2024年全國新課標(biāo)Ⅰ卷第17題解析與教學(xué)啟示

【摘 要】 以2024年全國新課標(biāo)Ⅰ卷立體幾何解答題（第17題）為例，通過試題評析、一題多解、錯因分析、試題探源等方式，論述立體幾何解答題常見處理方法，探析高中立體幾何教學(xué)中的應(yīng)對策略．

【關(guān)鍵詞】 立體幾何；評析；教學(xué)啟示

1 真題再現(xiàn)

（2024年全國新課標(biāo)Ⅰ卷第17題）如圖1，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

4 試題探源

題源1 本試題主要源于人教A版必修第二冊第158頁中的例8和第159頁中練習(xí)的第3題，兩者適當(dāng)組合而成，加上動點(diǎn)及二面角的逆向應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力，考查學(xué)生對空間點(diǎn)線面位置關(guān)系掌握程度．教材中兩道原題具體如下：

（第158頁例8）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．

（第159頁練習(xí)第3題）如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？［1］

題源2 本試題中涉及到的幾何模型是立體幾何中常見的“墻角模型”和“鱉臑?zāi)Ｐ汀?，以及“三垂線定理及其逆定理”．

對于第（1）問，如圖12，由PA⊥平面ABD知，PB在底面ABD上的射影是AB，已知AD⊥PB，則根據(jù)三垂線定理的逆定理可得出AD⊥AB，從而易知AP，AB，AD兩兩垂直，這就是“墻角模型”；對于第（2）問，如圖13，由PA⊥平面ABD知，PB在底面ABD上的射影是AB，由條件易知BC⊥AB，則可根據(jù)三垂線定理得出BC⊥PB，從而△PAB，△PAC，△PBC，△ABC均是直角三角形，這就是“鱉臑?zāi)Ｐ汀保?/p>

5 教學(xué)啟示

通過對高考真題多維度地分析，我們得到了一些對教學(xué)有益的啟示．一方面，可以幫助教師了解命題規(guī)律，制訂更加合理的教學(xué)備考策略；另一方面，可以幫助學(xué)生更好地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，提高解題效率．同時，對試題考點(diǎn)考查情況的分析以及學(xué)生作答情況的反饋，可以幫助師生對教與學(xué)作出相應(yīng)反思與調(diào)整．

5.1 注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，深入研讀課標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，立體幾何的學(xué)習(xí)，要運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何法的共性和差異，運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題［2］．我們通過向量坐標(biāo)將幾何元素代數(shù)化，感悟向量是研究幾何問題的有效工具．教師在教學(xué)中要樹立向量意識，巧用坐標(biāo)，強(qiáng)化形數(shù)結(jié)合，合理建系，從而優(yōu)化解題過程．

5.2 一題多解和一題多變，提升思維的靈活性

在立體幾何的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的一題多解和一題多變的思維習(xí)慣對于提高他們的空間想象能力和邏輯推理能力至關(guān)重要．這種教學(xué)方法不僅能深化學(xué)生對幾何概念的理解，還能鍛煉他們從不同角度思考問題的靈活性，并且有助于他們在面對復(fù)雜的幾何問題時能夠迅速找到切入點(diǎn)．一題多解的做法可以幫助學(xué)生拓寬解題思路，不再局限于單一的解決方案；一題多變的教學(xué)手段能夠讓學(xué)生在不變的問題本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)變化，從而培養(yǎng)他們的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.

5.3 注重規(guī)范表達(dá)，力爭證明嚴(yán)謹(jǐn)，計算準(zhǔn)確

在立體幾何的教學(xué)過程中，注重規(guī)范表達(dá)、嚴(yán)謹(jǐn)證明和準(zhǔn)確計算是非常關(guān)鍵的．在解答立體幾何題目時，所有的定理和判定都需要明確寫出條件，才能得出結(jié)論．對于平面幾何中的結(jié)論，雖然可以省略部分證明過程，但也需要寫出完整的條件．高考閱卷的時候是一分一分給的，特別是證明題，更加看重步驟，如果關(guān)鍵步驟沒有寫出來，這一分就沒有了．在教學(xué)中，特別是學(xué)生剛開始接觸立體幾何證明題時，老師們就要嚴(yán)格要求步驟．這不僅能幫助學(xué)生深入理解幾何概念和定理，還能訓(xùn)練他們的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．另外，立體幾何解答題中的計算準(zhǔn)確性對于能否得出正確答案至關(guān)重要．通過認(rèn)真對待計算過程、遵循正確的計算步驟來培養(yǎng)良好的計算習(xí)慣．

5.4 回歸教材，回歸基礎(chǔ)，回歸通性通法，提升關(guān)鍵能力

首先，很多高考試題背景源于教材，又高于教材，是引領(lǐng)教學(xué)回歸教材的典范．試題要回歸課本的基礎(chǔ)，讓學(xué)生回歸基本的原理理解，讓學(xué)生回歸課堂學(xué)習(xí)，讓教師回歸教材，把課堂還給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力，落實(shí)核心素養(yǎng)；其次，本試題幾何圖形模型常規(guī)，問題考查形式常規(guī)，是回歸數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的表現(xiàn)，很好地避免了刷題、模型固化、死記硬背，更好地落實(shí)雙減政策；最后，試題解法靈活多樣，但不乏都是通性通法——作角或建系，對于不同層次水平的學(xué)生有很好的區(qū)分，利用思維來拉開學(xué)生層次性，是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的體現(xiàn)．

參考文獻(xiàn)

［1］

人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修·第二冊：A版 ［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020．

作者簡介 楊瑞強(qiáng)（1979—），男，湖北黃岡人，中學(xué)高級教師，黃石市優(yōu)秀班主任，黃石市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究；發(fā)表文章100余篇．