聚焦度量本質(zhì) 凸顯結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

【摘" "要】“平行四邊形的面積”是“圖形的認識與測量”主題中的主要內(nèi)容，它在“多邊形的面積”單元教學(xué)中具有承上啟下的作用。針對平行四邊形變式問題測試結(jié)果不理想的現(xiàn)狀，對“平行四邊形的面積”的教學(xué)進行改進。通過“關(guān)注度量本質(zhì)，經(jīng)歷數(shù)格過程；從特殊到一般，經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程；揭示內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷歸納過程；探究‘變’與‘不變’，經(jīng)歷聯(lián)結(jié)過程”，培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗解決問題的能力，從而有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】度量本質(zhì)；結(jié)構(gòu)化；平行四邊形的面積；轉(zhuǎn)化

一、問題緣起

“平行四邊形的面積”是“圖形的認識與測量”主題中的主要內(nèi)容，它在“多邊形的面積”單元教學(xué)中具有承上啟下的作用。平行四邊形作為一種二維圖形，與一維圖形的主要差別在于需借助面積單位進行度量，屬于間接度量。其面積度量的實質(zhì)就是計算它包含多少個面積單位。盡管平行四邊形的面積計算看起來很簡單，但在教學(xué)實踐中學(xué)生的學(xué)習(xí)效果卻并不理想。筆者在2024年4月對即將畢業(yè)的六年級四個班共160名學(xué)生進行了相關(guān)測試，具體試題如下。

【試題】把一個長10厘米、寬6厘米的長方形框架拉成一個高8厘米的平行四邊形，這個平行四邊形的面積是（ ▲ ）平方厘米。請說明理由，可以畫一畫或用文字進行說明。

本次測試在學(xué)生未經(jīng)任何復(fù)習(xí)的狀態(tài)下進行，以文字形式呈現(xiàn)，旨在考查學(xué)生運用面積公式解決實際問題的能力。測試結(jié)果顯示，約有54%的學(xué)生受到長方形面積計算的影響，認為平行四邊形的面積為相鄰兩條邊長度的乘積，故答案為60平方厘米；約有16%的學(xué)生未能將平行四邊形與三角形三邊關(guān)系的知識點進行聯(lián)結(jié)，認為平行四邊形的底是10厘米、高是8厘米（如圖1），因此平行四邊形的面積為10×8=80（平方厘米）。這兩類學(xué)生都受“長方形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的干擾，忽視了拉動過程中“面”這一要素，無法感知圖形面積的變化。

僅有21%的學(xué)生能正確理解“直角三角形中斜邊的長度大于直角邊的長度”。基于此，以長方形的長為底，就拉不成高為8厘米的平行四邊形；只有以長方形的寬為底，才能拉成高為8厘米的平行四邊形。因此，平行四邊形的面積為6×8=48（平方厘米）（如圖2）。這類學(xué)生能夠借助三角形的三邊關(guān)系確定相對應(yīng)的底與高，對面積度量的意義理解得較為透徹。

二、教學(xué)思辨

通過調(diào)查分析，筆者發(fā)現(xiàn)近80%的學(xué)生對平行四邊形面積公式的理解尚停留在表面層次。面對相關(guān)變式問題，或不知所措，或簡單套用公式，忽視了知識的本質(zhì)屬性。這些現(xiàn)象反映出當(dāng)前教與學(xué)過程中的不足之處。在教學(xué)過程中，教師過分注重學(xué)生對平行四邊形面積公式的確認，而忽視引導(dǎo)學(xué)生理解圖形面積測量的本質(zhì)、探究轉(zhuǎn)化思想背后的原因以及認識計算方法的實質(zhì)。鑒于此，本文將對平行四邊形的面積教學(xué)的突破點、教學(xué)目標的定位，以及構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑的有效途徑等問題展開探討。

（一）“平行四邊形的面積”教學(xué)的突破點

1.聚焦度量本質(zhì)

長度、面積、體積度量的實質(zhì)都是計算度量對象包含多少個度量單位?！岸噙呅蔚拿娣e”單元涉及到的平行四邊形、三角形和梯形的面積，其共同特點是圖形中都包含一些不能用面積單位直接度量的部分。因此，平行四邊形的面積教學(xué)的重點應(yīng)聚焦于借助操作與轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生經(jīng)歷將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程，以實現(xiàn)面積單位的密鋪，感知平面圖形面積度量的實質(zhì)就是計算該圖形包含多少個面積單位。教學(xué)時，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“每行面積單位的個數(shù)×行數(shù)”直接計算出平行四邊形所含面積單位的個數(shù)，認識到“平行四邊形的面積=底×高”的本質(zhì)是數(shù)面積單位。由此，學(xué)生在操作和優(yōu)化的過程中，從“數(shù)格子數(shù)量”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝嬎憔€段長度的乘積”，從而歸納出面積計算公式，實現(xiàn)從直觀到抽象的飛躍。

2.凸顯結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

平行四邊形的面積計算以長方形的面積計算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知轉(zhuǎn)化為已知的基本方法展開學(xué)習(xí)。而平行四邊形的面積計算公式則是通過將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個長方形推導(dǎo)得出的。教學(xué)時，教師可以從整體視角出發(fā)，利用這些圖形的內(nèi)在聯(lián)系，運用轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生探索圖形面積的計算方法，從而幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可以自主遷移探索路徑與方法，進一步學(xué)習(xí)三角形和梯形面積的計算。在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在知識、思維與方法上形成關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化，從而發(fā)展了推理意識和空間觀念。

（二）“平行四邊形的面積”教學(xué)目標定位與學(xué)習(xí)路徑

為突出度量本質(zhì)和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，可以將“平行四邊形的面積”教學(xué)分為兩節(jié)連續(xù)課進行。具體教學(xué)目標如下。

1.在操作活動中理解面積度量的本質(zhì)為面積單位的累加，能解釋說明面積單位密鋪中的“列數(shù)”和“行數(shù)”與平行四邊形的底和高之間的關(guān)系，能自主歸納平行四邊形的面積計算公式，并解決簡單實際問題。

2.在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)中經(jīng)歷猜想、操作、驗證、歸納的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展推理意識和空間觀念。

3.探究平行四邊形變形前后面積變化的原因，深入理解平行四邊形的不穩(wěn)定性。

4.滲透“變與不變”思想，積累解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展推理意識和科學(xué)精神。

為達成上述教學(xué)目標，教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)格過程、轉(zhuǎn)化過程、歸納過程和聯(lián)結(jié)過程。其學(xué)習(xí)路徑框架如圖3所示（其中前三步在第1課時內(nèi)完成，第四步在第2課時內(nèi)完成）。

三、教學(xué)改進

（一）關(guān)注度量本質(zhì)，經(jīng)歷數(shù)格過程

數(shù)方格即數(shù)表示面積單位的小方格的個數(shù)。數(shù)方格的過程蘊含著面積的有限可加性，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)方格的過程就是從直觀上理解面積度量本質(zhì)。

【教學(xué)片段1】

1.梳理舊知，引發(fā)猜想。

教師出示長5厘米、寬3厘米的長方形，引導(dǎo)學(xué)生回顧：長方形的面積是多少？怎么計算？為什么要這樣計算？

教師小結(jié)：長方形的面積通過“每行面積單位的個數(shù)×行數(shù)”來計算，即求長方形內(nèi)包含多少個面積單位。

2.自主探究，經(jīng)歷過程。

教師先出示沒標注數(shù)據(jù)的平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生思考平行四邊形的面積可能與什么有關(guān)。再出示數(shù)據(jù)4、5、6，讓學(xué)生計算它的面積。（如圖4）

（暴露出兩種不同的計算方法，即底乘鄰邊6×5和底乘高6×4。）

教師提問：哪種計算方法是對的？可以怎樣驗證？（呈現(xiàn)方格圖）可以用什么方法數(shù)出它的面積？（引入數(shù)方格的方法，匯報交流）

回顧長方形面積計算公式，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積不能用數(shù)方格法直接數(shù)出的原因，從而在操作中思考將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方法，初步建立面積單位密鋪時列數(shù)和行數(shù)與平行四邊形的底和高之間的關(guān)系。

（二）從特殊到一般，經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程

在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)面積單位活動，初步建立平行四邊形的面積與其底、高之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓他們采用不同方式（如剪、移、拼）進行探究，經(jīng)歷由特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，積累策略型、方法型經(jīng)驗。

【教學(xué)片段2】

1.小組研究。

小組合作，用畫一畫、剪一剪、拼一拼等方式，探究：平行四邊形的底和高與它的面積之間存在怎樣的關(guān)系？

2.匯報交流。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：你們是怎么探究的？這些方法有什么共同點？為什么都要沿高剪拼？

教師利用幾何畫板，拉出一個任意的平行四邊形，讓學(xué)生比畫他們是如何通過剪、移、拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的。然后用課件動態(tài)演示不同平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程，重點突破“形外高”（如圖5）的轉(zhuǎn)化。

利用面積的運動不變性，讓學(xué)生在剪拼各種平行四邊形的過程中，理解任意平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形，體驗轉(zhuǎn)化過程，在異中求同，發(fā)現(xiàn)共性，積累基本活動經(jīng)驗。

（三）揭示內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷歸納過程

通過探究平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形各要素之間的對應(yīng)關(guān)系，助力學(xué)生理解平行四邊形與長方形之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟如何從已知圖形的面積公式推理出未知圖形的面積公式，構(gòu)建圖形面積計算方法的一般模型。

【教學(xué)片段3】

1.歸納。

引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形之后，平行四邊形和拼成的長方形間有什么聯(lián)系？平行四邊形的面積可以怎么計算？

2.思辨。

教師提問：你能解釋為什么平行四邊形的面積不能用“底乘鄰邊”的方法計算嗎？

學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的探究活動，對平行四邊形的面積與它的底和高之間的關(guān)系有了更為清晰的認識。通過觀察、比較和歸納，結(jié)合“長方形的面積=長×寬”推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”，體會到面積度量的本質(zhì)，發(fā)展了推理意識。

（四）探究“變”與“不變”，經(jīng)歷聯(lián)結(jié)過程

學(xué)習(xí)的過程即建立聯(lián)結(jié)的過程。教師應(yīng)設(shè)計具有可操作性且思維可視化的任務(wù)，使學(xué)生能熟練掌握圖形面積的計算公式。同時，還要幫助學(xué)生建立不同的表征，引導(dǎo)學(xué)生通過對不同表征方式進行比較、辨析、歸納，建立知識、思維與觀念的對應(yīng)和關(guān)聯(lián)，從而培養(yǎng)學(xué)生的推理意識和空間觀念。

【教學(xué)片段4】

1.小組活動。

平行四邊形的面積為什么不能用鄰邊相乘的方法進行計算？請借助操作實驗來證明。

（1）做一做：請把長方形框拉成幾個不同的平行四邊形，記錄底、高、周長和面積的數(shù)據(jù)（研究材料：長9厘米、寬6厘米的長方形木條框1個，方格紙1張，每小格的邊長為1厘米）。

（2）想一想：變形前后，什么變了？什么沒變？你們發(fā)現(xiàn)了什么？

2.匯報交流（展示學(xué)生作品）。

生：無論變成什么形狀的平行四邊形，底都保持不變，而高則逐漸變短。因此周長不變，面積減小。這說明平行四邊形的面積不能用“底乘鄰邊”的方法計算。

生：我們只拉了2個平行四邊形，其余都是通過推理得出的。我們發(fā)現(xiàn)：底不變，高減少，面積也減少。

……

3.關(guān)聯(lián)。

引導(dǎo)學(xué)生在腦海中想象：一個底9厘米、高6厘米、面積54平方厘米的平行四邊形，如果將它的面積變成27平方厘米，底、高分別是多少？如果將它的面積變成72平方厘米呢？

4.總結(jié)。

在第2課時，再次回到對實物圖形的觀察與分析，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將知識、思維與方法聯(lián)結(jié)的結(jié)構(gòu)化過程。首先，讓學(xué)生直觀地感受到行數(shù)排列的變化與線段（高）變化的一致性。在相鄰兩邊長度確定的情況下，學(xué)生認識到周長一定，而面積與高存在關(guān)聯(lián)，進一步厘清了平行四邊形的面積為什么不能用鄰邊相乘的方法計算。其次，拉動長方形木條框的過程，既是學(xué)習(xí)材料的生成過程，又是推動學(xué)生從數(shù)學(xué)直觀走向理性思考的過程，學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)了底、高和面積的變化與積的變化規(guī)律之間的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)知識與思維的聯(lián)結(jié)。

長方形的面積是平行四邊形面積推導(dǎo)的基礎(chǔ)，而平行四邊形面積的學(xué)習(xí)又為三角形、梯形、圓形、不規(guī)則圖形面積的學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此，教師聚焦度量本質(zhì)，通過操作與轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生感知平行四邊形的面積度量的實質(zhì)。凸顯結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，使學(xué)生在知識、思維與方法上形成關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化。這樣的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗解決問題的能力，從而有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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