從喚醒活動經(jīng)驗到認識數(shù)學本質(zhì)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，教學活動促進學生理解和掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能，體會和運用數(shù)學的思想與方法，獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗;培養(yǎng)學生良好的學習習慣，形成積極的情感、態(tài)度和價值觀，逐步形成核心素養(yǎng)?；顒咏?jīng)驗的獲得和再利用，對于學生知識體系的建構具有重要的價值，能更好地發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

一、背景介紹

筆者曾作為評委參加了某高校主辦的省骨干教師培訓活動的最后環(huán)節(jié)——微型課展示活動。展示活動中，教師更多關注的是知識點是否順暢講完、練習題是否有針對性等，沒有將問題設置作為教學設計的核心或者問題設置時沒有將喚醒學生的活動經(jīng)驗作為切入點?；顒咏?jīng)驗沒有被喚醒和再利用，就難以很好地落實“化新知為舊知”，學生自然也無法順利理解數(shù)學的本質(zhì)。

美國數(shù)學家哈爾莫斯說過，問題是數(shù)學的心臟。有了問題，數(shù)學思維才有方向；有了問題，數(shù)學思維才有動力。那么，如何才能設計出“有方向、有動力”的問題呢？筆者認為，喚醒活動經(jīng)驗是一種行之有效的策略。本文以“圖形的旋轉”為例，談談如何通過問題設計來喚醒學生的活動經(jīng)驗，從而認識數(shù)學本質(zhì)。

二、案例分析

“圖形的旋轉”探究活動如下：

如右圖，在硬紙板上，挖一個三角形洞，再另挖一個小洞O作為旋轉中心，硬紙板下面放一張白紙，先在紙上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉中心轉動硬紙板，再描出這個挖掉的三角形（△A'B'C'），移開硬紙板。

教師A設計的問題如下：

（1）△A'B'C'可以看作△ABC經(jīng)過怎樣的運動得到的？

（2）△A'B'C'和△ABC的形狀和大小有什么關系？

（3）線段OA和OA'有什么關系？∠AOA'和∠BOB'有什么關系？

（4）你還能發(fā)現(xiàn)哪些有類似關系的線段和角？

教學分析：第一個問題價值不大，第二個和第三個問題與教材一樣，第四個問題體現(xiàn)了教師的教學智慧，具有一定的開放性。學生可以進一步體會對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，為得到一般性的結論即旋轉的性質(zhì)進行了較好鋪墊。

教師B設計的問題如下：

（1）△A'B'C'可以看作△ABC經(jīng)過怎樣的運動得到的？

（2）△A'B'C'和△ABC的形狀和大小有什么關系？

（3）△ABC和△A'B'C'的對應點與旋轉中心的連線有何數(shù)量關系和位置特征？

教學分析：第一個和第二個問題不再贅述，第三個問題與教師A的第三個和第四個問題相比較，難度增大了，學生要先觀察，找出相應線段和相應角，再分析、比較、評價，從而得出結論。特別是“對應點與旋轉中心的連線位置特征”，這個問題的答案學生不易獲得，也就是說，學生的活動經(jīng)驗不足以支撐解決此類問題。

曾經(jīng)有位青年教師C講同一課題的優(yōu)質(zhì)課，在兩次試講失敗后，她向筆者求助，下面是我們的對話片段：

教師C：我也知道類比平移和軸對稱來學習旋轉，但是為什么學生類比不出來旋轉的性質(zhì)呢？

筆者：你是怎么類比的？

教師C：我讓學生回顧平移和軸對稱的性質(zhì)，通過數(shù)學實驗（課本探究），類比嘗試說出旋轉的性質(zhì)。當然沒有出示教材中的問題即△A'B'C'是由△ABC繞點O旋轉得到的，線段OA與OA'有什么關系？∠AOA'與∠BOB'有什么關系？△ABC 與△A'B'C'的形狀和大小有什么關系？

三、教學反思

正如教師C所述，學生想不出來的理由很簡單，他們?nèi)狈ρ芯繄D形變換的“腳手架”，教師沒有喚醒學生學習平移和軸對稱的活動經(jīng)驗，因此他們不知道如何類比學習旋轉?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》初中部分圖形與幾何領域的教學提示指出，知道變化的感知是需要參照物的，可以借助參照物述說變化的基本特征。這里的參照物可以理解為我們所說的旋轉三要素：旋轉方向、旋轉中心、旋轉角。那么，我們該如何借助旋轉的要素來研究旋轉的性質(zhì)呢？

四、教材分析

平移的性質(zhì)：（1）把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。（2）新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點，連接各組對應點的線段平行（或在同一條直線上）且相等。

軸對稱的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等。（2）成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分。

很明顯，它們的第一條性質(zhì)研究變換前后圖形的形狀和大小關系，屬于整體描述，第二條性質(zhì)對應點連線互相平行（位置關系），這與平移方向是一致的，對應點連線都相等（數(shù)量關系），這與平移距離是一致的，屬于局部描述。

歸納一下，圖形的變換主要研究兩點：（1）變換前后圖形的形狀和大小。（2）變換前后對應點與參照物（要素）之間的數(shù)量關系和位置關系。學生如果能被教師喚醒學習平移和軸對稱的活動經(jīng)驗，那么旋轉性質(zhì)的獲得自然水到渠成?！靶D前、后的圖形全等”符合第一條性質(zhì)，“對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”符合第二條性質(zhì)。具體理解為：“對應點到旋轉中心的距離相等”是對應點與要素的數(shù)量關系，“對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”是對應點與要素的位置關系。

五、教學再反思

活動經(jīng)驗是學生的財富，它的價值在生活中無時無刻不在發(fā)揮作用。教師要善于讓學生去總結活動經(jīng)驗，并在此基礎上加以引導和點撥。

在研究具有相同或相似特征的事物時，要善于喚醒學生的活動經(jīng)驗，運用類比這把“鑰匙”去學習同一領域同一主題的內(nèi)容，在教學中將方法論進一步上升為一般觀念，從而讓學生領悟數(shù)學的本質(zhì)。

活動經(jīng)驗的獲得過程不僅需要記憶、理解、應用，還需要分析、評價和創(chuàng)新?；顒咏?jīng)驗的喚醒和再利用，能有效促進學生知識體系的建構和思維品質(zhì)的發(fā)展。

（本文系2023年河南省基礎教育教學研究項目“經(jīng)歷式學習在初中數(shù)學教學中的實踐研究”的研究成果，課題編號：JCJYC2303070007）

（責 編 黎 潔）