“數(shù)形結(jié)合思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用，旨在通過將“數(shù)”與“形”兩類數(shù)學(xué)要素進(jìn)行轉(zhuǎn)化或融合，簡化數(shù)學(xué)知識的理解難度，活躍學(xué)生思維，提高他們解決數(shù)學(xué)問題的能力.文章分析了“數(shù)形結(jié)合思想”的含義，探究了應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”的理論基礎(chǔ)，研究了在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用此種思想的要點(diǎn)，從知識探索和運(yùn)用兩方面視角，闡述開展“數(shù)形結(jié)合”類探知活動，設(shè)計以數(shù)解形、借形解數(shù)等問題，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的策略，旨在為教師合理應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”提供思路.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教師應(yīng)當(dāng)開展能夠促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展的教學(xué)活動，要讓他們經(jīng)歷觀察、思考、分析、推理、計算等數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，使其真正體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，從中積累更多有價值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng).對此，教師可以在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，引入“數(shù)形結(jié)合思想”，應(yīng)用此種思想，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理論探究和技能實(shí)踐，讓他們掌握以數(shù)解形、以形解數(shù)的方法，使其在數(shù)形互譯過程中，深度理解數(shù)學(xué)知識，提高解決數(shù)學(xué)問題的效率與能力.

一、“數(shù)形結(jié)合思想”概述

“數(shù)形結(jié)合思想”指的是根據(jù)數(shù)與形之間的關(guān)系，將抽象數(shù)量與具象圖像進(jìn)行關(guān)聯(lián)對應(yīng)，通過數(shù)與形之間相互輔助、相互轉(zhuǎn)化、相互指引的方法，理解數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想.“數(shù)形結(jié)合思想”中“數(shù)”與“形”之間是相互轉(zhuǎn)化、相互輔助的，可以用“數(shù)”的形式表現(xiàn)“形”，體現(xiàn)事物的具體數(shù)量或增減變化，也可以用“形”的方式探索“數(shù)”，直觀呈現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系等.

“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用不僅能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律等以直觀、形象的方式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，還能有效活躍他們的思維，使其能夠通過數(shù)形轉(zhuǎn)化、數(shù)形互譯等方式，快速解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提升知識遷移運(yùn)用的水平.

二、“數(shù)形結(jié)合思想”的理論基礎(chǔ)

（一）腦科學(xué)理論

腦科學(xué)理論由美國神經(jīng)生物學(xué)家斯佩里提出，該理論強(qiáng)調(diào)人類大腦由左、右兩個部分構(gòu)成，而左腦和右腦有著不同的思維方式，左腦更具有分析性、邏輯性特點(diǎn)，善于研究概念性、理論性問題，右腦則具有無序性、跳躍性特點(diǎn)，善于處理一些感知類、視覺類問題.這一理論指出了左、右腦各自具備的特征和優(yōu)勢，說明了對人類的左右腦進(jìn)行共同開發(fā)，能夠使其產(chǎn)生對世界實(shí)現(xiàn)感性與理性交織的認(rèn)知.在“數(shù)形結(jié)合思想”中，“數(shù)”更傾向于左腦認(rèn)知，“形”則傾向于右腦認(rèn)知.對此，教師可以根據(jù)腦科學(xué)理論，將“數(shù)”與“形”進(jìn)行合理融合，引導(dǎo)學(xué)生同時運(yùn)用左、右腦認(rèn)知數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題.

（二）認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論

認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論由美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納提出，該理論認(rèn)為人類對世界的認(rèn)知是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對聽到的、看到的新信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)和重組，從而實(shí)現(xiàn)對外界認(rèn)知的不斷建構(gòu).另外，在認(rèn)知建構(gòu)過程中，人們并不是簡單的組合或羅列信息，而是要根據(jù)各信息之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行科學(xué)聯(lián)結(jié).對此，根據(jù)這一理論，教師在“數(shù)形結(jié)合思想”應(yīng)用過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，不能隨意選擇數(shù)學(xué)圖形或模型與數(shù)量關(guān)系相連，這樣才能使“數(shù)”與“形”之間實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化或融合.

三、“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用要點(diǎn)

（一）注重數(shù)形之間的對等性

教師在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”時，需要遵循數(shù)與形之間的對等性原則，要讓學(xué)生深入了解數(shù)字、數(shù)量、圖形、圖像等要素之間的關(guān)系，使其能夠在特定的情境或條件下，對數(shù)與形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換或相互替代，這樣才能用“形”解決相關(guān)的“數(shù)”的問題，或者用“數(shù)”表示相應(yīng)的“形”的問題.

（二）突出數(shù)形之間的互換性

另外，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”探究知識或解決問題時，需要遵循數(shù)形之間的互換性原則，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)字、數(shù)量關(guān)系等數(shù)學(xué)語言描述圖形，揭示圖形特征等，用圖形、圖像、模型等形象化方式，表示抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)量關(guān)系等，使其通過對數(shù)與形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，加深對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，同時，掌握“數(shù)形結(jié)合思想”的運(yùn)用方法.

四、“數(shù)形結(jié)合思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用措施

（一）巧用“數(shù)形結(jié)合思想”，探究數(shù)學(xué)知識

在數(shù)學(xué)復(fù)雜概念、抽象規(guī)律教學(xué)過程中，教師為了降低知識的理解難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，可以應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”開展教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形解析算理，用數(shù)量表示圖形知識等，以此來加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解.

1.借助圖形，揭示數(shù)學(xué)算理

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的知識通常按照從易到難的遞進(jìn)順序編排，學(xué)生隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷進(jìn)階，要掌握的知識也更加抽象，更加復(fù)雜.比如，在第二階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要從簡單的整數(shù)運(yùn)算知識過渡到分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算知識.對此，教師為了讓學(xué)生能夠更加快速地掌握較為抽象的數(shù)學(xué)算理，使其能夠真正理解分?jǐn)?shù)運(yùn)算或小數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在邏輯，提升他們的運(yùn)算能力，可以應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”，借助直觀圖形，開展算理形象化探究活動.

針對上圖內(nèi)容，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，使其通過分析圖形的移動與組合，理解同分母分?jǐn)?shù)相加的算理，即相同分母的分?jǐn)?shù)相加，其分母不變，只相加分子.教師引導(dǎo)學(xué)生將算式轉(zhuǎn)化成圖形，能夠使其更加直觀地理解數(shù)學(xué)算理，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.以數(shù)助形，揭示圖形知識

圖形本身具有直觀、形象的特征，對于學(xué)生來說，他們也更容易掌握圖形的特點(diǎn)、圖形計算等知識，但是，他們可能會在理解和描述圖形的性質(zhì)、圖形的規(guī)律等方面遇到困難.對此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”，借助數(shù)字或數(shù)量關(guān)系等“數(shù)”的表示方法，對稍有難度的圖形知識進(jìn)行分析與研究，使其能夠運(yùn)用理性思維、數(shù)學(xué)語言，客觀描述與圖形相關(guān)的理論、性質(zhì)、規(guī)律等，進(jìn)而深化學(xué)生對圖形知識的理解，使其進(jìn)一步體會“數(shù)形結(jié)合思想”.

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第七單元“圖形的運(yùn)動（二）”教學(xué)為例.針對此單元“圖形的平移”知識，教師可以借助“數(shù)”的語言，引導(dǎo)學(xué)生探究平移的性質(zhì)和規(guī)律.例如，教師先在多媒體課件中展示一幅格子圖，圖中有一個用三角形和不規(guī)則圖形組合而成的“火箭”圖形，每個小方格邊長為1cm.然后，教師引導(dǎo)學(xué)生將該圖形進(jìn)行分割和移動，通過移動使其重新組合成一個長方形，就可以根據(jù)方格計算長方形的面積了.對此，學(xué)生需要將圖形分割成一個三角形和一個不規(guī)則圖形（如圖3），而后將三角形向左邊平移一定的格數(shù)，將不規(guī)則圖形補(bǔ)充完整，從而得到長方形.

之后，教師讓學(xué)生對三角形的移動過程進(jìn)行描述，比如，三角形向左平行移動5個方格；三角形向左平移5厘米等.學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和數(shù)字對平移方向、平移距離進(jìn)行描述，能夠理性呈現(xiàn)圖形的平移規(guī)律和平移性質(zhì)，從而深刻理解圖形的平移知識.

（二）運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”，解決數(shù)學(xué)問題

教師為了提高學(xué)生知識實(shí)踐的能力，可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建豐富多樣的解題活動，讓他們通過解答以數(shù)解形問題、借形解數(shù)問題、數(shù)形互譯問題等，增強(qiáng)思維的靈活性、敏捷性、邏輯性等，同時，提高解決數(shù)學(xué)問題的效率.

1.設(shè)計以數(shù)解形問題

教師為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合思想”，使其能夠更加快速地厘清數(shù)學(xué)問題的解決思路，更加精準(zhǔn)地用數(shù)學(xué)語言闡述問題的結(jié)論，可以圍繞“以數(shù)解形”設(shè)計數(shù)學(xué)問題.針對此類問題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生自覺探究與題中圖形或圖像相關(guān)的數(shù)字或數(shù)量關(guān)系，讓他們對“形”賦予相應(yīng)的“數(shù)”的含義，用“數(shù)”客觀描述或表示“形”，從而快速探索出問題的答案，提高以數(shù)解形的能力.

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第二單元“位置”教學(xué)為例.此單f88098f3e64eaf5d536e4a011c7071bd元包括行、列、數(shù)對的概念，以及用一組數(shù)對表示一個位置等知識.對此，教師可以圍繞“數(shù)對”知識設(shè)計以數(shù)解形問題，讓學(xué)生通過自行解答問題，更加扎實(shí)地掌握用數(shù)對表示位置的方法.例如，教師先將班級座位以行列示意圖的方式呈現(xiàn)在大屏幕上，引導(dǎo)學(xué)生先理解“行”和“列”的概念.然后，教師指導(dǎo)學(xué)生掌握用數(shù)“行”和數(shù)“列”的方式確定某個人的位置，以及用數(shù)對方式表示示意圖中的對應(yīng)位置的方法.之后，教師再設(shè)計一道問答題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)方法自行確定某個人在示意圖中的位置.例如，教師讓學(xué)生用數(shù)對方式表示班長在班級中的位置.對此，學(xué)生需要將班級座位與示意圖相關(guān)聯(lián)，確定行與列的方向和數(shù)量，而后找到班長座位在示意圖中的對應(yīng)位置，同時，確定行數(shù)和列數(shù)，找到行與列的交叉點(diǎn).通過以上講解，學(xué)生能夠順利用（列，行）數(shù)對方式，表示班長所在的位置.學(xué)生通過解答上述問題，能夠?qū)D像信息科學(xué)轉(zhuǎn)化成數(shù)字信息，形成較強(qiáng)地應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合思想”解題意識，同時提高解題的效率.

2.設(shè)計數(shù)形互譯問題

教師除了設(shè)計“數(shù)”與“形”單方面轉(zhuǎn)化的問題之外，還可以設(shè)計兩者互譯類問題，讓學(xué)生先根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系、數(shù)字信息等，將其轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形或數(shù)據(jù)模型，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀化呈現(xiàn)，然后對直觀圖像進(jìn)行深入解析，找到相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)律，厘清數(shù)學(xué)解題的思路，探索出更加便捷的解題方法.之后，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)對圖形進(jìn)行測量和計算，或者對數(shù)據(jù)模型進(jìn)行分析和推測，而后對其進(jìn)行一次轉(zhuǎn)化，用數(shù)學(xué)語言表示問題的結(jié)論.教師設(shè)計數(shù)形互譯問題，既可以使學(xué)生更加深入地體會“數(shù)形結(jié)合思想”，又能借此提高他們靈活、快速解決數(shù)學(xué)問題的能力.

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角──數(shù)與形”教學(xué)為例.此單元要求學(xué)生掌握運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”，通過相互印證解決數(shù)學(xué)問題的方法，知道與“形”有關(guān)的問題中包含著“數(shù)”的規(guī)律，而“數(shù)”的問題可以用“形”的方式輔助解決.另外，學(xué)生需要感受以形解數(shù)的直觀性和簡潔性，體會以數(shù)助形的邏輯性、抽象性.對此，針對上述課程目標(biāo)，教師可以仿照單元案例，圍繞某個知識點(diǎn)設(shè)計與之相似的數(shù)形互譯問題.例如，教師圍繞“可能性”知識，設(shè)計如下問題：在四個完全相同的乒乓球上分別標(biāo)注2，3，4，5四個數(shù)字，然后將它們放入一個不透明的箱子中，第一次任意抽出一個乒乓球，不再放回，第二次再任意抽出一個乒乓球，問兩次抽出乒乓球的數(shù)字之和是7的可能性為多少？對于這個問題，學(xué)生可以根據(jù)已知條件，繪制數(shù)學(xué)模型（如圖4），清晰表示兩次分別抽到某個數(shù)字的具體情況.

結(jié) 語

綜上所述，對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師若想進(jìn)一步增強(qiáng)課程教學(xué)的靈活性、探究性，快速發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高其知識理解和知識應(yīng)用的水平，可以將“數(shù)形結(jié)合思想”融入教學(xué)過程之中，讓學(xué)生在數(shù)和形靈活轉(zhuǎn)化的同時，加深對抽象知識的理解，形成較強(qiáng)的解決數(shù)學(xué)問題的能力.

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