幾何畫板助力小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)策略探究

【摘要】隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的迅速發(fā)展，計算機多媒體在學(xué)校教育中逐漸普及，計算機輔助教學(xué)受到了廣大教師的關(guān)注和重視.幾何畫板是計算機應(yīng)用中的教學(xué)軟件，內(nèi)容豐富，簡單易操作，以各種圖形為基礎(chǔ)，具有強大的畫圖和生動的演示功能，在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，有利于小學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂的構(gòu)建.文章分析了幾何畫板與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的背景，探究了幾何畫板在幾何概念教學(xué)中、問題解決和推理中的作用，以期為課堂教學(xué)賦能，為學(xué)生的核心素養(yǎng)和綜合能力的提升助力.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；小學(xué)數(shù)學(xué)；“圖形與幾何”；教育信息化

幾何畫板是一款專業(yè)的數(shù)學(xué)輔助教學(xué)軟件，全稱為動態(tài)幾何畫板.幾何畫板兼具畫圖、度量、動態(tài)演示等功能，它能為幾何教學(xué)服務(wù)，它作用是普通畫圖軟件無法替代的，被稱為“幾何點金石”.下面從幾何畫板與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的背景、幾何畫板在幾何概念教學(xué)中的應(yīng)用、幾何畫板在問題解決和推理中的應(yīng)用三個方面來闡述對于幾何畫板的應(yīng)用研究.

一、幾何畫板與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu).”

華東師范大學(xué)孔企平教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”國際課程改革動向分析》一文中提出：“重視動態(tài)幾何軟件等現(xiàn)代信息技術(shù)的運用是國際小學(xué)數(shù)學(xué)‘圖形與幾何’課程呈現(xiàn)出的最重要的一個特點，也是全世界小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的一個共識和趨勢.”

目前國內(nèi)外的對于幾何教學(xué)領(lǐng)域的研究，都關(guān)注到了技術(shù)與教學(xué)的融合.作為一線教師，應(yīng)該深切認(rèn)識這種融合的必要性和重要性，在教學(xué)中尋找技術(shù)與教學(xué)的最佳契合點和應(yīng)用點，并積極實踐，讓技術(shù)為我們的教學(xué)賦能.

二、幾何畫板在幾何概念教學(xué)中的應(yīng)用

（一）幾何圖形的繪制和構(gòu)建

一方面，在當(dāng)前的“雙減”背景下，教師急需提升自主命題水平，在“圖形與幾何”相關(guān)題目的編制過程中，時常需要繪制標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形，如長方形、正方形、等邊三角形、圓等平面幾何圖形，正方體、長方體、圓柱、圓錐等立體圖形，甚至還有不規(guī)則圖形、組合圖形、坐標(biāo)系、陰影部分等，尤其是在制作自創(chuàng)題時，教師很難使用“截圖”“復(fù)制”或者電腦自帶的畫圖軟件來完成，這時就需要借助幾何畫板軟件輔助作圖.

另一方面，“圖形與幾何”相關(guān)概念比較抽象，學(xué)生對概念的理解存在淺層次、表面化的現(xiàn)象.如果教師能在講解時利用幾何畫板進(jìn)行演示，能幫助學(xué)生抽象出概念的本質(zhì)，降低理解的難度.

例如，學(xué)生對于鈍角三角形的高，理解上普遍存在困難.利用幾何畫板，可以實時顯示出鈍角三角形的高，拖動頂點改變?nèi)切蔚男螤?，三角形的高也會實時變化，這樣可以幫助學(xué)生抽象出“三角形的高”這個概念.還能讓學(xué)生進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，同一個三角形三條邊長的高交于一點，這個點就是“垂心”（如圖1）.

再如，在“圓的認(rèn)識”教學(xué)過程中，教師可以通過幾何畫板的“動畫”和“記錄軌跡”功能，呈現(xiàn)圓的動態(tài)形成過程（如圖2），讓學(xué)生在觀察與思考中進(jìn)一步體會什么是圓，為后續(xù)理解圓的本質(zhì)特征奠定基礎(chǔ).同時，教師可以改變線段長度即半徑，讓學(xué)生感受圓的大小與半徑有關(guān)的知識點.

（二）溝通“點、線、面、體”之間的聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求：“學(xué)生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認(rèn)識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的經(jīng)驗，逐步形成空間觀念.”幾何畫板的動畫功能可以在溝通“點、線、面、體”的關(guān)系中發(fā)揮重要作用.

例如，在教學(xué)“圓柱和圓錐”的過程中，教師可以通過幾何畫板動態(tài)演示“三角形和長方形旋轉(zhuǎn)形成圓錐和圓柱的過程”（如圖3），發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形與圓錐各要素之間的關(guān)系、長方形和圓柱的各要素之間的關(guān)系，并利用這些關(guān)系以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)深入理解圓錐和圓柱的特征，幫助學(xué)生初步建構(gòu)研究立體圖形的新視角、新方法.

再如，“長方體和正方體的認(rèn)識”是學(xué)生學(xué)習(xí)三維圖形的起始課，教師可以在導(dǎo)入環(huán)節(jié)利用好幾何畫板的動態(tài)演示功能和即時生成的特點，讓學(xué)生經(jīng)歷從一維到二維再到三維的過程（如圖4），建立空間觀念.

（三）角度和尺寸的測量和比較

幾何畫板具有強大的“度量”功能，包括長度、距離、周長、角度、面積等.將“度量”功能與移動功能相配合，就能直觀展示數(shù)與形之間的變化關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、分析、抽象、推理、建模等活動，鼓勵他們積極探索幾何圖形中蘊含的規(guī)律.

例如，在“點到直線的距離”這個內(nèi)容的教學(xué)中，教師可讓學(xué)生用刻度尺度量幾條線段的長度，然后比較它們的長短，進(jìn)而找到最短的那條.不少學(xué)生對于所量的這幾條線段是有感覺的，能感受到垂直的那條是最短的.可是，只量了幾條樣本數(shù)量過少，想要量無數(shù)條卻無法實現(xiàn).在幾何畫板制作的這個小工具中，可以隨意拖動改變點B的位置，讓學(xué)生動態(tài)感受AB長度和角度之間的關(guān)系，驗證他們的猜想（如圖5）.

再如，在“圓的周長”教學(xué)過程中，學(xué)生通過自己的實驗得到幾組數(shù)據(jù)之后，用周長除以直徑，獲得了多個不相等的結(jié)果，接著由教師介紹“圓周率”.最終，圓周率還是教師“給”的，而不是自己“算”的.試想，如果能夠克服手動測量的誤差，我們是不是能讓學(xué)生自己得到圓周率呢？利用幾何畫板的測量和計算功能，可以彌補這一缺憾.通過改變圓的大小，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，無論圓的大小如何改變，圓的周長和直徑的比值是不變的，這個比值就是圓周率（如圖6）.帶領(lǐng)學(xué)生從猜想開始，經(jīng)歷探究過程，自己得到結(jié)論，這樣的課堂實驗會更加完整.

（四）圖形的運動與變化

小學(xué)階段要求學(xué)生掌握的“圖形的運動”的知識包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及圖形的放大與縮小，利用好反射、平移、旋轉(zhuǎn)、縮放，能幫助理解概念，與“參數(shù)”和“度量”等功能相結(jié)合，能幫助學(xué)生深度理解知識.

例如，在“軸對稱”相關(guān)概念教學(xué)的過程中，教師可以利用幾何畫板工具，任意改變圖形的形狀，即時生成軸對稱圖形（如圖7）.在課堂上插入這個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“變化———想象———驗證”的過程，幫助學(xué)生牢固掌握“軸對稱”的概念.

（五）動態(tài)演示和模擬實驗

建構(gòu)主義強調(diào)學(xué)生的主動認(rèn)知和積極建構(gòu).作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中汲取靈感，借助幾何畫板這個強有力的工具，幫助學(xué)生形成知識體系，培養(yǎng)其建構(gòu)意識.幾何畫板為學(xué)生提供了生動形象實驗情境，與建構(gòu)主義實踐的情境創(chuàng)設(shè)部分相契合，是高質(zhì)量的建構(gòu)實踐載體.教師在“圖形與幾何”教學(xué)中利用幾何畫板，由淺入深、由簡單到復(fù)雜地講授數(shù)學(xué)知識，符合建構(gòu)觀的構(gòu)成要件，有利于學(xué)生接收數(shù)學(xué)信息，并嘗試?yán)脦缀萎嫲寮庸ぬ幚?，從而形成整體性的知識架構(gòu).因此，在貫徹落實建構(gòu)理論時，教師應(yīng)將幾何畫板的使用與創(chuàng)新性的教學(xué)策略相結(jié)合，使學(xué)生深層次地理解相關(guān)概念和公式，提高小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識.

例如，在“圓的面積”一課的教學(xué)中，將圓等分成扇形，再組合成近似的長方形，是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，這個模型對于學(xué)生理解圓面積公式的由來是非常重要的.但是，由于篇幅限制，書上只呈現(xiàn)了16等分、32等分的兩個案例，并讓學(xué)生想象出64等分的結(jié)果.教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自己“拼一拼”的過程中，已經(jīng)存在困難，若再要學(xué)生想象，則是難上加難，這對于小學(xué)階段學(xué)生的想象能力是不小挑戰(zhàn).而利用幾何畫板制作的小工具能幫助想象能力稍差一點的學(xué)生突破阻礙.在這個小工具中，教師能任意改變等分的份數(shù)，形成等分后的圓及扇形，再通過動畫按鈕將兩部分進(jìn)行組合（如圖8）.相比傳統(tǒng)教學(xué)，學(xué)生更能直觀地感受到，隨著等分份數(shù)的增加，拼成的圖形會無限地趨近于長方形，讓學(xué)生對這個模型的理解更加深刻.

三、幾何畫板在問題解決和推理中的應(yīng)用

（一）推理和證明幾何性質(zhì)的過程

幾何畫板能夠?qū)Α包c、線、面、體”這些基本元素進(jìn)行變換、構(gòu)造、測量、計算、動畫、追蹤軌跡等動作.通過幾何畫板進(jìn)行嚴(yán)格地、遵循幾何規(guī)律的操作，能夠彌補傳統(tǒng)教學(xué)中動手操作帶來的不準(zhǔn)確、樣本數(shù)量少等缺陷，還能讓抽象的代數(shù)關(guān)系和幾何圖形形象化，便于學(xué)生推理和證明幾何性質(zhì).

例如，在“三角形三邊關(guān)系”一課，教師通常會給學(xué)生幾根長度不同的小棒，讓學(xué)生進(jìn)行探索.但是由于材料的限制，學(xué)生可以得到的數(shù)據(jù)有限.利用幾何畫板制作的小工具，可以設(shè)定任意長度，得到無數(shù)組數(shù)據(jù)，增加樣本數(shù)量.設(shè)置好三條線段的長度之后，點擊“驗證”，如果三條線段的長度能組成三角形就會靠在一起，排除了實際操作中小棒寬度等干擾，讓實驗結(jié)果更加準(zhǔn)確，利于學(xué)生探究、總結(jié)規(guī)律.

（二）創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

創(chuàng)新能力和創(chuàng)造能力是推動社會進(jìn)步的內(nèi)在驅(qū)動力.因此，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，從而提升學(xué)生適應(yīng)社會的能力.如果教師能夠合理發(fā)揮幾何畫板的作用，就能豐富教學(xué)形式，促進(jìn)學(xué)生深入探究圖形與幾何相關(guān)知識的內(nèi)涵，為學(xué)生創(chuàng)造和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供土壤.

例如，蘇教版數(shù)學(xué)教科書五年級下冊“轉(zhuǎn)化”單元有這樣一道思考題：“如圖9，涂色部分是正方形，你能求出圖中最大長方形的周長嗎？”利用幾何畫板，可以建構(gòu)這一題的模型.根據(jù)條件，先繪制一條長度為19cm的ED邊，在ED邊上確定一點G，以EG的長度為邊長繪制正方形EGHF，再繪制長度為27cm的BH邊，最后補全整個圖形ABCD（如圖9）.通過拖動E點，可以發(fā)現(xiàn)正方形的邊長是變化的，進(jìn)一步找到解題思路：可以將正方形邊長設(shè)為a進(jìn)行求解.

結(jié) 語

綜上所述，隨著教育信息化的持續(xù)推進(jìn)，在幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的過程中，確實能提高教育教學(xué)成效.隨著課堂上幾何畫板和數(shù)學(xué)教學(xué)的融合日益深入，教師們越來越多地使用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)提高課堂的有效性.教師們應(yīng)善用幾何畫板的教學(xué)形式，及其對于具象化展示數(shù)學(xué)原理的顯著效果，通過創(chuàng)設(shè)動態(tài)的教學(xué)情境、生動的原理演示建立邏輯思維.同時，這樣的教學(xué)方法更符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，改變傳統(tǒng)課堂枯燥無味的教學(xué)模式，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張宏軍.幾何畫板在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實踐研究[J].新課程，2022（24）：60-61.

[2]冉雪.教育信息化背景下幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（29）：53-54.

[3]王麗美.探索“幾何畫板”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2021（14）：150-153.

[4]程鵬.“幾何畫板”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的運用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（8）：102