建構(gòu)問(wèn)題鏈 實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

【摘 要】

數(shù)學(xué)課堂離不開(kāi)問(wèn)題探究與問(wèn)題解決，問(wèn)題鏈?zhǔn)菍?shí)現(xiàn)高效課堂的一個(gè)有效途徑．基于高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)現(xiàn)狀，本文以“一類(lèi)含有指對(duì)互混型不等式求參數(shù)范圍”為例，從三個(gè)環(huán)節(jié)出發(fā)，以問(wèn)題為引領(lǐng)，探究為手段，在解決問(wèn)題的過(guò)程中幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)與方法體系，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階．

【關(guān)鍵詞】 問(wèn)題鏈；思維進(jìn)階；指對(duì)互混型不等式；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，離不開(kāi)問(wèn)題解決，即學(xué)生對(duì)內(nèi)容的生成與理解，通常是在綜合性、復(fù)雜性的情境中，通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，在問(wèn)題解決過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解．因此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）從突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題、不斷提升自身素養(yǎng)三個(gè)方面，對(duì)如何設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題情境提出了教學(xué)建議．

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈?zhǔn)歉鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的思維脈絡(luò)，立足學(xué)生認(rèn)知水平而設(shè)計(jì)的具有系統(tǒng)性、層次性、結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題序列［1］．問(wèn)題鏈?zhǔn)菍?shí)現(xiàn)高效課堂的一個(gè)有效途徑，通過(guò)設(shè)計(jì)主干問(wèn)題及其子問(wèn)題，將內(nèi)容逐步推進(jìn)，思維逐步深化，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)與方法的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維的不斷進(jìn)階，達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的．

2 案例解析

筆者在一次大市教研活動(dòng)中，開(kāi)設(shè)了題為“一類(lèi)含有指對(duì)互混型不等式求參數(shù)范圍”的公開(kāi)課，筆者嘗試以問(wèn)題鏈為抓手，通過(guò)設(shè)計(jì)難度適宜的起點(diǎn)問(wèn)題，再將問(wèn)題情境進(jìn)行深度加工，以問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)將學(xué)生的思維引向深度思考．下面以這節(jié)課為例進(jìn)行說(shuō)明，不妥之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正．環(huán)節(jié)1

引例 求證：ex≥x+1．

設(shè)計(jì)意圖 在處理一類(lèi)含有指對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的問(wèn)題中，常常會(huì)將指數(shù)或者對(duì)數(shù)進(jìn)行放縮．在教材中，有多處涉及到切線(xiàn)放縮的問(wèn)題，所以以教材中的例題或習(xí)題為引例展開(kāi)探究，引導(dǎo)學(xué)生重視回歸教材，重視教材習(xí)題的基礎(chǔ)性功能．

問(wèn)題1 由引例，你還能得到哪些指數(shù)、對(duì)數(shù)型不等式？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)引例中的x進(jìn)行代換，或者兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可以得到相關(guān)不等式．比如，以x-1代替x，可得ex-1≥x，進(jìn)一步可得ex≥ex，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得lnx≤x-1．進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)x的代換，還可以得到ex≥x2+1（x＞0），lnx≥1-1x，lnx≤12（x2-1）等不等式．

問(wèn)題1-1：你能從圖象角度解釋這些不等式嗎？

設(shè)計(jì)意圖 由數(shù)到形，從抽象到直觀，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的比較研究，加深學(xué)生對(duì)這類(lèi)不等式的進(jìn)一步理解．

問(wèn)題2 若aex≥1+x（a＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖 不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍，常見(jiàn)方法有分離變量求最值、構(gòu)造函數(shù)及切線(xiàn)放縮等，通過(guò)比較分析，幫助學(xué)生合理選擇最優(yōu)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題解決策略的建構(gòu)．

問(wèn)題2-1：若ln（x+1）-lna≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖 指數(shù)問(wèn)題對(duì)數(shù)化，對(duì)數(shù)問(wèn)題指數(shù)化，問(wèn)題2-1實(shí)則是在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，通過(guò)兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)得到對(duì)數(shù)型不等式，解決的方法可以仿問(wèn)題2的處理．再將問(wèn)題2和問(wèn)題2-1綜合，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=aex，y=ln（x+1）-lna+1與y=x+1的圖象，通過(guò)變化a的值，可以觀察到三個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，如圖1．

環(huán)節(jié)2

例題 （2020年新高考Ⅰ卷第21題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范圍．

問(wèn)題3 這是一類(lèi)含指對(duì)數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，有哪些方法可以解決這類(lèi)問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖 不等式恒成立求參數(shù)范圍的主要方法有分離變量求最值，構(gòu)造函數(shù)求最值及切線(xiàn)放縮等．引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)式，通過(guò)比較，找到合適的解法．

問(wèn)題3-1：若直接求函數(shù)f（x）的最小值，需要確定參數(shù)a的情況，如何對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論？

設(shè)計(jì)意圖 由圖1可知，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=aex-1的圖象在y=lnx+1-lna圖象的上方，即aex-1＞lnx+1-lna；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=aex-1的圖象與y=lnx+1-lna圖象有交點(diǎn)，在x=1附近，有aex-1＜lnx+1-lna．由此，可以通過(guò)對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論得a的取值范圍為［1，+∞）．

問(wèn)題3-2：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有何特征？

設(shè)計(jì)意圖 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．另外，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)也是其圖象非常重要的特征．如果能夠根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，找到定點(diǎn)，是解題的一個(gè)重要突破．

追問(wèn)1：既然指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)，你能從函數(shù)f（x）的式子結(jié)構(gòu)入手，發(fā)現(xiàn)哪個(gè)點(diǎn)比較特殊？

設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=a+lna，又由于y=lnx是增函數(shù)且ln1=0，所以將a與1進(jìn)行大小比較討論．

追問(wèn)2：當(dāng)a≥1時(shí)，你能?chē)L試對(duì)參數(shù)進(jìn)行放縮嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行放縮，可以?xún)?yōu)化解法1中利用零點(diǎn)存在性定理找零點(diǎn)的步驟，突破難點(diǎn)．

簡(jiǎn)解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（1）=a+lna＜a＜1，所以f（x）≥1不恒成立．

當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，下面只需證明ex-1-lnx≥1恒成立（證明略）．

追問(wèn)3：從圖1可以發(fā)現(xiàn)同底的指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)，你能從切線(xiàn)放縮角度處理所求不等式嗎？

設(shè)計(jì)意圖 利用直線(xiàn)將兩條曲線(xiàn)隔開(kāi)，再通過(guò)調(diào)整實(shí)數(shù)a的大小進(jìn)行比較，以期達(dá)到解法優(yōu)化的目的．

優(yōu)化簡(jiǎn)解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（1）=a+lna＜a＜1，所以f（x）≥1不恒成立．

由aex-1-lnx+lna≥1，得aex-1≥lnx-lna+1．當(dāng)a≥1時(shí)，aex-1≥ex-1≥x（證明略），lnx-lna+1≤lnx+1≤x（證明略），所以aex-1-lnx+lna≥1．

問(wèn)題3-3：從對(duì)數(shù)恒等式角度考慮，指數(shù)與對(duì)數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)同構(gòu)，你能從同構(gòu)角度對(duì)不等式進(jìn)行處理嗎？

設(shè)計(jì)意圖 在同一個(gè)代數(shù)式中，涉及到指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的混合，通?？梢岳煤愕仁絰=alogax=logaax（a＞0，a≠1）進(jìn)行變形，將含有指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的復(fù)雜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的同一結(jié)構(gòu)的式子，再結(jié)合構(gòu)造出的函數(shù)的單調(diào)性，使問(wèn)題的解決得到優(yōu)化．

簡(jiǎn)解：由f（x）=aex-1-lnx+lna≥1，得elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx=elnx+lnx．設(shè)g（x）=ex+x，g（x）在R上是增函數(shù)．因?yàn)間（lna+x-1）≥g（lnx），所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立．設(shè)h（x）=lnx-x+1，可求得h（x）min=h（1）=0，所以lna≥0，所以a≥1．故a的取值范圍是［1，+∞）．

問(wèn)題4 請(qǐng)你嘗試歸納解決這類(lèi)含有指對(duì)互混型不等式求參數(shù)范圍的解決策略．

設(shè)計(jì)意圖 鼓勵(lì)學(xué)生從解題方法、解題策略等角度進(jìn)行歸納總結(jié)（如圖2），培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)交流的能力，養(yǎng)成反思總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

環(huán)節(jié)3

變式1 設(shè)函數(shù)f（x）=exlnx+2ex-1x.

證明：f（x）＞1．

變式2 已知函數(shù)f（x）=alnx-2x，若不等式f（x+1）＞ax-2ex在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

問(wèn)題5 請(qǐng)同學(xué)們關(guān)注表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理利用解決策略解答上述變式．

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)變式，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)同一類(lèi)型或相關(guān)類(lèi)型問(wèn)題的解題策略的運(yùn)用，深化學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解．

上述3個(gè)環(huán)節(jié)包含引例—例題—變式3個(gè)部分，環(huán)節(jié)1是從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，引發(fā)學(xué)生多角度思考，初步建立含有指數(shù)型或?qū)?shù)型不等式求參數(shù)范圍的方法；環(huán)節(jié)2是在環(huán)節(jié)1基礎(chǔ)上，將指數(shù)型與對(duì)數(shù)型不等式互混，通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生將解法優(yōu)化，并做好歸納總結(jié)；環(huán)節(jié)3是通過(guò)變式，強(qiáng)化學(xué)生理解這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)從低階思維到高階思維的進(jìn)階．

3 幾點(diǎn)思考

通過(guò)以上教學(xué)案例的分析，在習(xí)題課中，通過(guò)課堂教學(xué)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要教師精選內(nèi)容，精心設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)探究，歸納總結(jié)，反思提高，最終實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階．

3.1 發(fā)揮教材習(xí)題功能，引導(dǎo)學(xué)生注重歸納提升，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

教材習(xí)題蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，但是現(xiàn)在的教學(xué)普遍存在這樣的現(xiàn)象：課堂教學(xué)及課后作業(yè)脫離教材，利用教學(xué)案或者教輔教學(xué)，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)教材習(xí)題的深度挖掘更是微乎其微，如何最大限度地發(fā)揮習(xí)題的教學(xué)功能，是教師需要思考的一個(gè)問(wèn)題．教材中的例題、習(xí)題具有清晰的教學(xué)目的，包含了明、暗兩條線(xiàn)，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的滲透，關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，教師要善于充分利用好教材習(xí)題，以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)習(xí)題及變式把孤立的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，以思維啟發(fā)和發(fā)散為導(dǎo)向，將知識(shí)向廣度和深度拓展，將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)最大限度地進(jìn)行橫向與縱向的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，總結(jié)一般規(guī)律，理解本質(zhì)，提升運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．在上述案例中，引例選自教材中的習(xí)題，具有基礎(chǔ)性與典型性，然后以問(wèn)題1，問(wèn)題2及其追問(wèn)為導(dǎo)向，通過(guò)學(xué)生的自主探究與合作交流，使學(xué)生進(jìn)一步理解切線(xiàn)放縮方法，再對(duì)高考題進(jìn)行方法探究，使學(xué)生更好地理解題目的本質(zhì)，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性，開(kāi)拓學(xué)生的解題視野．

3.2 精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究提升，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

創(chuàng)設(shè)情境和設(shè)計(jì)問(wèn)題是問(wèn)題探究與問(wèn)題解決教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，教師要能夠關(guān)注學(xué)生已經(jīng)具備的知識(shí)與方法，從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)問(wèn)題解決的過(guò)程，同時(shí)促使學(xué)生在原有問(wèn)題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和提出新的問(wèn)題．問(wèn)題鏈教學(xué)注重知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境及其子問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生注重在面對(duì)陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題情境時(shí)，利用已有的知識(shí)、方法和視角進(jìn)行思考探究．在上述案例中，從引例的基本問(wèn)題入手，立足學(xué)生認(rèn)知水平，提出問(wèn)題1，然后在此基礎(chǔ)上通過(guò)添加參數(shù)a，設(shè)計(jì)具有系統(tǒng)性、層次性、結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題序列及其子問(wèn)題，將問(wèn)題情境進(jìn)行深度加工，激活學(xué)生的思維．在例題講解中，提出問(wèn)題3引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，進(jìn)行方法比較與選擇，再通過(guò)子問(wèn)題3-2、3-3及其追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度探究，優(yōu)化解法，實(shí)現(xiàn)用問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)將學(xué)生的思維引向深度思考，進(jìn)而達(dá)到思維進(jìn)階的目的．

3.3 有效組織學(xué)生探究，促進(jìn)學(xué)生思維能力提升，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作交流并最終解決問(wèn)題的過(guò)程［2］．?dāng)?shù)學(xué)探究是教師引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探究或合作交流，獲得直接經(jīng)驗(yàn)和培養(yǎng)實(shí)踐能力的過(guò)程．在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題、猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論并給出解決問(wèn)題的策略和方案．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，適切的問(wèn)題有助于增強(qiáng)學(xué)生探究的興趣，在問(wèn)題探究中構(gòu)建完善的知識(shí)體系，培養(yǎng)系統(tǒng)思維，促進(jìn)思維能力的提升．在上述案例中，以問(wèn)題及追問(wèn)形式組織學(xué)生探究，在探究過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)、反思，最后形成解決這一類(lèi)問(wèn)題的主要方法，形成如圖2形式的結(jié)構(gòu)框圖，以此促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升．

新課標(biāo)在實(shí)施的教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)，教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明細(xì)算理，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)．在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)難度合適的起點(diǎn)問(wèn)題，逐層深入、緊密關(guān)聯(lián)的過(guò)渡性問(wèn)題，具有挑戰(zhàn)性的最終問(wèn)題，以及體現(xiàn)批判性思維的發(fā)展性問(wèn)題［3］，在問(wèn)題探究解決過(guò)程中幫助學(xué)生建立知識(shí)與方法之間的關(guān)聯(lián)，以問(wèn)題為引領(lǐng)，發(fā)展學(xué)生的四基四能，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)

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唐恒鈞，張維忠．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］．上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

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作者簡(jiǎn)介 李剛（1983—），江蘇蘇州人，中小學(xué)高級(jí)教師；曾獲江蘇省高中數(shù)學(xué)青年教師評(píng)優(yōu)課一等獎(jiǎng).