初中幾何概念教學(xué)策略探究

【摘要】幾何是數(shù)學(xué)的重要分支.概念是構(gòu)建幾何知識體系的基石.每個幾何定理、公式和原理都建立在概念之上.基于此，文章從審意、培思、論證三個維度深入探討了初中幾何概念教學(xué)策略：加強詞匯解析和辨析錯誤表述，可確保學(xué)生對幾何概念有準(zhǔn)確的文字理解；結(jié)合視覺演示和經(jīng)驗想象，能引導(dǎo)學(xué)生深入探索幾何概念的空間內(nèi)涵，培養(yǎng)他們的空間想象力；運用推演和反證等論證方法，推動學(xué)生深入剖析幾何概念的邏輯結(jié)構(gòu)，鍛煉他們的邏輯推理能力.旨在強化學(xué)生對幾何概念的理解，并提升學(xué)生的幾何素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何概念教學(xué)；教學(xué)策略

引 言

初中階段的幾何教學(xué)涉及諸多基本概念，通過深入學(xué)習(xí)這些基本概念，學(xué)生可以建立起對空間形態(tài)的基本認(rèn)知，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維能力均具有重要意義.因此，教師應(yīng)重視初中幾何概念教學(xué)，采用有效的教學(xué)策略來提升教學(xué)效果，以幫助學(xué)生更好地掌握幾何知識.

一、審意：幫助學(xué)生把握幾何概念的文本表述

仔細(xì)審視幾何概念的文本表述，有助于學(xué)生建立正確的幾何觀念.不同幾何概念之間層層相扣.審意可使學(xué)生更扎實地掌握幾何基礎(chǔ)概念，有助于形成穩(wěn)固的幾何知識體系.通過“審意”幫助學(xué)生把握初中幾何概念的文本表述，可從以下兩方面入手.

（一）加強詞匯解析

幾何學(xué)中的概念大多有明確的文本定義，詞匯是概念傳達(dá)的載體.通過對詞匯的細(xì)致解析，明確其含義，學(xué)生可以更加深入地理解每個概念所代表的具體含義，更加準(zhǔn)確地把握每個概念的應(yīng)用范圍.因此，在初中幾何概念教學(xué)中，要深入剖析幾何概念中的關(guān)鍵詞匯，明確其精確含義，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握幾何概念的內(nèi)涵.

以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第7單元《平面圖形的認(rèn)識（二）》（以下省略）“探索直線平行的條件”教學(xué)為例，直線平行的條件中包含“直線”“平行”等關(guān)鍵詞匯，因此，教師在進(jìn)行幾何概念教學(xué)時，可加強對這些關(guān)鍵詞匯的解析，以幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何概念的內(nèi)涵.直線是由無數(shù)個點組成的，兩點確定一條直線，且直線在平面上是無限延伸的.在探索直線平行的條件時，學(xué)生需要理解直線的這一基本屬性，特別是直線的無限延伸性，因為判斷兩直線是否平行，關(guān)鍵在于判斷它們在無限延伸的過程中是否會相交.同樣要深入解讀“平行”這個關(guān)鍵詞匯.如果無限延伸后它們始終不相交，那么這兩條直線就是平行的.這里“同一平面內(nèi)”“不相交”是“平行”的兩個必要條件.但若兩條直線永不相交，但卻不在同一二維平面內(nèi)，也不能稱之為平行線.如圖1中，從視角一觀察，直線AD′和直線CB′似乎是滿足“平行”的，但從視角二觀察可知二者并不平行.此外，“不相交”意味著無論直線延伸到多遠(yuǎn)，它們都不會有一個共同的交點.通過深入解析相關(guān)關(guān)鍵詞匯，教師不僅能夠幫助學(xué)生深刻理解直線平行的條件，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.

（二）辨析錯誤表述

幾何概念具有很強的精確性.通過辨析錯誤表述，教師可以及時發(fā)現(xiàn)并糾正常見誤解，幫助學(xué)生建立起正確的幾何概念認(rèn)知.辨析錯誤表述的過程本身就是一個深入理解概念的過程.若能結(jié)合初中幾何教學(xué)內(nèi)容，故意給出一些錯誤的概念表述，讓學(xué)生辨析其中的錯誤并給出正確的解釋，勢必會使學(xué)生對相關(guān)幾何概念留下更深刻的印象.

以“探索直線平行的性質(zhì)”教學(xué)為例，基于“同位角相等，兩條直線平行”的正確表述，教師可先設(shè)計一則錯誤的概念表述.比如，給出如下命題：“在同一平面內(nèi)，若直線AB和直線CD分別與直線EF相交于點G和點H，已知直線AB和直線CD互相平行.”接著進(jìn)一步給出錯誤概念表述，“觀察圖2：由于直線AB與直線CD平行，根據(jù)‘兩直線平行，同位角相等’的性質(zhì)，可得出結(jié)論：∠AGE=∠CHF”.實際上，此命題混淆了“同位角”與“同旁內(nèi)角”兩個幾何概念.由圖2可知，∠AGE和∠CHF是由直線AB和直線CD（兩條平行直線）被直線EF（第三條直線）所截時，位于被截兩直線“之間”且在截線的同一側(cè)的角，即“同旁內(nèi)角”，而不是位于被截兩直線的“同一側(cè)”的“同位角”.由于兩個幾何概念都帶有“同”字，在應(yīng)用過程中很容易混淆.這里需要辨析的核心要點是：同位角和同旁內(nèi)角的主要區(qū)別在于它們相對于被截直線和截線的位置.同時位于被截直線和截線同一側(cè)的被稱為“同位角”.而“同旁內(nèi)角”雖然也位于截線的同側(cè)，但卻不在被截線的同側(cè)，而在兩被截線的中間.通過這樣“由錯向?qū)Α钡摹澳嫦颉北嫖鲞^程，學(xué)生將更加深刻地理解并記住關(guān)于同位角和同旁內(nèi)角的描述，從而避免在未來解題過程中犯類似的錯誤，并深刻理解直線平行的若干性質(zhì).

二、培思：引導(dǎo)學(xué)生思考幾何概念的空間本質(zhì)

通過培思引導(dǎo)學(xué)生思考幾何概念的空間本質(zhì)，有助于學(xué)生建立起準(zhǔn)確、深刻的空間觀念，提升空間直覺.在初中幾何概念教學(xué)中，應(yīng)從演示和想象兩個角度入手培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，以加深其對幾何概念空間本質(zhì)的理解.

（一）基于視覺的演示

視覺演示能夠?qū)⒊橄蟮膸缀胃拍罹呦蠡?，便于學(xué)生通過眼睛直接觀察到幾何概念中蘊含的空間關(guān)系，有助于學(xué)生更快速地理解幾何概念的內(nèi)涵.人腦對圖像信息的處理能力較強，視覺記憶比文字記憶更為持久深刻.運用多樣化的視覺演示手段展示幾何概念中的空間關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考幾何概念的空間本質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力的捷徑.

以“圖形的平移”教學(xué)為例，為了讓學(xué)生認(rèn)識圖形的平移的基本性質(zhì)，思考其中涉及幾何概念的空間本質(zhì)，教師可以借助幻燈片動畫展開可視化演示.設(shè)計一套專門針對圖形平移的動畫幻燈片.比如，使用動畫幻燈片演示一個直角三角形ABC在坐標(biāo)軸上的平移過程.動畫通過逐漸淡入淡出或者滑動效果過渡，使學(xué)生能夠清楚地看到三角形每一個點是如何按照同一方向和相同距離進(jìn)行移動的，而整個圖形的形狀和大小始終保持不變.通過這樣的動態(tài)演示，學(xué)生不僅能直觀理解平移的定義，還能感受到空間中點與點之間的相對位置關(guān)系如何在平移過程中保持穩(wěn)定.一些專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了可視化、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境.因此，教師可以使用幾何教學(xué)輔助軟件演示圖形的平移.設(shè)置一個初始的幾何圖形，如一個邊長為1的正方形.學(xué)生可以通過鼠標(biāo)直接拖拽正方形的一個頂點，使其在坐標(biāo)平面上平移.軟件會在屏幕上實時更新圖形的形態(tài)以及所有頂點的新坐標(biāo).這樣一來，學(xué)生不僅能看到平移過程，還能對比分析平移前后各個頂點坐標(biāo)的變化規(guī)律，進(jìn)而深刻理解平移不改變圖形形狀和大小，僅改變其在空間中的位置這一基本原理.多樣化的視覺演示手段不僅能夠激發(fā)他們的空間想象力，也讓學(xué)生有機會在實際操作中體驗幾何概念，從而加深對幾何概念空間本質(zhì)的理解.

（二）基于經(jīng)驗的想象

基于經(jīng)驗的想象允許學(xué)生將抽象的幾何概念與日常生活中熟悉的場景聯(lián)系起來.這種與現(xiàn)實世界的聯(lián)系能夠讓學(xué)生在主動建構(gòu)的過程中深化對幾何概念空間本質(zhì)的理解，并激發(fā)他們對空間本質(zhì)的思考.在初中幾何概念教學(xué)中激活學(xué)生的日常經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生回憶或創(chuàng)造與幾何概念相關(guān)的畫面，是提升其空間思維能力，深刻理解幾何概念空間本質(zhì)的有效方法.

以“認(rèn)識三角形”教學(xué)為例，為了幫助學(xué)生從現(xiàn)實世界出發(fā)，直觀感受并理解三角形的幾何特性及其在實際生活中的應(yīng)用，加深他們對三角形基本性質(zhì)和空間本質(zhì)的理解，可設(shè)計一個“身邊找三角形”的活動，旨在激活學(xué)生的日常經(jīng)驗.房屋的三角形屋頂同樣利用了三角形的穩(wěn)定性原理，能夠支撐較大的重量而不易倒塌.還可以通過借助“構(gòu)造三角形”活動，讓學(xué)生通過動手實踐，親手驗證三角形的各種性質(zhì)，尤其是“任意兩邊之和總是大于第三邊”這個重要的不等式關(guān)系.教師可以提供長度不同的木棒或可折疊尺子，讓學(xué)生隨機選取三根，嘗試組合成三角形.在這個過程中，學(xué)生會遇到無法構(gòu)成三角形的情況（兩短邊之和小于最長邊），從而直觀體驗到三角形成立的條件.此外，教師還可讓學(xué)生嘗試構(gòu)建等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形等不同類型的三角形，讓學(xué)生在構(gòu)造三角形的過程中思考“什么樣的條件下，才能形成等腰三角形或等邊三角形”等問題.這樣的實踐活動不僅有助于學(xué)生深入理解三角形的基本屬性，還能提升其空間想象力，真正實現(xiàn)從理論到實踐的認(rèn)知飛躍.

三、論證：驅(qū)動學(xué)生探究幾何概念的邏輯結(jié)構(gòu)

論證可以通過厘清概念之間的邏輯關(guān)系，對幾何概念形成較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知，有助于提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.在論證過程中，學(xué)生需要關(guān)注每個步驟是否合理，因此也有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維.在初中幾何概念教學(xué)中，可以通過推演、反證等論證措施，驅(qū)動學(xué)生探究幾何概念的邏輯結(jié)構(gòu)，以加深他們對幾何概念的理解.

（一）通過“推演”深化邏輯理解

推演是一種邏輯嚴(yán)密的推理過程，需要從已知事實或假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出結(jié)論，能夠幫助學(xué)生建立幾何概念之間的邏輯聯(lián)系.通過推演，學(xué)生能夠在運用已知概念去探究未知幾何問題的過程中加深對幾何概念的理解.在初中幾何概念教學(xué)中，可通過具體示例，詳細(xì)演示推演過程，引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘幾何概念的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，以實現(xiàn)對幾何概念的深刻理解.

以“多邊形的內(nèi)角和與外角和”教學(xué)為例，可通過推演導(dǎo)出“五邊形內(nèi)角和為540度”的結(jié)論.選擇五邊形ABCDE中的一個頂點，比如說頂點A，并從這個頂點出發(fā)，向其他頂點連線，從而將五邊形劃分為個三角形.由于在平面幾何中，一個三角形的內(nèi)角和恒定為180度.則該五邊形所有內(nèi)角均被包含在這三個三角形之內(nèi)，無遺漏無重復(fù).因此，將這三個三角形的內(nèi)角和相加為540°.由此可知，五邊形ABCDE的內(nèi)角和就是540度.此結(jié)論可進(jìn)一步推廣至任意n邊形.對于任意n邊形（n≥3），都可以通過類似的方法將其劃分為（n-2）個三角形.利用上述原理，既然每個三角形的內(nèi)角和為180度，那么n邊形的總內(nèi)角和可以通過計算得出（n-2）×180度.對于五邊形而言，n=5，代入公式得到（5-2）×180°=3×180°=540°這再次驗證了五邊形內(nèi)角和為540度的結(jié)論，并且給出了計算任意多邊形內(nèi)角和的一般性方法.通過這樣的教學(xué)方式，不僅能讓掌握多邊形內(nèi)角和的計算方法，還能驅(qū)動他們在學(xué)習(xí)過程中逐步構(gòu)建起幾何概念的邏輯框架.

（二）通過“反證”完成逆向辨析

學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念時慣于遵循正向思維.而反證是從結(jié)論的否定出發(fā)，逆向思考可能導(dǎo)致矛盾的情況.通過對結(jié)論的否定進(jìn)行逆向思考，學(xué)生需要更清晰地辨析幾何概念之間的邏輯關(guān)系，從而增強對幾何概念的理解.基于初中幾何概念的內(nèi)容，精心挑選適合反證法的幾何概念作為教學(xué)案例，是驅(qū)動學(xué)生探究幾何概念邏輯結(jié)構(gòu)，提升教學(xué)效果的有效措施.

以“認(rèn)識三角形”教學(xué)為例，可以選擇“三角形內(nèi)角和定理”作為運用反證法的教學(xué)案例.教學(xué)時，可先從正向引入，通過正向思維的方式，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的基本性質(zhì)，如三角形的定義、三邊關(guān)系等.然后，介紹三角形內(nèi)角和的概念，給出三角形內(nèi)角和等于180度的結(jié)論，但暫不證明.接著，向?qū)W生介紹反證法的思想，并提出假設(shè)：存在一個△ABC，其三個內(nèi)角∠CAB，∠CBA，∠ACB的和不等于180度，即∠CAB+∠CBA+∠ACB≠180°.其中D點位于三角形其中一個邊AB的延長線上，直線BE平行于三角形的邊AC所在的直線，E是位于直線BE上的一個點（如圖3）.然后教師引導(dǎo)學(xué)生通過逆向思考，嘗試從假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出一個矛盾的情況.根據(jù)平行線的性質(zhì)，當(dāng)兩條平行線被第三條直線所截時，它們所形成的同位角相等，知∠CAB=∠EBD；同理，內(nèi)錯角也相等，∠ACB=∠CBE.由于∠CAB+∠CBA+∠ACB≠180°，則可知∠EBD+∠CBA+∠CBE≠180°，然而，∠EBD+∠CBA+∠CBE=∠ABD，∠ABD為平角=180°，由此可反證上述三角形的內(nèi)角和∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，與假設(shè)矛盾.因此得知：初始假設(shè)“三角形內(nèi)角和不等于180度”是錯誤的.通過這個反證法的教學(xué)案例，可以讓學(xué)生在嘗試證明三角形內(nèi)角和定理的過程中，細(xì)致分析平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)和等相關(guān)幾何概念之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并驅(qū)動學(xué)生探究幾何概念間的邏輯結(jié)構(gòu).

結(jié) 語

綜上所述，初中幾何概念教學(xué)策略的探究對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)意義，其核心在于多層次、多維度地啟發(fā)學(xué)生認(rèn)知.在深入探討了初中幾何概念的教學(xué)策略后不難發(fā)現(xiàn)，有效的教學(xué)方法應(yīng)重視直觀感知與抽象思維的結(jié)合，在此基礎(chǔ)上將抽象幾何概念具體化、生動化呈現(xiàn)，如此才能幫助學(xué)生更好地理解幾何概念，從而培養(yǎng)他們的空間想象能力及邏輯思維能力.為此，教師應(yīng)繼續(xù)探索創(chuàng)新的教學(xué)策略，以期為初中幾何概念教學(xué)注入更多活力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李晨霞.初中幾何大概念“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)范式的探索[J].全國優(yōu)秀作文選（教師教育），2023（3）：50-51.

[2]劉詩順.核心素養(yǎng)視角下初中幾何概念課教學(xué)策略探究：以人教版“正方形”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（26）：117-118.

[3]陳水平.初中數(shù)學(xué)幾何推理的教學(xué)現(xiàn)狀及有效策略[J].知識窗（教師版），2020（7）：66.