以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的多學(xué)科融合教學(xué)促進(jìn)計(jì)算思維培養(yǎng)：實(shí)施框架與課例開發(fā)

【摘 要】 STEAM理念與計(jì)算思維融合教學(xué)（STEAM+CT）已成為K12階段培養(yǎng)計(jì)算思維的重要方式.在5E教學(xué)模式指導(dǎo)下，提出數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)實(shí)施框架，旨在提高學(xué)習(xí)者的計(jì)算思維能力.在該教學(xué)實(shí)施框架下，開發(fā)了“探索分形幾何奧秘”課例.課例能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科知識(shí)建立有機(jī)銜接，教學(xué)過(guò)程能有效指向計(jì)算思維核心能力的培養(yǎng)，這為未來(lái)STEAM+CT教學(xué)提供新路徑.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；計(jì)算思維；STEAM；分形幾何

1 引言

過(guò)去二十年，隨著信息化社會(huì)的發(fā)展與數(shù)字技術(shù)的快速變革，人們的生產(chǎn)生活乃至思維方式都發(fā)生了巨大改變.在此背景下，社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)提出新的要求，計(jì)算思維（Computational Thinking，簡(jiǎn)稱CT）引起各國(guó)的高度關(guān)注.美國(guó)數(shù)字承諾教育技術(shù)中心認(rèn)為計(jì)算思維是21世紀(jì)學(xué)生參與科技社會(huì)的必備技能，并要求教育者為學(xué)生提供參與計(jì)算實(shí)踐的機(jī)會(huì)［1］.2022年歐盟委員會(huì)發(fā)布《義務(wù)教育計(jì)算思維研究》報(bào)告，指出奧地利、法國(guó)等在內(nèi)的25個(gè)歐洲國(guó)家已經(jīng)將計(jì)算思維納入現(xiàn)行法定義務(wù)教育課程［2］.在歐洲以外，澳大利亞、新加坡等國(guó)也制定了相關(guān)政策，將計(jì)算思維引入K12教育以提升學(xué)生計(jì)算思維能力.如今，計(jì)算思維在我國(guó)也引起了重視.高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）以及義務(wù)教育信息科技課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）都已將計(jì)算思維列入學(xué)科核心素養(yǎng).

STEAM教育是以多學(xué)科整合的方式培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種技術(shù)教育，其有利于學(xué)生運(yùn)用跨學(xué)科的思維解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.而計(jì)算思維與包括數(shù)學(xué)、科學(xué)和人文社科在內(nèi)的所有學(xué)科都相關(guān)［3］，這與STEAM理念相契合.隨著計(jì)算思維逐漸被認(rèn)為是STEAM問(wèn)題解決的關(guān)鍵技能，教育者開始通過(guò)多學(xué)科融合教學(xué)的形式將計(jì)算思維融入學(xué)校課程.但已有教學(xué)往往是以技術(shù)或工程學(xué)科作為課題開展，較少有以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的教學(xué).我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》在論及課程內(nèi)容時(shí)強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次提倡在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域落實(shí)跨學(xué)科活動(dòng)，并在論及核心素養(yǎng)內(nèi)涵時(shí)首次提到計(jì)算思維一詞.可見(jiàn)，我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革正朝著與其他學(xué)科融合以促進(jìn)學(xué)生具備21世紀(jì)公民基本技能的方向發(fā)展.因此，如何以數(shù)學(xué)學(xué)科為主導(dǎo)實(shí)行多學(xué)科融合教學(xué)，以此提升學(xué)生計(jì)算思維能力，將成為未來(lái)國(guó)內(nèi)計(jì)算思維研究的發(fā)展方向，具有重要的理論與實(shí)踐價(jià)值.2 理論視角：國(guó)內(nèi)外研究綜述

2.1 計(jì)算思維與STEAM教育

2006年卡內(nèi)基梅隆大學(xué)周以真教授提出計(jì)算思維是一種運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)基本概念來(lái)解決問(wèn)題、設(shè)計(jì)系統(tǒng)和理解人類行為的方式，是面向所有人的一項(xiàng)普適技能［3］.此后學(xué)者就計(jì)算思維展開廣泛的研究與討論.美國(guó)國(guó)際教育技術(shù)協(xié)會(huì)和計(jì)算機(jī)科學(xué)教師協(xié)會(huì)指出計(jì)算思維是一個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程［4］.英國(guó)計(jì)算課程工作小組認(rèn)為計(jì)算思維是一種涉及邏輯推理的認(rèn)知思維過(guò)程并指出計(jì)算思維與所有學(xué)科中涉及的思維技能都相關(guān)［2］.盡管學(xué)者尚未就計(jì)算思維的定義達(dá)成一致，但不難看出計(jì)算思維是一種思維方式，其內(nèi)在價(jià)值是問(wèn)題解決.計(jì)算思維是一種兼具科學(xué)、數(shù)學(xué)等多學(xué)科思維的分析思維，是能夠?qū)TEAM教育中不同學(xué)科思維互補(bǔ)融合的綜合性思維［5］.由于學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，在K12階段專門開設(shè)計(jì)算思維培養(yǎng)課程是難實(shí)現(xiàn)的，因此教育研究者從計(jì)算思維與STEAM教育內(nèi)在的一致性出發(fā)，將計(jì)算思維融入STEAM教育，形成面向計(jì)算思維培養(yǎng)的多學(xué)科融合教學(xué)（STEAM+CT）.融入計(jì)算思維的STEAM教育不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)不同學(xué)科內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同時(shí)也是提升學(xué)生計(jì)算思維能力的有效方式.可見(jiàn)，STEAM教育在計(jì)算思維培養(yǎng)中應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)為計(jì)算思維在基礎(chǔ)課程中的落實(shí)提供了路徑.

2.2 數(shù)學(xué)與STEAM+CT教育

如今STEAM教育呈現(xiàn)出不公平的學(xué)科代表性，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科往往僅作為操作性學(xué)科來(lái)輔助計(jì)算，并未實(shí)現(xiàn)真正意義上的融入［6］.數(shù)學(xué)已經(jīng)被公認(rèn)為是科學(xué)、技術(shù)等學(xué)科的基礎(chǔ)，能用數(shù)學(xué)思維分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題理應(yīng)成為STEAM教育所追求的目標(biāo).縱觀如今在STEAM+CT教育理論下開發(fā)的課例，數(shù)學(xué)更是處于與技術(shù)、工程等學(xué)科不平等的位置.如今越來(lái)越多學(xué)者開始關(guān)注數(shù)學(xué)與計(jì)算思維之間的關(guān)聯(lián)，并意識(shí)到數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維在問(wèn)題解決、建模、數(shù)據(jù)分析以及統(tǒng)計(jì)概率四個(gè)方面具有共同的思維模式［7］.同時(shí)實(shí)證研究表明，將計(jì)算思維引入數(shù)學(xué)課堂能夠有效提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力，并為數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供有利的支持［8］，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.從問(wèn)題解決角度來(lái)看，盡管數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維有所差異，但它們更多體現(xiàn)了某種一致性.PISA項(xiàng)目組在《PISA2022數(shù)學(xué)框架》中融入了計(jì)算思維教育評(píng)估的內(nèi)容，用于評(píng)估數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)生的計(jì)算思維能力.國(guó)內(nèi)也有不少學(xué)者強(qiáng)調(diào)將計(jì)算思維納入數(shù)學(xué)教育的重要性［9-10］.可見(jiàn)在數(shù)智時(shí)代，將計(jì)算思維融入數(shù)學(xué)素養(yǎng)將會(huì)是未來(lái)發(fā)展的必然趨勢(shì)，因此有必要重視數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科在STEAM+CT教育中的作用.

3 實(shí)施框架：以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)

以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)，是指由教師或團(tuán)隊(duì)在數(shù)學(xué)課程中選擇適合內(nèi)容作為教學(xué)的中心，運(yùn)用數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)等多學(xué)科知識(shí)，以提升學(xué)生計(jì)算思維為目標(biāo)而開展的教學(xué).5E教學(xué)模式是基于建構(gòu)主義的探究式教學(xué)模式，它包括參與、探究、解釋、遷移與評(píng)價(jià)五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，如今已成為STEAM教育的主流模式.本研究在梳理國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，參照5E教學(xué)模式總結(jié)出以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)的實(shí)施框架（圖1）.

3.1 目標(biāo)層：指向計(jì)算思維核心能力培養(yǎng)

本研究以Korkmaz［11］等提出的計(jì)算思維五大核心技能作為教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo).其中，創(chuàng)造力是指產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新事物的能力.算法思維包含理解、建立、優(yōu)化與應(yīng)用算法的一系列邏輯步驟.批判思維是決定行為的反思性思維，通過(guò)批判性思考對(duì)多種方案進(jìn)行合理地判斷與決策.問(wèn)題解決能力是制定解決方案、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃方案的能力，并在解決某一特定情境的問(wèn)題后，能將解決方案遷移到另一個(gè)相似情境中去.協(xié)作思維是通過(guò)交流合作最大化個(gè)人和他人學(xué)習(xí)成果的能力.

3.2 內(nèi)容層：基于數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容選取

目標(biāo)層指導(dǎo)下內(nèi)容的選取需以數(shù)學(xué)為核心，從數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)處入手，實(shí)現(xiàn)各門學(xué)科知識(shí)的有機(jī)融合.數(shù)學(xué)教材無(wú)論是在正文處還是在例題、專欄處都呈現(xiàn)了大量跨學(xué)科素材，這些素材來(lái)源于自然科學(xué)、工程技術(shù)等學(xué)科，這為以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)開展提供了有力支持.在內(nèi)容選取上，教師還可以主動(dòng)和不同學(xué)科教師之間進(jìn)行學(xué)科交流，通過(guò)跨學(xué)科教研活動(dòng)尋找教學(xué)立足點(diǎn).

3.3 教學(xué)層：立足5E教學(xué)模式開展合作學(xué)習(xí)

合作學(xué)習(xí)是STEAM+CT教學(xué)中常用的教學(xué)活動(dòng)，且被證實(shí)能夠有效提高學(xué)生計(jì)算思維能力.故本教學(xué)實(shí)施框架將合作學(xué)習(xí)作為主要活動(dòng)方式.在5E教學(xué)模式指導(dǎo)下，教學(xué)流程分五步：第一，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣.通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生的探究興趣.第二，合作探究，初步感知.在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生分組嘗試自主探究，初步感知學(xué)習(xí)內(nèi)容.第三，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解釋論證.學(xué)生將小組自主探究后發(fā)現(xiàn)的規(guī)律予以說(shuō)明，師生合作交流共同探討規(guī)律背后的知識(shí)原理.第四，知識(shí)遷移，深度感知.學(xué)生通過(guò)合作深度感知學(xué)習(xí)內(nèi)容，嘗試將所學(xué)知識(shí)遷移到其他領(lǐng)域.第五，評(píng)價(jià)檢測(cè)，反思總結(jié).通過(guò)學(xué)習(xí)反思等教學(xué)策略，深化知識(shí)理解.通過(guò)多樣化的評(píng)價(jià)方式，檢測(cè)課堂教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)情況.

4 課例開發(fā)：探索分形幾何奧秘

人教A版、滬教版等高中數(shù)學(xué)新教材在數(shù)列章節(jié)均呈現(xiàn)了科赫雪花曲線、 謝爾賓斯基三角形等多個(gè)分形圖形.本案例以數(shù)學(xué)分形圖形的探究為主線，帶領(lǐng)學(xué)生觀察自然界中的分形，感知分形在各門學(xué)科中的應(yīng)用.本課例預(yù)設(shè)分配2個(gè)課時(shí)，數(shù)學(xué)教師在熟悉所需的其他學(xué)科知識(shí)基礎(chǔ)上，可獨(dú)自展開本課教學(xué).本課也可由多位老師共同協(xié)作展開教學(xué).

4.1 能力目標(biāo)與學(xué)科內(nèi)容分析

能力目標(biāo)以計(jì)算思維為核心，發(fā)展計(jì)算思維的同時(shí)提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).包括培養(yǎng)創(chuàng)造力，通過(guò)動(dòng)手創(chuàng)造分形藝術(shù)品提升設(shè)計(jì)與創(chuàng)新能力；培養(yǎng)算法思維，通過(guò)自定義函數(shù)以及一系列循環(huán)、分支結(jié)構(gòu)的編程語(yǔ)句，實(shí)現(xiàn)分形圖形的繪制，以此提升直觀想象核心素養(yǎng)；培養(yǎng)批判思維，在數(shù)學(xué)推理和分析過(guò)程中判斷方法的正誤，通過(guò)比較實(shí)現(xiàn)方法優(yōu)化等，以此提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；培養(yǎng)問(wèn)題解決能力，用數(shù)學(xué)知識(shí)探討分析圖形性質(zhì)，以此提升數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；培養(yǎng)協(xié)作思維，通過(guò)小組成員的協(xié)調(diào)分工、合作交流共同完成課堂學(xué)習(xí)任務(wù).

學(xué)習(xí)內(nèi)容包括STEAM多學(xué)科內(nèi)容.數(shù)學(xué)主要了解分形幾何，通過(guò)數(shù)列與極限的知識(shí)探究科赫雪花、謝爾賓斯基三角形等分形圖形；科學(xué)主要感知大自然與人體中的分形結(jié)構(gòu)，例如細(xì)胞繁殖分裂過(guò)程中的分形等；技術(shù)學(xué)習(xí)Python編程知識(shí)，包括遞歸算法、Turtle繪圖庫(kù)等；工程了解程序開發(fā)的一般流程，包括開發(fā)環(huán)境選擇、功能模塊設(shè)計(jì)等；藝術(shù)鑒賞分形美術(shù)作品，感知分形魅力.

4.2 學(xué)習(xí)者分析

本課可設(shè)置在數(shù)列章節(jié)學(xué)習(xí)之后，授課對(duì)象為高二學(xué)生.在核心素養(yǎng)發(fā)展上，學(xué)生經(jīng)過(guò)高中內(nèi)容的學(xué)習(xí)，各門學(xué)科的核心素養(yǎng)與思維能力都得到發(fā)展.在先驗(yàn)知識(shí)掌握上，學(xué)生已學(xué)習(xí)本堂課所需的必需知識(shí)，如數(shù)學(xué)的數(shù)列知識(shí)、信息技術(shù)的算法與Python程序語(yǔ)言等.

4.3 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

在以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)實(shí)施框架指導(dǎo)下開展本課的教學(xué).各教學(xué)環(huán)節(jié)涉及的學(xué)科內(nèi)容及對(duì)應(yīng)培養(yǎng)的計(jì)算思維核心能力如圖2所示.

4.3.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)大自然中的分形圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片中物體的共同特點(diǎn)，隨后簡(jiǎn)要介紹分形結(jié)構(gòu)：分形結(jié)構(gòu)依照某種固定的規(guī)則，不斷延伸或不斷細(xì)化下去得到的圖像，將與最初的圖像高度相似.

問(wèn)題1：大自然中存在著大量的分形結(jié)構(gòu).而我們的人體其實(shí)也是分形的杰作，你們能發(fā)現(xiàn)人體中的分形結(jié)構(gòu)嗎？

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生相互討論，思考人體中的分形結(jié)構(gòu).以細(xì)胞分裂為例，通過(guò)視頻呈現(xiàn)細(xì)胞有絲分裂五個(gè)時(shí)期的過(guò)程圖示.不難看出經(jīng)過(guò)一個(gè)細(xì)胞周期形成的兩個(gè)子細(xì)胞中遺傳物質(zhì)與母細(xì)胞完全相同.母細(xì)胞包含與其自身相似的子細(xì)胞的全部信息，這就是分形結(jié)構(gòu).教師指出分形結(jié)構(gòu)的背后蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)知識(shí)，并帶領(lǐng)學(xué)生共同探討.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)自然界事物中分形的展示，給學(xué)生帶來(lái)視覺(jué)沖擊，讓學(xué)生直觀感受到分形的藝術(shù)之美.通過(guò)細(xì)胞分裂揭示人體內(nèi)的分形奧秘，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

4.3.2 合作探究，初步感知

問(wèn)題2：科赫雪花是一種典型的分形圖形，它由瑞典數(shù)學(xué)家科赫首次提出.我們就從科赫雪花出發(fā)走進(jìn)分形幾何的大門.請(qǐng)觀察科赫雪花的圖案，思考我們?nèi)绾尾僮骺梢缘玫窖┗▓D形？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確科赫雪花的形成過(guò)程：第一步，繪制一個(gè)等邊三角形；第二步，對(duì)等邊三角形每條邊三等分處理，并以中間的一條線段為底邊向外作等邊三角形；第三步，對(duì)新得到的三角形重復(fù)第二步操作，無(wú)限多次重復(fù)操作便可得到雪花曲線.

任務(wù)1：小組合作編寫雪花曲線繪制程序.

師生活動(dòng)：科赫雪花形成過(guò)程中需對(duì)已經(jīng)三等分的線段再次進(jìn)行三等分操作，這與計(jì)算機(jī)中的遞歸算法相似.教師向?qū)W生講解遞歸算法：遞歸算法是一種通過(guò)重復(fù)將問(wèn)題分解為同類的子問(wèn)題從而解決問(wèn)題的方法，其特征在于直接或間接調(diào)用“自身”.隨后教師向?qū)W生詳細(xì)介紹Python繪圖模塊Turtle以及常見(jiàn)繪圖函數(shù).在教師指導(dǎo)下，各小組進(jìn)行代碼塊設(shè)計(jì)、工程文件創(chuàng)建，并完成代碼編寫.

問(wèn)題3：從多次迭代后的雪花曲線中，大家能發(fā)現(xiàn)什么特征？

師生活動(dòng)：教師展示學(xué)生編寫的程序代碼（圖3）.通過(guò)多次迭代操作，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知科赫雪花曲線面積有限但周長(zhǎng)無(wú)限的特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)指向?qū)W生算法與協(xié)作思維的培養(yǎng)，通過(guò)技術(shù)、工程等學(xué)科的融入，增添學(xué)生的課堂參與度.學(xué)生不僅拓展了多學(xué)科的知識(shí)，更重要的是通過(guò)編制的程序能直觀發(fā)現(xiàn)雪花曲線的特征.

4.3.3 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解釋論證

問(wèn)題4：如何用數(shù)學(xué)方法證明科赫雪花面積有限但周長(zhǎng)無(wú)限的特點(diǎn)？

師生活動(dòng)：教師和學(xué)生統(tǒng)一數(shù)據(jù)對(duì)雪花曲線進(jìn)行定量分析：原三角形邊長(zhǎng)為a，周長(zhǎng)為l，面積為s.讓學(xué)生合作填寫表1，嘗試用數(shù)列知識(shí)得出雪花曲線周長(zhǎng)和面積的通項(xiàng)公式，并用極限思想加以證明.

問(wèn)題5：1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德勃羅提出“英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)”的問(wèn)題，并指出英國(guó)海岸線根本沒(méi)有準(zhǔn)確長(zhǎng)度.你能否用剛剛探究雪花曲線得到的結(jié)論來(lái)支持這個(gè)說(shuō)法？

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)海岸線圖，并讓學(xué)生小組討論分析曼德勃羅說(shuō)法背后的理由.事實(shí)上，由于海岸線極不規(guī)則，倘若用單位為千米的工具測(cè)量，那么幾米到幾百米的彎曲就可能被忽略不計(jì)；但改用單位為米的工具測(cè)量，則上述被忽略不計(jì)的彎曲可被計(jì)入，但仍然有幾厘米到幾十厘米的彎曲可能被忽略.可見(jiàn)，隨著計(jì)量單位的不斷縮小，海岸線測(cè)量值會(huì)不斷變大.

問(wèn)題6：分形為何有這種奇怪的特性，究竟何為分形？

師生活動(dòng)：教師播放分形幾何誕生的視頻：分形幾何由曼德勃羅首次提出，它是以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué).其基本思想是客觀事物的局部與整體在形態(tài)、時(shí)間、空間等方面具有相似性.現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在不規(guī)則形狀和現(xiàn)象，因此分形幾何已經(jīng)成為重要的數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)需要嚴(yán)謹(jǐn)論證，通過(guò)數(shù)列知識(shí)與極限思想讓學(xué)生對(duì)分形圖形特征加以證明，在過(guò)程中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)得到提升.通過(guò)小組合作探討海岸線長(zhǎng)度問(wèn)題，有效地培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力.通過(guò)分形幾何的介紹，讓學(xué)生意識(shí)到分形幾何比歐氏幾何有更廣泛的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用需求，從而提升批判思維能力.

4.3.4 知識(shí)遷移，深度感知

問(wèn)題7：大自然中的分形以及科赫雪花曲線都讓我們看到了分形的藝術(shù)之美.那在藝術(shù)家眼里，分形是否能夠帶來(lái)創(chuàng)作的靈感呢？

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)關(guān)于分形的美術(shù)作品，如《富士山景》《富春山居圖》等.教師介紹這些作品中呈現(xiàn)的分形美，讓學(xué)生鑒賞這些藝術(shù)作品.分形簡(jiǎn)單的自相似性，往往能夠帶給藝術(shù)作品精美的有序結(jié)構(gòu)，讓作品充滿動(dòng)態(tài)平衡，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中無(wú)窮的和諧.隨后教師呈現(xiàn)裝飾物上的分形紋理（圖4）.

問(wèn)題8：裝飾物中出現(xiàn)了另一個(gè)典型的分形圖形——謝爾賓斯基三角形，它與中國(guó)古代數(shù)學(xué)的楊輝三角形密切相關(guān).當(dāng)我們把楊輝三角中的奇數(shù)位標(biāo)黑就能得到謝爾賓斯基三角形（圖5左），你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形哪些特征？

師生活動(dòng)：結(jié)合剛剛雪花曲線的分析方式，讓學(xué)生思考謝爾賓斯基三角形的構(gòu)造過(guò)程，并用數(shù)列的知識(shí)表示黑色部分的周長(zhǎng)與面積.

問(wèn)題9：如果是連接三邊的垂足點(diǎn)，則可以得到謝爾賓斯基踏板三角形（圖5右）.從數(shù)學(xué)角度看，你又能發(fā)現(xiàn)它有什么性質(zhì)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原三角形進(jìn)行分類，從一次迭代出發(fā)，觀察踏板三角形的性質(zhì)（圖6）.以銳角三角形為例，學(xué)生合作討論可以得到原三角形和外圍三個(gè)小三角形相似的結(jié)論.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究其他三角形是否具有同樣性質(zhì).如果有，那么繼續(xù)迭代下去，相似三角形的總個(gè)數(shù)是否可以用數(shù)列表示.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)介紹分形在藝術(shù)中的應(yīng)用，在增添本堂課趣味的同時(shí)讓學(xué)生感知到分形幾何的魅力.由藝術(shù)引出謝爾賓斯基三角形，在探究雪花曲線后讓學(xué)生自主探究謝爾賓斯基三角形，有利于提升知識(shí)遷移能力.

4.3.5 評(píng)價(jià)檢測(cè)，反思總結(jié)

任務(wù)2：經(jīng)過(guò)多個(gè)分形圖形的學(xué)習(xí)，請(qǐng)小組合作完成一個(gè)分形藝術(shù)作品.

問(wèn)題10：通過(guò)這堂課，你學(xué)到了什么？課后你還想對(duì)分形深入了解什么內(nèi)容？

師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生合作完成藝術(shù)作品.可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度加以設(shè)計(jì)，例如勾股樹的分形.各小組分別上臺(tái)展示作品，并闡述設(shè)計(jì)理念及作品中的分形元素.由學(xué)生本人、同學(xué)、教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中任務(wù)或作品的完成情況進(jìn)行多方面的量化及質(zhì)性評(píng)估.最后師生共同回顧本次課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生合作完成分形藝術(shù)作品的過(guò)程中能有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力與協(xié)作能力.通過(guò)課堂反思總結(jié)，深化學(xué)生對(duì)分形的理解，同時(shí)激發(fā)進(jìn)一步探索分形的興趣.

5 結(jié)語(yǔ)

黨的二十大報(bào)告中首次寫入“推進(jìn)教育現(xiàn)代化”，并明確要求著力提升師生數(shù)字化素養(yǎng)和能力.在此背景下，培養(yǎng)學(xué)生與數(shù)智時(shí)代相匹配的素養(yǎng)已成為新時(shí)代教育的重要議題.STEAM教育與計(jì)算思維的融合為計(jì)算思維融入基礎(chǔ)學(xué)科教育提供了可行路徑.數(shù)學(xué)與諸多學(xué)科均有聯(lián)系，且與計(jì)算思維內(nèi)涵具有高度一致性.以數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的STEAM+CT教學(xué)能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科建立有機(jī)銜接，教學(xué)過(guò)程能夠有效指向計(jì)算思維核心能力的培養(yǎng).這不僅回應(yīng)了計(jì)算思維融入中小學(xué)教育的時(shí)代號(hào)召，同時(shí)回應(yīng)了數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)跨學(xué)科教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需求.本研究提出的教學(xué)實(shí)施框架為STEAM+CT教學(xué)提供新路徑，以期實(shí)現(xiàn)STEAM+CT教學(xué)和數(shù)學(xué)課程之間的協(xié)同增益.未來(lái)需要進(jìn)一步豐富這一路徑的內(nèi)涵與形式，為STEAM+CT教學(xué)提供借鑒.

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作者簡(jiǎn)介

劉寧暉（1999—），男，浙江寧波人，浙江師范大學(xué)碩士研究生; 主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科教學(xué).

朱哲（1979—），男，浙江紹興人，教育學(xué)博士，浙江師范大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師;主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.