例說(shuō)確定數(shù)學(xué)教學(xué)“序”的多樣化路徑

【摘 要】 課堂教學(xué)中以什么順序呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容直接關(guān)系到教學(xué)效果的優(yōu)劣，因此確定教學(xué)的“序”是教學(xué)研究的重要內(nèi)容，借鑒教材的“序”的確定方法，以另外四個(gè)與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的“序”作為教學(xué)的“序”進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，不僅拓寬教學(xué)的“序”的選擇路徑，促進(jìn)學(xué)生的高效成長(zhǎng)，而且借助典型案例說(shuō)明如何依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的內(nèi)在需求確定相應(yīng)的路徑及其操作流程.

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)的“序”；數(shù)學(xué)史的“序”；知識(shí)的“序”；學(xué)生認(rèn)知的“序”；教師心中的“序”

1 問(wèn)題的提出

在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師常感到困惑的是如何確定數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序（以下簡(jiǎn)稱教學(xué)的“序”），以便據(jù)此將相關(guān)材料“串”起來(lái)呈現(xiàn)給師生，這不僅影響課堂的容量和學(xué)生的興趣，而且決定學(xué)生理解的深度和思維的高度，關(guān)系到在有限的時(shí)間內(nèi)能否取得最佳的課堂教學(xué)效果，因此需要我們每一位老師認(rèn)真面對(duì)并作出選擇.

2 教學(xué)中的另外幾個(gè)“序”

可能會(huì)有人認(rèn)為教學(xué)的“序”難道不應(yīng)該就是教材的編寫順序（以下簡(jiǎn)稱教材的“序”）嗎？其實(shí)不然，因?yàn)榻滩牡摹靶颉笔墙滩木帉懻吒鶕?jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和中學(xué)生的心理特征，吸收廣大數(shù)學(xué)教育工作者的相關(guān)研究成果，結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)和預(yù)設(shè)等綜合因素而給出的安排.同時(shí)教材的“序”存在些許不足，比如考慮教材編寫體例的統(tǒng)一性，呈現(xiàn)的順序比較固定，但我們對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)是不斷深入和發(fā)展的，教學(xué)場(chǎng)景又是多樣化的，當(dāng)然教材本身也給教師預(yù)留了空間，以便教師根據(jù)自己的實(shí)際教學(xué)情況做出調(diào)整和創(chuàng)新，這也是教學(xué)研究的應(yīng)有之義.所以拓寬教學(xué)“序”的選擇路徑不僅是教材賦予我們的權(quán)利與責(zé)任，更是教育全面發(fā)展對(duì)教師的呼喚.筆者認(rèn)為教學(xué)中還存在另外四個(gè)“序”，它們可以成為教學(xué)“序”的新路徑，分別是：（1）在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)真實(shí)形成的發(fā)展順序（以下簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)史上的“序”）；（2）在數(shù)學(xué)教育教學(xué)形態(tài)下，建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的順序，即指數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的自然邏輯順序（以下簡(jiǎn)稱為知識(shí)的“序”）；（3）相應(yīng)年級(jí)絕大多數(shù)學(xué)生個(gè)體接受相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理順序，即學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展順序（以下簡(jiǎn)稱為學(xué)生認(rèn)知的“序”）；（4）教師基于自己對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)而形成的“序”（以下簡(jiǎn)稱為教師心中的“序”）.下面結(jié)合教學(xué)案例來(lái)介紹自己的探索及思考.

3 “序”的路徑選擇及案例分析3.1 將數(shù)學(xué)史上的“序”作為教學(xué)的“序”

數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程本質(zhì)上就是人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，同時(shí)也是數(shù)學(xué)家們按照一定規(guī)律把此認(rèn)識(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的過(guò)程，其建構(gòu)有著相對(duì)固定的研究順序（通常稱為“套路”），如果我們借助對(duì)過(guò)去知識(shí)的回顧引領(lǐng)學(xué)生將其中的“套路”提煉出來(lái)，并以此作為相關(guān)幾個(gè)模塊共同教學(xué)的“序”，這樣不僅符合人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的規(guī)律，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和整體結(jié)構(gòu)的理解，而且可以放手讓學(xué)生自己獨(dú)立研究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，觸類旁通，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高教學(xué)效率與效果，減輕學(xué)生理解與記憶的負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的理性精神.

案例1 《高中數(shù)學(xué)必修1》集合.

先復(fù)習(xí)小學(xué)和初中階段研究數(shù)的“序”：第一步研究數(shù)的概念和一些特殊的數(shù)；第二步研究?jī)蓴?shù)的關(guān)系（即大小關(guān)系，包括相等、大于、小于三種情況）；第三步研究數(shù)的運(yùn)算（滿足一定的運(yùn)算律）.當(dāng)研究對(duì)象從“數(shù)”改成“集合”時(shí)，相應(yīng)的研究順序就非常清楚了：第一步研究集合的概念和一些特殊的集合（空集）；第二步研究?jī)杉系年P(guān)系（即包含關(guān)系，包括相等）；第三步研究集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集）.此“套路”同樣適用于平面向量、復(fù)數(shù)、空間向量等內(nèi)容.

3.2 將知識(shí)的“序”作為教學(xué)的“序”

數(shù)學(xué)知識(shí)的“序”是指數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的邏輯順序，所以數(shù)學(xué)教學(xué)的“序”就是從一點(diǎn)（可以選擇與新知有密切關(guān)系的舊知，俗稱為新知的“生長(zhǎng)點(diǎn)”）出發(fā)，順著知識(shí)“生長(zhǎng)”的自然順序拾階而上，逐漸展開(kāi).

案例2 《高中數(shù)學(xué)必修2》二面角.

在回顧角的概念的基礎(chǔ)上，選擇異面直線所成角、線面角定義為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，揭示用平面角刻畫空間角的思想方法，運(yùn)用類比思想，引導(dǎo)學(xué)生將空間問(wèn)題平面化，即選擇一個(gè)與兩個(gè)半平面有密切關(guān)系的平面角來(lái)刻畫二面角的大小，再用一個(gè)例題把二面角的平面角、面面垂直的判定及性質(zhì)定理串在一起，環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，逐步建構(gòu)新概念.讓學(xué)生能從更高的觀點(diǎn)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，思維活動(dòng)步步深入，充分感受數(shù)學(xué)思維的合理性與必然性，感悟數(shù)學(xué)思想的魅力，提高思維能力.

3.3 將學(xué)生認(rèn)知的“序”作為教學(xué)的“序”

教材中的“序”與數(shù)學(xué)真實(shí)發(fā)展的歷史和時(shí)間順序并不完全一致，因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)的發(fā)展節(jié)點(diǎn)是數(shù)學(xué)家在漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中接力思考甚至靈光一現(xiàn)想到的，有時(shí)出現(xiàn)多次曲折與反復(fù)，如虛數(shù)產(chǎn)生的真正原因是來(lái)源于“不可約三次方程”的復(fù)數(shù)形式的實(shí)數(shù)解，要想在四十五分鐘的課堂上展示人類認(rèn)識(shí)其真實(shí)歷程絕非易事，雖然教材已經(jīng)將其加工成為教育教學(xué)形態(tài)，但運(yùn)用教材的“序”在實(shí)際教學(xué)的效果并不如人意，筆者嘗試著以生活中的場(chǎng)景為原型進(jìn)行藝術(shù)加工，按學(xué)生認(rèn)知的“序”作為教學(xué)的“序”，受到聽(tīng)課教師和學(xué)生的好評(píng).

案例3 《高中數(shù)學(xué)選修2-2》第三章“數(shù)系的擴(kuò)充”的教學(xué)（汶川地震后筆者開(kāi)設(shè)的全市公開(kāi)課）片斷［1］.

師：汶川大地震給國(guó)家?guī)?lái)了巨大的損失，我們應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)，去尋找更適合人類居住的星球.假定我們?cè)谔臻_(kāi)辟了一座莊園，應(yīng)如何管理？

生：制定有利于和諧相處與科學(xué)管理的“莊規(guī)”.

生：民主選舉莊園管理委員會(huì)，決定莊園的各項(xiàng)重要事務(wù).

生：根據(jù)各人的特點(diǎn)科學(xué)分工，每人干自己擅長(zhǎng)的事，每人干自己喜歡的事.

生：新移民要遵守我們的“莊規(guī)”，與老居民和諧相處.

生：為了保護(hù)環(huán)境，對(duì)移民要嚴(yán)格限制，只能引進(jìn)莊園的緊缺人才.

師：說(shuō)得有道理！現(xiàn)在數(shù)學(xué)上有一座莊園——“實(shí)數(shù)莊園”，我們來(lái)研究它的“移民”問(wèn)題.

成員：實(shí)數(shù)；工種：加、減、乘、除、開(kāi)方；困難：負(fù)數(shù)的開(kāi)方不能順利進(jìn)行，如方程x2=-1就不能求解.

師：大家有什么對(duì)策幫助“實(shí)數(shù)莊園”解決新的危機(jī)？

生：引入一個(gè)使方程x2=-1有解的新數(shù).

師：這個(gè)新數(shù)如何表示呢？

生：增加一個(gè)新符號(hào)來(lái)表示它.

師：若這個(gè)新數(shù)用符號(hào)i來(lái)表示，那它應(yīng)滿足什么要求呢？

生：（1）i是方程x2=-1的一個(gè)解，即滿足i2=-1；（2）i滿足“實(shí)數(shù)莊園”的運(yùn)算法則.

教師以“實(shí)數(shù)莊園”為載體，按學(xué)生心理和認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律確定教學(xué)順序，對(duì)所擁有的教學(xué)資源進(jìn)行藝術(shù)化的加工，在問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程不僅成為接受知識(shí)、發(fā)展能力的過(guò)程，更成為傳承人類文化的過(guò)程.

3.4 將教師心中的“序”作為教學(xué)的“序”

教師基于自己長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐和對(duì)學(xué)生的精確了解，完全可以而且應(yīng)該站在數(shù)學(xué)整體的高度，對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行重新整合與再開(kāi)發(fā)，從而在教師“心”中形成自己對(duì)相關(guān)內(nèi)容獨(dú)有的教學(xué)順序，以期取得更好的教學(xué)效果，并促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng).

案例4 課題“基本不等式的應(yīng)用”教學(xué)實(shí)錄（部分）.

復(fù)習(xí)提問(wèn)（師）：寫出基本不等式及其變化形式，強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件.

練習(xí)（口答）：二次函數(shù)y=x2+4x+16的最小值是多少？為什么？

生：因?yàn)閥=x2+4x+16=（x+2）2+12≥12，所以函數(shù)y=x2+4x+16的最小值是12.

師追問(wèn)：下列式子y=x2+4x+16≥10成立嗎？

生：成立！

師：能否說(shuō)函數(shù)y=x2+4x+16的最小值是10呢？為什么？

生：不能，因?yàn)樗〔坏?0.

師：所以在說(shuō)函數(shù)y=x2+4x+16的最小值是12之前，要交代何時(shí)能取到12才行！如果說(shuō)“我們班學(xué)生的最小年齡是16歲”是正確的，那么這句話的意思是什么？

生：這句話有兩層意思：一是我們班學(xué)生所有同學(xué)的年齡都不小于16歲，二是我們班至少有一個(gè)同學(xué)年齡是16歲.

師：說(shuō)得非常準(zhǔn)確！如何給函數(shù)的最小值下一個(gè)定義？

生：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，存在一個(gè)常數(shù)m，對(duì)x∈D，都有f（x）≥m成立，且x0∈D，使得當(dāng)x=x0時(shí)，f（x0）=m，我們就稱此函數(shù)的最小值為m.

師：很好！最小值的定義有兩層含義：既要求所有的函數(shù)值不小于常數(shù)m，又要保證有一個(gè)函數(shù)值取到常數(shù)m.因此我們?cè)谇蠖魏瘮?shù)y=x2+4x+16的最小值時(shí)，不僅要證明y=x2+4x+16不小于12，還應(yīng)明確什么時(shí)候取到12.同樣可以得到最大值的定義（略）.

例 已知x>0，求y=x+12x的最小值.

師：要求y=x+12x的最小值，依據(jù)最小值的定義，就是要確定一個(gè)常數(shù)m，使得y=x+12x≥m，而且存在取到等號(hào)時(shí)相應(yīng)的x值.如何找出這個(gè)常數(shù)m呢？

生：因?yàn)閤>0，由基本不等式可知y=x+12x≥43，且當(dāng)x=23時(shí)取到“=”，所以y=x+12x的最小值為43.

師：求函數(shù)的最小值可以運(yùn)用基本不等式求得，其核心可總結(jié)為“一正，二定，三相等”.其中第一點(diǎn)是基本不等式成立的前提條件，后兩點(diǎn)是函數(shù)最小值定義的要求，因此運(yùn)用基本不等式求最小值的關(guān)鍵是借助式子的變形湊“積為定值”.

將《高中數(shù)學(xué)必修1》第5.3節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”中的函數(shù)最值概念前置到第3.2.2節(jié)“基本不等式的應(yīng)用”中，作為教學(xué)“序”的起點(diǎn)，再學(xué)習(xí)基本不等式求最值，不僅講解起來(lái)清楚明白、水到渠成，而且學(xué)生對(duì)“一正，二定，三相等”的理解更深刻，明白用基本不等式求最值僅是依據(jù)最值定義求最值的一種方法，掌握變形的方向——湊成定值.以教師心中的“序”作為教學(xué)的“序”時(shí)，要從學(xué)生的視角思考問(wèn)題，用學(xué)生聽(tīng)得懂的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，以邏輯性為前提，以對(duì)教材的整體準(zhǔn)確把握為基礎(chǔ)，才能將教師的設(shè)想變成學(xué)生的高效成長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］李金蛟，李格菲.為數(shù)學(xué)的規(guī)定尋找“辯護(hù)”的幾個(gè)路徑［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（09）：48-51.

作者簡(jiǎn)介 李金蛟（1965—），男，江蘇省鹽城人，江蘇省正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師;常州市領(lǐng)軍人才，常州市第四、五批名師工作室領(lǐng)銜人，常州市數(shù)學(xué)理事會(huì)副理事長(zhǎng)；主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育；發(fā)表論文60多篇，其中有15篇論文發(fā)表在中文核心期刊上，4篇論文被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載.