這些算式全部列舉出來呢？另外，要把列舉出來的算式全部準(zhǔn)確計(jì)算出得數(shù)，需要花很長時(shí)間。這時(shí)，教師適時(shí)組織學(xué)生同桌合作開展“擺數(shù)字卡片組乘法算式”的互動(dòng)游戲，引導(dǎo)他們在二維矩陣模型（如下頁圖3）中分別擺出兩個(gè)乘數(shù)上的數(shù)字。他們首先想到5和7是兩個(gè)較大的數(shù)字，應(yīng)該放在乘數(shù)的十位A或C上，得到兩者的乘積是3500。接下來，最關(guān)鍵的一步就是數(shù)字4的位置，放在D或B上對積的影響都比較大，再結(jié)合最大數(shù)字7所放的位置進(jìn)行統(tǒng)籌考慮，如果7放在A，那么4就放在D；如果7放在C，那么4就放在B。最后，剩下的一個(gè)位置就放數(shù)字2。

引導(dǎo)學(xué)生借助矩陣模型對決定乘積的四個(gè)要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析，能使他們的推理分析過程就像下棋一樣生動(dòng)有趣，從而能很快地解決問題。建立推理分析以后，即便換成其他四個(gè)數(shù)字來組成這樣的算式，學(xué)生也能快速推導(dǎo)出結(jié)果。

綜上所述，明晰了數(shù)學(xué)推理意識(shí)的內(nèi)涵與價(jià)值，結(jié)合內(nèi)容可視化、對象序列化、要素結(jié)構(gòu)化等培養(yǎng)策略，將能使數(shù)學(xué)推理變得更加有趣、有序、有意義，進(jìn)而更好地推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)的深入發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

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