“一般觀念”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)定理教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘 要】 立足于“一般觀念”，以2023年“田家炳杯”全日制教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)技能大賽一等獎(jiǎng)?wù)n例——“二項(xiàng)式定理”為例，從“一般觀念”的提取和滲透給出數(shù)學(xué)定理的教學(xué)分析，并以問(wèn)題鏈為載體，詳細(xì)探討了二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程，闡明教學(xué)中如何滲透一般觀念，最后從整體觀和聯(lián)系觀兩方面給出教學(xué)反思并針對(duì)教學(xué)技能比賽給出備賽感悟與建議.

【關(guān)鍵詞】 一般觀念;教學(xué)設(shè)計(jì);二項(xiàng)式定理;教學(xué)技能比賽

1 引言

高中數(shù)學(xué)課程改革的核心在于探索數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)、發(fā)揮其教育功能和價(jià)值，強(qiáng)調(diào)從知識(shí)掌握到學(xué)生發(fā)展的轉(zhuǎn)變，重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力的培養(yǎng).針對(duì)數(shù)學(xué)概念課在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，章建躍博士對(duì)概念課的教學(xué)提出建議，強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)不應(yīng)局限于對(duì)概念、定理、公式和法則的簡(jiǎn)單灌輸，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)；教學(xué)應(yīng)致力于引導(dǎo)學(xué)生形成一般觀念，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的深刻理解，并提升他們探索和思考數(shù)學(xué)研究思路的能力，從而逐步形成數(shù)學(xué)智慧［1］.

數(shù)學(xué)中的“一般觀念”代表了數(shù)學(xué)概念的一種表現(xiàn)形式，是對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)一步提煉和概括的產(chǎn)物，這種概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中有多重內(nèi)涵，包括明確內(nèi)容是什么、如何學(xué)習(xí)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想等，反映了專家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的思維方式.在教學(xué)中，一般觀念能夠引導(dǎo)教師整合離散的知識(shí)點(diǎn)，系統(tǒng)化教學(xué)方法，從而促進(jìn)課堂教學(xué)的有序展開.因此，“一般觀念”不僅是教材知識(shí)的高度凝練，更是幫助教師理解教材意圖、組織教學(xué)內(nèi)容和評(píng)估教學(xué)效果的有力工具.一般觀念教學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生具備解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)者思維，其核心目標(biāo)是整合教材中高度關(guān)聯(lián)的知識(shí)，按照“是什么”的一般觀念組織并構(gòu)建單元教學(xué)內(nèi)容.接著，通過(guò)“怎么學(xué)”和“數(shù)學(xué)的基本思想方法”的一般觀念，確定教學(xué)思路，規(guī)劃教學(xué)流程，并指導(dǎo)具體教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化、連貫性的教學(xué).因此，“一般觀念”是培養(yǎng)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的關(guān)鍵路徑［2］.“數(shù)學(xué)智慧”是在尋找事物間共通性、對(duì)比不同事物、提煉規(guī)律以及對(duì)方法論進(jìn)行反思的過(guò)程中構(gòu)建出的認(rèn)知.在教學(xué)中，教師應(yīng)以多樣化的知識(shí)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)深度思考探索知識(shí)產(chǎn)生的脈絡(luò)，體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的通用方法和策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧［3］.

“二項(xiàng)式定理”作為代數(shù)中的關(guān)鍵概念，在數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要角色.然而，僅僅死記硬背公式往往難以讓學(xué)生深入理解其背后的數(shù)學(xué)原理.本文以筆者在2023年“田家炳杯”全日制教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)技能大賽中榮獲一等獎(jiǎng)的“二項(xiàng)式定理”課例為例，探討在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中如何滲透和應(yīng)用一般觀念，引導(dǎo)學(xué)生從具體例子逐步抽象出普遍方法，從而提高他們的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和問(wèn)題解決能力，深刻理解數(shù)學(xué)中的“一般觀念”.

2 “一般觀念”下數(shù)學(xué)定理教學(xué)分析

數(shù)學(xué)定理（公式）展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具備符號(hào)化的抽象特性和概括性特征，是學(xué)生提升數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的關(guān)鍵學(xué)習(xí)載體，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和論證的重要依據(jù).在新課標(biāo)中，數(shù)學(xué)定理、公式大部分需要達(dá)到掌握的層次，即必須明確知識(shí)的來(lái)龍去脈，把握內(nèi)容、形式的變化，掌握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.“一般觀念”具有內(nèi)隱性，需要經(jīng)過(guò)提取整合再用有邏輯的方式呈現(xiàn)出來(lái).一般來(lái)說(shuō)，一般觀念的教學(xué)涉及到一般觀念的提取與概括、生成與滲透兩個(gè)環(huán)節(jié).

2.1 一般觀念的提取與概括

分析所涉及的知識(shí)模塊和內(nèi)在的基本數(shù)學(xué)思想方法，從中提煉出一般觀念，是開展一般觀念教學(xué)的基礎(chǔ)［2］.教師在教學(xué)中需通過(guò)抽象與概括，從具體的數(shù)學(xué)定理中提煉出相應(yīng)的一般觀念.這種提取與概括要求教師深入挖掘和理解數(shù)學(xué)定理，找出其中所蘊(yùn)含的普遍性原理，進(jìn)而形成能夠概括多個(gè)具體定理的一般觀念.二項(xiàng)式定理是多項(xiàng)式乘法的一種特殊情況，延續(xù)了初中階段學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法概念.因此，一種較為自然的發(fā)現(xiàn)方式就是觀察幾個(gè)具體的二項(xiàng)展開式，分析展開式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)一般的二項(xiàng)展開規(guī)律.具體來(lái)說(shuō)，首先針對(duì)熟知的n=2，3情形，分析對(duì)應(yīng)的運(yùn)算過(guò)程，明確多項(xiàng)式是如何相乘的，即展開式的每一項(xiàng)如何得到，再將分析運(yùn)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的方法或規(guī)律，嘗試著運(yùn)用到n=4的情形，最后由特殊到一般，運(yùn)用這種方法推導(dǎo)出（a+b）n的形式［4］.因此，本節(jié)課的一般觀念就是找到定理的本質(zhì)（多項(xiàng)式運(yùn)算），尋找運(yùn)算規(guī)律，由特殊到一般，經(jīng)歷猜想與論證的過(guò)程，學(xué)會(huì)如何探究一個(gè)新數(shù)學(xué)對(duì)象.

2.2 一般觀念的生成與滲透

數(shù)學(xué)具有整體性，在明確了要“教什么”后，還需對(duì)一般觀念進(jìn)行進(jìn)一步的凝練，構(gòu)建整體教學(xué)的框架，以問(wèn)題鏈為載體，從研究?jī)?nèi)容、研究路徑、研究方法、研究結(jié)果等方面明確“如何教”.二項(xiàng)式定理的核心在于弄清楚形如（a+b）n的式子的具體展開形式.在這一核心問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，定理的學(xué)習(xí)需要遵循一般的研究路徑，經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)、探索、歸納、證明和應(yīng)用等過(guò)程.那么，如何進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、歸納和探索呢？從研究方法上看，我們應(yīng)從已知的特殊二項(xiàng)式展開式出發(fā)，由特殊到一般，通過(guò)觀察和分析規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行猜想和論證.

3 “二項(xiàng)式定理”教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引入 二項(xiàng)式定理的歷史發(fā)展與生活應(yīng)用（PPT展示見(jiàn)圖2）.

設(shè)計(jì)意圖

從古、今兩個(gè)角度向?qū)W生闡述學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的必要性和重要性：引入數(shù)學(xué)史介紹二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程，激發(fā)興趣的同時(shí)也可讓學(xué)生從歷史視角借鑒數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)二項(xiàng)式定理時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，開拓解決問(wèn)題的思維方式；數(shù)學(xué)作為許多領(lǐng)域的基礎(chǔ)，通過(guò)展示數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生建立跨學(xué)科的思維模式，更好地理解多學(xué)科間的聯(lián)系.

問(wèn)題1 我們?cè)撊绾窝芯慷?xiàng)式定理？

預(yù)設(shè)1：既然是定理，按照以前學(xué)習(xí)定理的經(jīng)驗(yàn)，我們要經(jīng)歷定理的歸納猜想和邏輯論證的過(guò)程.

追問(wèn)1：那我們從誰(shuí)開始?xì)w納呢？

預(yù)設(shè)：我們初中學(xué)習(xí)過(guò)完全平方公式，老師給我們補(bǔ)充過(guò)三次方展開式，它們是兩個(gè)特例，我們可以從它們的展開式開始.

追問(wèn)2：你們這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？

預(yù)設(shè)：從特殊到一般的思想方法.

設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，規(guī)劃定理的研究?jī)?nèi)容和路徑，明確研究方法，在一般觀念的指導(dǎo)下自覺(jué)地開展研究，形成系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)方式.

問(wèn)題2 分析（a+b）2的展開過(guò)程，觀察展開式的結(jié)果，你準(zhǔn)備從哪些角度歸納展開式的特點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、項(xiàng)及其系數(shù)的規(guī)律.

追問(wèn)：你們是如何想到這些的？

預(yù)設(shè)：根據(jù)多項(xiàng)式的“要素”來(lái)看的.

設(shè)計(jì)意圖

鼓勵(lì)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)有目的的觀察、有邏輯的思考，而非僅僅依賴于碰運(yùn)氣，滲透尋找數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)的一般觀念.在歸納展開式特點(diǎn)的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察多項(xiàng)式各部分的特征，例如項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、項(xiàng)及其系數(shù)、字母的排列規(guī)律，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

預(yù)設(shè)：從項(xiàng)數(shù)來(lái)看，項(xiàng)數(shù)是3項(xiàng)，比這個(gè)二項(xiàng)式的次數(shù)2多1.

追問(wèn)：這是合并同類項(xiàng)之后的結(jié)果，合并同類項(xiàng)之前呢？你能根據(jù)組合數(shù)的概念說(shuō)說(shuō)怎么得到的嗎？

預(yù)設(shè)：4項(xiàng)，（a+b）2是2個(gè)（a+b）相乘，只要從一個(gè)（a+b）中選一項(xiàng)（a或b），再?gòu)牧硪粋€(gè)（a+b）中選一項(xiàng)（a或b），相乘就得到展開式的一項(xiàng).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，（a+b）2的展開式共有C12×C12=2×2=4項(xiàng)

預(yù)設(shè)：從次數(shù)來(lái)看，每一項(xiàng)的次數(shù)都是齊次的，a的冪指數(shù)在降次，b的冪指數(shù)在升次.

追問(wèn)：你能把每一項(xiàng)用統(tǒng)一的表達(dá)式表示出來(lái)嗎？

預(yù)設(shè)：a2-kbk（k=0，1，2）的形式.

追問(wèn)：每一項(xiàng)的系數(shù)如何確定？（如果學(xué)生沒(méi)有想法，教師可稍加引導(dǎo)，讓學(xué)生回顧思考每一項(xiàng)是如何得到的，思考如何把多項(xiàng)式乘法轉(zhuǎn)化成計(jì)數(shù)原理）

當(dāng)k=0時(shí)，a2-kbk=a2，這是由2個(gè)（a+b）中都不選b得到的.因此，a2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取0個(gè)b（都取a）的組合數(shù)C02，即a2只有1個(gè).

當(dāng)k=1時(shí)，a2-kbk=ab，這是由1個(gè)（a+b）中選a，另1個(gè)（a+b）中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取1個(gè)b的組合數(shù)C12，即ab共有2個(gè).

當(dāng)k=2時(shí)，a2-kbk=b2，這是由2個(gè)（a+b）中都選b得到的.因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取2個(gè)b的組合數(shù)C22，即b2只有1個(gè).

由上述分析可以得到a+b2=C02a2+C12ab+C22b2.

設(shè)計(jì)意圖

解決系數(shù)問(wèn)題是本節(jié)課最具挑戰(zhàn)性的一部分，需要回歸到多項(xiàng)式乘法的基本概念進(jìn)行分析.例如考慮如何獲得表達(dá)式中的含ab的項(xiàng).這個(gè)過(guò)程可以通過(guò)組合數(shù)公式來(lái)思考：解決的核心問(wèn)題是如何獲得含ab的項(xiàng)，因?yàn)閱雾?xiàng)式乘法遵循交換律，所以這是一個(gè)組合問(wèn)題，相當(dāng)于從2個(gè)因式中選擇1個(gè)“b”，因此這樣的項(xiàng)的個(gè)數(shù)就是組合數(shù)，這樣就得到了展開式的通項(xiàng).

問(wèn)題3 根據(jù)上述分析，你能仿照這個(gè)過(guò)程利用計(jì)數(shù)原理寫出（a+b）3、（a+b）4的展開式嗎？請(qǐng)寫出結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流，選取學(xué)生代表發(fā)言，教師輔以總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖

有了（a+b）2展開的經(jīng)驗(yàn)，在一般觀念的引領(lǐng)下，學(xué)生可類比上述過(guò)程根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，利用計(jì)數(shù)原理解釋（a+b）3、（a+b）4展開的過(guò)程，為共性的歸納，猜想的提出奠定基礎(chǔ)，為運(yùn)用一般觀念指導(dǎo)自身進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

問(wèn)題4 從上述具體問(wèn)題得到啟發(fā)，對(duì)于任意正整數(shù)n，你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，從展開式的要素入手得出展開式共性：

（1）展開式的項(xiàng)數(shù)是（n+1）項(xiàng)；

（2）每一項(xiàng)的次數(shù)是n；

（3）a的次數(shù)按n，n-1，…，1，0排列；b的次數(shù)按0，1，2，…，n-1，n排列；

（4）系數(shù)的規(guī)律是C0n，C1n，…，Cn-1n，Cnn

預(yù)設(shè)：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

追問(wèn)：你能對(duì)上述猜想的合理性進(jìn)行說(shuō)明嗎？

預(yù)設(shè)：由于（a+b）n是n個(gè)（a+b）相乘，每個(gè)（a+b）在相乘時(shí)有兩種選擇，選a或b，而且每個(gè)（a+b）中的a或b都選定后，將它們相乘才能得到展開式的一項(xiàng).因此，由分布乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前，（a+b）n的展開式共有2n項(xiàng)，其中每一項(xiàng)都是a2-kbk（k=0，1，2，…，n）的形式.

對(duì)于每個(gè)k（k=0，1，2，3，…，n），對(duì)應(yīng)的項(xiàng)a2-kbk是由（n-k）個(gè)（a+b）中a，另外k個(gè)（a+b）中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)（a+b）中取k個(gè)b的組合數(shù)Ckn，這樣，（a+b）n的展開式中，an-kbk共有Ckn個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到上述二項(xiàng)展開式，從而得到

二項(xiàng)式定理

（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生自主探究n=3，4時(shí)展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，小組合作交流歸納展開式的共性提出猜想，采用“說(shuō)理”的方法，對(duì)定理的正確性給予說(shuō)明，完成定理證明.

問(wèn)題5 得到一個(gè)新數(shù)學(xué)對(duì)象后，觀察其特殊情況有助于我們加深對(duì)其理解，觀察二項(xiàng)式定理，你能發(fā)現(xiàn)一些特殊情形嗎？

預(yù)設(shè)1：在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a=1，b=x，則得到公式：

（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn.

預(yù)設(shè)2：在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a=1，b=1，則得到公式：

2n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn.

預(yù)設(shè)3：把a(bǔ)，b交換后公式仍然成立，即

（a+b）n=（b+a）n.

預(yù)設(shè)4：把公式中“+”變“-”、在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a=1，b=-1，即可得到不同的特殊公式.

設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)取特殊值的方式對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行深入研究，進(jìn)一步加深對(duì)定理的理解，為二項(xiàng)式定理的靈活運(yùn)用做準(zhǔn)備，完善一般觀念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)研究習(xí)慣與意識(shí).

4 教學(xué)反思

4.1 一般觀念引領(lǐng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的整體框架

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性極高的學(xué)科，新課標(biāo)在教學(xué)建議中指出，要整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.基于“一般觀念”的課堂教學(xué)不應(yīng)簡(jiǎn)單的堆砌知識(shí)點(diǎn)，否則教學(xué)內(nèi)容會(huì)零散，缺乏連貫性，成為碎片化的知識(shí).基于整體觀思想，教師應(yīng)當(dāng)以教材為基礎(chǔ)，首先分析教材前后知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，然后以“結(jié)構(gòu)”為主線、以“方法”為紐帶，將其融入教學(xué)中重新構(gòu)建整個(gè)教學(xué)體系.在二項(xiàng)式定理的教學(xué)中，本設(shè)計(jì)以“背景（二項(xiàng)式定理的重要性和必要性）—本質(zhì)（多項(xiàng)式乘法）—規(guī)律（系數(shù)和項(xiàng)的關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（展開式特征）—應(yīng)用”為主線，以“背景—方法（從特殊到一般）—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀（一般化）”為暗線，形成數(shù)學(xué)基本思想和方法的滲透，不斷強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而“按圖索驥”實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的可預(yù)知性、過(guò)程的邏輯性、探索的方向性、思維的主動(dòng)性，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

4.2 一般觀念引領(lǐng)，學(xué)會(huì)問(wèn)題分析的普適方法

一般觀念引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的共性和聯(lián)系，培養(yǎng)了他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的普適性思考和解決問(wèn)題時(shí)的聯(lián)系觀.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從具體案例和特定概念中抽象出共性和規(guī)律，形成一般觀念，能夠幫助學(xué)生建立起全面的數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)知，促進(jìn)系統(tǒng)性理解，加深對(duì)數(shù)學(xué)思維方式和研究方法的理解.在二項(xiàng)式定理的教學(xué)中，本設(shè)計(jì)以問(wèn)題鏈為載體，通過(guò)不斷追問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行有邏輯的思考，如“如何尋找規(guī)律的方向”“如何進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化”“如何基于表達(dá)式的本質(zhì)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理簡(jiǎn)化問(wèn)題”等.這種方式培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力，也幫助他們更好地理解一般觀念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，從而提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度和廣度.

5 小結(jié)

短期的教學(xué)比賽與長(zhǎng)期的教學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累是相互促進(jìn)的.所謂“臺(tái)上一分鐘，臺(tái)下十年功”，能在決賽中脫穎而出絕非簡(jiǎn)單依靠運(yùn)氣.這不僅需要賽前有扎實(shí)基本功的積淀和教學(xué)理念的更新，還要從整體角度審視每個(gè)章節(jié)，并分析整個(gè)高中教科書的邏輯框架體系，思考如何體現(xiàn)核心素養(yǎng)并培養(yǎng)學(xué)生的多維能力.數(shù)學(xué)問(wèn)題在本質(zhì)上是簡(jiǎn)單有序的，研究對(duì)象或許不同，但研究套路和思維方法卻是不變的，因此盡管備賽時(shí)間有限，但不同課型的教學(xué)方法是有規(guī)律可循的.“二項(xiàng)式定理”并沒(méi)有在賽前進(jìn)行過(guò)試講打磨，僅有對(duì)內(nèi)容的大致了解，然而在比賽時(shí)卻能突發(fā)奇想，將內(nèi)容用“一般觀念”巧妙串聯(lián)起來(lái)，這離不開賽前自主練習(xí)時(shí)形成的備課習(xí)慣.建議職前教師們針對(duì)一個(gè)課題在備課前要習(xí)慣多詢問(wèn)自身幾個(gè)問(wèn)題：學(xué)生為何學(xué)習(xí)？為何在這里學(xué)？學(xué)生該如何學(xué)習(xí)？需使用何種研究工具？若無(wú)工具，應(yīng)如何創(chuàng)造工具？只有在這些問(wèn)題的指引下，制定教學(xué)環(huán)節(jié)并提出合適問(wèn)題串，才能兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的合理性與學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的合理性.

當(dāng)然，這個(gè)設(shè)計(jì)也存在一些不足之處，例如：忽略了初高中知識(shí)的銜接性，即乘法法則在初中已有涉及，為何高中需要通過(guò)組合數(shù)重新表示二項(xiàng)式展開？這需要教師在引入階段激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生感受到兩種方法之間的差異.同時(shí)，重視學(xué)情分析并做好預(yù)設(shè)也非常重要.一般路徑和方法需在定理探究前給出，但由于地域和學(xué)生差異，有些學(xué)生可能缺乏遷移意識(shí)和一般化思維，從而導(dǎo)致引入部分需要花費(fèi)大量時(shí)間.因此，教師需要在課前預(yù)設(shè)好如何讓學(xué)生想到“一般路徑”，以及當(dāng)他們無(wú)法想到時(shí)，如何通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題加以引導(dǎo).

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社， 2021.

［2］黃暉明. 數(shù)學(xué)一般觀念教學(xué)的內(nèi)涵、策略與案例［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）， 2023（10）： 1-4.

［3］劉璐， 戈硯輝. 實(shí)施深度教學(xué) 促進(jìn)智慧發(fā)展：以“有理數(shù)的乘法”（第1課時(shí)）教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2022（20）： 2-4.

［4］人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介 湯慶君（2000—），女，安徽合肥人，南京師范大學(xué)研究生，研究方向：課程與教學(xué)論.