高考數(shù)學(xué)“新定義型”壓軸題的命制研究

【摘 要】 隨著2024年高考數(shù)學(xué)試卷新結(jié)構(gòu)的公布，引入新概念、新運(yùn)算、新性質(zhì)并以此為基礎(chǔ)為學(xué)生搭建思維平臺的“新定義型”壓軸題悄然興起.高質(zhì)量壓軸題中的新定義具有兩大特征：內(nèi)容上，新定義的提煉基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》所要求的核心知識；表述上，新定義的引入簡明扼要.基于對新定義的上述認(rèn)識，以一道函數(shù)“新定義型”壓軸題的創(chuàng)作為例，從素材選擇、設(shè)問方式和素養(yǎng)考查等方面探索“新定義型”壓軸題的命題思路，并結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行命題反思.

【關(guān)鍵詞】 新定義；“新定義型”壓軸題；命制思路；命題反思

所謂“新定義型”題，指在命題中定義新概念（對象、符號）、新運(yùn)算（規(guī)則）、新變換、新性質(zhì)（定理、方法、關(guān)系）等，要求學(xué)生理解新定義，并結(jié)合自身的知識和技能，分析和解決新問題的一類題型.隨著新課程新教材的實(shí)施和高考命題改革的推進(jìn)，“新定義型”壓軸題正在悄然興起.

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在“學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議”中指出“在命題中，選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體”“應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識，問題情境的設(shè)計應(yīng)自然、合理”［1］，在壓軸題中引入新定義，正是創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，考查學(xué)生信息遷移能力和學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識的有效手段.

在近幾年教育部教育考試院組織命制的高考適應(yīng)性考試中，壓軸題（全卷最后一題）都是以高等數(shù)學(xué)中的重要概念或結(jié)論為背景，比如2023年適應(yīng)性考試（四省聯(lián)考）第22題（橢圓曲線加密算法）、2024年適應(yīng)性考試（九省聯(lián)考）第19題（離散對數(shù)）.在高考數(shù)學(xué)試卷新結(jié)構(gòu)中，壓軸題（第19題）共設(shè)置3個小題，分值提高到17分，對考生（尤其是想沖擊高分的考生）而言，壓軸題的重要性不言而喻.

正是由于壓軸題的新穎性和重要性，使得在2024年高考數(shù)學(xué)試卷新結(jié)構(gòu)公布后，“新定義型”壓軸題迅速成為一線師生和教研員關(guān)注的焦點(diǎn).各地模擬題中以高等數(shù)學(xué)知識為背景的“新定義型”問題，如雨后春筍般涌現(xiàn)，常見的問題背景包括微積分中的泰勒展開、微分中值定理、曲線的曲率（半徑）等，空間解析幾何中的平面方程、代數(shù)中的矩陣和線性變換、概率論中的極大似然估計等.大部分“新定義型”模擬題都很“硬核”地要求學(xué)生推導(dǎo)新定義下的新結(jié)論、新性質(zhì)等，比如某市模擬題給出點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中集合的“勢”這個新定義之后，就讓學(xué)生研究可數(shù)集與不可數(shù)集之間能否構(gòu)造一一對應(yīng)的映射.

以高等數(shù)學(xué)知識為背景的“新定義型”壓軸題，具有兩方面的明顯優(yōu)勢：一方面，試題背景新穎，能夠有效考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，這是無法通過“機(jī)械刷題”所能達(dá)到的，因此在一定程度上能克服教學(xué)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”；另一方面，試題對學(xué)生的思維水平要求高，尤其是對信息遷移能力提出較高要求，因而具備了良好的選拔功能.“新定義型”壓軸題顯著的評價選拔功能和教學(xué)引導(dǎo)作用，也對相應(yīng)的試題命題技術(shù)提出了很高的要求.

筆者分析了2024年各地模擬考試中的一批“新定義型”壓軸題，發(fā)現(xiàn)此類模擬題往往題目閱讀量大、考查知識點(diǎn)偏.一方面，為了在高中數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)上，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匾敫叩葦?shù)學(xué)中的新概念、新運(yùn)算、新變換、新性質(zhì)，命題人需要對新定義進(jìn)行適度初等化，題干的文字篇幅難免就不可控地拖沓冗長起來.另一方面，高等數(shù)學(xué)背景下的新定義，有些較難與高中數(shù)學(xué)核心知識緊密結(jié)合，導(dǎo)致“新定義型”壓軸題考查的知識點(diǎn)較偏.比如上文提及的新定義“集合的勢”，核心問題是研究“可數(shù)集與不可數(shù)集之間能否構(gòu)造一一對應(yīng)的映射”，這就不屬于高中數(shù)學(xué)的核心知識.

在“新定義型”壓軸題中引入的“新定義”，倘若不能與高中數(shù)學(xué)核心知識緊密結(jié)合，便極有可能給一線教學(xué)帶來負(fù)面導(dǎo)向.眾所周知，指望學(xué)生在考場上學(xué)習(xí)一整套知識系統(tǒng)顯然是不現(xiàn)實(shí)的，師生為了應(yīng)對高等數(shù)學(xué)背景下的“新定義型”壓軸題，難免會傾向于在備考時大量（且盲目地）補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)知識，這將大大增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，與命題改革的初衷背道而馳.筆者的這種擔(dān)憂并非杞人憂天，近些年來高考數(shù)學(xué)卷中多次出現(xiàn)以“極點(diǎn)與極線”為背景的圓錐曲線解答題之后，市面上系統(tǒng)介紹“射影幾何結(jié)論在解高考題中的應(yīng)用”的教輔讀物就鋪天蓋地出現(xiàn)了.

鑒于不適當(dāng)?shù)摹靶露x型”壓軸題對數(shù)學(xué)教學(xué)可能產(chǎn)生的不良導(dǎo)向，筆者提出兩個問題：“新定義型”壓軸題應(yīng)該引入什么樣的新定義？如何命制“新定義型”壓軸題？

2 高質(zhì)量壓軸題中新定義的兩大特征

《課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)命題設(shè)計的創(chuàng)新，其中的案例“距離問題”就是“新定義型”問題的典范.《課程標(biāo)準(zhǔn)》研制組組長史寧中教授認(rèn)為，命題設(shè)計“應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)變：一個轉(zhuǎn)變是關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成；另一個轉(zhuǎn)變是考查學(xué)生的思維能力”，并以設(shè)計“理解兩點(diǎn)間距離的問題”為例加以說明［2］.不難看出，《課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的“新定義型”問題具有鮮明的兩大特征：（1）基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的核心知識來提煉新定義，并能構(gòu)建凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu).新定義可能有高等數(shù)學(xué)的背景，但并不直接引入高等數(shù)學(xué)中的某個知識系統(tǒng)；（2）新定義的引入簡明扼要，創(chuàng)設(shè)的問題情境可能復(fù)雜，但文字陳述并不紛繁.

除了《課程標(biāo)準(zhǔn)》可以指導(dǎo)我們探索“新定義型”壓軸題的命制，高考數(shù)學(xué)上海卷壓軸題的命題經(jīng)驗(yàn)也值得借鑒.自2017年施行“3+3”高考制度以來，上海卷壓軸題（第21題）都是設(shè)置3個小題，滿分18分，并且都是關(guān)于函數(shù)（或數(shù)列）的“新定義型”問題（如表1），試題質(zhì)量較高，受到一線教師的廣泛贊譽(yù).

分析上海卷函數(shù)壓軸題中的新定義，同樣也能歸納出：高質(zhì)量的“新定義型”問題并不一定取材于高等數(shù)學(xué)知識，而是基于對高中數(shù)學(xué)核心知識的深入挖掘，新定義應(yīng)具備前文已概括的兩大特征，簡而言之就是“內(nèi)容精準(zhǔn)、表述簡潔”.

3 對“新定義型”壓軸題命制思路的探索

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指明了命制“新定義型”壓軸題的大方向，上海卷壓軸題則提供了具體命題技術(shù)上的寶貴經(jīng)驗(yàn).參考這兩方面的信息，筆者認(rèn)為，命制“新定義型”壓軸題，需要從素材選擇、設(shè)問方式和素養(yǎng)考查等方面進(jìn)行綜合考慮，這對教師理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解評價的能力都提出了較高的要求.下面以筆者命制的一道函數(shù)壓軸題為例，談?wù)劇靶露x型”壓軸題的命制思路.

3.1 選擇問題素材

函數(shù)壓軸題中的新定義，應(yīng)植根于函數(shù)核心知識：定義域和值域、函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）、函數(shù)的應(yīng)用（零點(diǎn)）、冪指對及三角等基本初等函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.在設(shè)計系列問題（3個小題）時應(yīng)盡量多覆蓋核心知識，在核心問題（通常置于第3小題）設(shè)計上要具備較高的思維能力要求，凸顯壓軸題的選拔功能.

單調(diào)遞增函數(shù)（滬教版教材稱為“嚴(yán)格增函數(shù)”）可以用“對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2＞0”來刻畫，將“差”改為“和”可以得到新性質(zhì)P：“對任意x1，x2∈R，x1+x2≠0，都有f（x1）+f（x2）x1+x2＞0”.在具體函數(shù)選擇上，考慮到函數(shù)定義域?yàn)镽，因而選擇指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及它們的和函數(shù).在核心問題設(shè)計上，新性質(zhì)P與函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有關(guān)，故將核心問題定為：若f（x）是具有性質(zhì)P的連續(xù)函數(shù)，則“f（x）是嚴(yán)格增函數(shù)”的充要條件是“f（x）是奇函數(shù)”.

對于具有性質(zhì)P的函數(shù)f（x），在審視其單調(diào)性與奇偶性之間的邏輯關(guān)系時，奇函數(shù)嚴(yán)格增是顯然的，到底增加何種條件才能實(shí)現(xiàn)“嚴(yán)格增奇函數(shù)”？回歸概念本身，筆者認(rèn)識到：①奇偶性是用恒等式表述的，要想證明“f（x）是奇函數(shù)”，需要增加能夠產(chǎn)生等量關(guān)系的條件，“值域?yàn)镮”“連續(xù)性”都是“存在某些點(diǎn)，在這些點(diǎn)處具有等量關(guān)系”的信息.②性質(zhì)P和“嚴(yán)格增”都是用不等式來表述的，信息強(qiáng)度大致相當(dāng)，或者說“性質(zhì)P”和“嚴(yán)格增”有信息重復(fù)之嫌，一旦增加能夠推出奇函數(shù)的條件，則在證明過程中也不需要“嚴(yán)格增”的信息.筆者總結(jié)：在保持T21的整體結(jié)構(gòu)（新定義、3個小題設(shè)問）不變的情況下，僅靠改編T21（3）很難得到邏輯鏈較長、思維量較大從而能起到較好選拔作用的壓軸題來，有興趣的讀者不妨也試試看.

本文以一道原創(chuàng)函數(shù)題為例，介紹了“新定義型”壓軸題的命題探索與反思，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.“新定義型”壓軸題的命制研究方興未艾，值得我們不懈努力、上下求索.

參考文獻(xiàn)

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020：88-90.

［2］史寧中，林玉慈，陶劍，等.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017（04）：8-14.

［3］喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（02）：19-23+59.

作者簡介 任念兵（1981—），男，安徽安慶人，正高級教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)和命題研究；發(fā)表文章110多篇.