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    選編“好的問題”,踐行“三學(xué)”課堂

    2024-10-18 00:00:00李庾南劉東升
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓切線

    “自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法倡導(dǎo)“三學(xué)”(即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成),在新授課中,特別是單元教學(xué)中實踐較多。近一段時間以來,筆者用較多的時間和精力在九年級開展課堂教學(xué)與研究,對九年級復(fù)習(xí)課有較多的實踐和思考。本文以九年級“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例,談?wù)勅绾芜x編“好的問題”,踐行“三學(xué)”課堂。

    一、“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計

    活動1:過一點作圓的切線

    問題1:已知⊙O,如圖1,過一點P,畫出⊙O的切線。

    教學(xué)預(yù)設(shè):這是一道“結(jié)構(gòu)不良問題”。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在所給的圖1中沒有點P時,教師可及時引導(dǎo):“同學(xué)們,你們可在圖1中添出一個點P,繼續(xù)求解?!边@時學(xué)生就會想到需要分類討論(如圖2—4)。在三種點和圓的位置關(guān)系出示之后,教師可順便安排學(xué)生復(fù)習(xí)點到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系(為節(jié)約用時,教師可以提前準(zhǔn)備PPT以配合學(xué)生講解)。在圖2中,點P在⊙O外,過點P可以畫出兩條切線;圖3中,點P在⊙O上,過點P可以畫出一條切線;圖4中,點P在⊙O內(nèi),過點P不能畫出切線。特別是,結(jié)合圖4,學(xué)生會說出過圓內(nèi)一點P不能畫出圓的切線,教師可追問:“能否畫圖演示,為什么不能畫出圓的切線?”學(xué)生可能會過點P畫出圓的割線,看出此時畫的線與圓有兩個公共點,不符合圓的切線定義,順勢也就復(fù)習(xí)了圓的切線、直線和圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識。教師可結(jié)合PPT呈現(xiàn)相關(guān)知識結(jié)構(gòu)圖(或思維導(dǎo)圖)。

    需要說明的是,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將尺規(guī)作圖“過圓外一點作圓的切線”作為選學(xué)內(nèi)容,所以我們先安排的是“畫切線”活動,然后結(jié)合學(xué)情,相機(jī)安排學(xué)生“用尺規(guī)作圖,過圓上一點或圓外一點作圓的切線”。教師還可預(yù)設(shè)不同的作法,如文獻(xiàn)[2]中的教學(xué)實踐,作為教學(xué)引導(dǎo)時的“備用”。

    活動2:切線長定理及基本圖形的研究

    問題2:如圖5,PA、PB是⊙O的切線,切點分別是點A、B,射線PO交⊙O于點D、E,交弦AB于點C,你能找到哪些相等的線段和哪些相等的角?

    教學(xué)預(yù)設(shè):教師組織學(xué)生復(fù)習(xí)切線長定理時,可安排學(xué)生分組交流后,再在班級內(nèi)進(jìn)行匯報展示。如果學(xué)生講解圖5中相等的線段或角比較“雜亂、無序”,教師可追問其他學(xué)生“能否更加有序地說說,以便不重不漏”。教師在點評時,要注意從軸對稱(對稱軸是直線PO)和全等三角形的角度進(jìn)行小結(jié)。順便指出,若是中考復(fù)習(xí)課,教師還可從相似的角度追問:“圖中有相似三角形嗎?舉例說說?!?/p>

    活動3:三角形的內(nèi)切圓和外接圓

    問題3:(在圖2的基礎(chǔ)上)如圖6所示,在⊙O上取一點C,過點C作⊙O的切線,并與⊙O的切線PA、PB相交于點Q、M。結(jié)合圖6,你想到了哪些數(shù)學(xué)概念?

    教學(xué)預(yù)設(shè):這是三角形內(nèi)切圓的基本圖形,學(xué)生能聯(lián)想到三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心等數(shù)學(xué)概念。這時教師可根據(jù)學(xué)情,繼續(xù)安排以下幾個小問題,幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角形內(nèi)切圓的相關(guān)知識或性質(zhì)。

    (1)任意畫一個△ABC,如何用尺規(guī)作圖作出它的內(nèi)切圓?(學(xué)生在小組內(nèi)交流構(gòu)圖思路和作法,然后教師安排學(xué)生口頭匯報作法步驟即可。教師也可以根據(jù)教情、學(xué)情,相機(jī)安排學(xué)生在黑板上進(jìn)行作圖演示。)

    (2)如圖6,若△PQM的周長為12,內(nèi)切圓的半徑r=1,求△PQM的面積。

    (3)若圖6中,QM=9,PQ=13,PM=14,求PA、QC、MB的長。

    以上幾個問題都是新授課期間教材上曾出現(xiàn)的例題、習(xí)題,復(fù)習(xí)時應(yīng)該不會耗時太多。如果學(xué)情較好,“問題3”的以上設(shè)問也不必全部呈現(xiàn),以“開放式問題”代之,比如“請同學(xué)們結(jié)合圖6,設(shè)計一個問題并交流,有興趣的同學(xué)可以在課后深入研究”。

    問題4:如圖7,在Rt△MPQ中,∠PQM=90°,⊙O是△MPQ的內(nèi)切圓,切點分別為點A、B、C。

    (1)當(dāng)∠MPQ=40°時,求∠POQ的度數(shù)。

    (2)若AP=6,MC=4,請設(shè)計一個問題,先在小組內(nèi)交流,再在班級內(nèi)展示設(shè)計意圖與求解思路。

    教學(xué)預(yù)設(shè):第(1)問可直接根據(jù)三角形內(nèi)角和、角平分線性質(zhì)求解;第(2)問比較開放,教師要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的設(shè)問,如求Rt△MPQ各邊長、圖7中所有線段的長、內(nèi)切圓⊙O的半徑、三角形PQM的周長與面積,等等。在學(xué)生交流展示各組的設(shè)計問題之后,教師給出以下追問,將問題進(jìn)一步變式拓展。

    追問1:上面已經(jīng)復(fù)習(xí)了三角形的內(nèi)切圓及作法,同學(xué)們想一想,怎樣作出一個三角形的外接圓呢?圖7中,有比較快的方法作出直角三角形MPQ的外接圓嗎?

    教學(xué)預(yù)設(shè):通過“追問1”,順勢復(fù)習(xí)三角形的外接圓、外心等數(shù)學(xué)概念。學(xué)生熟悉相關(guān)作法,而圖7中的△PQM是直角三角形,作出其外接圓的較快的方法是先確定外心(斜邊PM的中點),這樣就可以很容易地作出△PQM的外接圓了。

    追問2:在上面第(2)問的條件下,設(shè)O′是△MPQ的外心,求OO′的長。

    教學(xué)預(yù)設(shè):“追問2”的本質(zhì)是分析“三邊分別為6、8、10的直角三角形的內(nèi)心與外心之間的距離”。

    活動4:課堂小結(jié)

    小結(jié)問題1:今天我們復(fù)習(xí)了點和圓、直線和圓、三角形和圓的位置關(guān)系,我們是如何來研究的?哪些問題給你留下了較深的印象?

    預(yù)設(shè):本節(jié)課我們是從“過一點,畫圓的切線”開始,依次復(fù)習(xí)了點和圓的位置關(guān)系、切線長定理、三角形內(nèi)切圓和外接圓,并且復(fù)習(xí)了一些典型習(xí)題。

    小結(jié)問題2:研究一個圖形(如點、線或三角形)與圓的有關(guān)位置關(guān)系,你積累了哪些經(jīng)驗?

    預(yù)設(shè):如研究圖形的組成元素與圓的組成元素之間的位置關(guān)系,這些關(guān)系對應(yīng)著一定的數(shù)量關(guān)系。

    小結(jié)問題3:四邊形一定有內(nèi)切圓嗎?四邊形一定有外接圓嗎?如果一個四邊形既有內(nèi)切圓,又有外接圓,那這個四邊形的邊、角之間有什么樣的關(guān)系?請有興趣的同學(xué)課后深入研究。

    預(yù)設(shè):四邊形不一定有內(nèi)切圓,也不一定有外接圓。如果一個四邊形既有內(nèi)切圓,又有外接圓,這樣的四邊形對角互補,對邊之和相等。

    二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

    1.選編好的問題,讓畫圖活動驅(qū)動復(fù)習(xí)進(jìn)程

    關(guān)于如何選編“好的問題”驅(qū)動教學(xué)進(jìn)程,文獻(xiàn)[3]中提出“好的問題”要有“數(shù)學(xué)味”“盡量串聯(lián)整節(jié)課”。想來,本文關(guān)注的這節(jié)復(fù)習(xí)課各個環(huán)節(jié)的問題設(shè)計也追求了上述特點。比如,開課階段,筆者安排了一道“結(jié)構(gòu)不良問題”(過一點,畫出圓的切線),對于思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生,教師可以先安排小組交流,以完善他們的認(rèn)知,然后通過全班學(xué)生交流,展現(xiàn)學(xué)生對這個問題的“完整思考”;在后續(xù)復(fù)習(xí)進(jìn)程中,筆者始終圍繞“活動1”畫出的圖形進(jìn)行變式、改編,整節(jié)課都圍繞著開課階段得出的基本圖形漸次展開、由淺及深,實現(xiàn)了好的問題(伴隨畫圖活動)驅(qū)動整節(jié)課的復(fù)習(xí)進(jìn)程。

    2.預(yù)設(shè)開放式問題,用相機(jī)追問凸顯復(fù)習(xí)深度

    鄭毓信教授多年前就倡導(dǎo)“從開放題走向開放式教學(xué)”。然而我們看到的不少復(fù)習(xí)課中,由于使用了大容量的習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案,使得復(fù)習(xí)課成為“一題接著一題”的習(xí)題講評課,雖然在一些習(xí)題的講評過程中有些師生的對話,但大多停留在“師問生答”的較低層面,整體上看,教學(xué)過程是比較封閉的。為了讓教學(xué)從封閉走向開放,我們在上述課例的教學(xué)設(shè)計中安排了多處的“開放式問題”,除了上述提到的開課階段的“結(jié)構(gòu)不良問題”(也可看成開放式問題)外,“問題2”“問題3”“問題4”在題干呈現(xiàn)之后,都安排了開放式問題,促進(jìn)了后續(xù)的開放式教學(xué)。值得一說的是,這些開放式問題,并不是簡單放手,也不是上課時任由學(xué)生“踩著西瓜皮,滑到哪里是哪里”,而是需要教師在課前充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的回答以及教師要給出什么樣的點評或追問,特別是通過恰到好處的追問,凸顯和追求復(fù)習(xí)的深度。

    3.構(gòu)思小結(jié)問題,幫學(xué)生梳理、回顧復(fù)習(xí)內(nèi)容

    復(fù)習(xí)課的教學(xué)時間常常難以把控,往往因為有些較難問題的課堂展示、點評用時偏多,就會擠占課堂小結(jié)的時間。筆者建議,教師在課前就要精心構(gòu)思“小結(jié)問題”,讓小結(jié)問題幫助學(xué)生梳理回顧整節(jié)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容。特別地,要通過“小結(jié)問題”與前面的各個復(fù)習(xí)課進(jìn)行關(guān)聯(lián)、呼應(yīng),使其成為復(fù)習(xí)課不可或缺的重要環(huán)節(jié)。如上文“小結(jié)問題1”安排學(xué)生回顧本節(jié)課是如何復(fù)習(xí)的,“小結(jié)問題2”讓學(xué)生梳理、積累研究幾何問題的方法與經(jīng)驗。當(dāng)然,作為必要的拓展與研究展望,筆者還預(yù)設(shè)了“小結(jié)問題3”,讓學(xué)余有力的學(xué)生繼續(xù)探究、挑戰(zhàn)“既有內(nèi)切圓又有外接圓的四邊形的性質(zhì)”。需要指出的是,像“小結(jié)問題3”這樣的課前預(yù)設(shè),也需要像“課中”很多預(yù)設(shè)的追問一樣,根據(jù)教情、學(xué)情相機(jī)呈現(xiàn),有的放矢。想來,這也是“預(yù)設(shè)要大于生成”的一種備課追求吧。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022(4).

    [2]王強(qiáng).基于確定性下的尺規(guī)作圖[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2021(8):58-61.

    [3]劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅(qū)動課堂——由美國莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說起[J].教育研究與評論(課堂觀察),2016(11):65-68.

    [4]鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2007(7):1-4.

    本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學(xué)’立人的實踐研究”(課題編號:TSXM/2021/06)階段性研究成果。

    (作者單位:1.江蘇省南通市啟秀中學(xué);2.江蘇省南通市教育科學(xué)研究院)

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