“數(shù)”的屬性運算，“形”的特征直觀

摘 要：數(shù)學(xué)解題與應(yīng)用研究是一個深層次的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程，也是不斷積累知識與經(jīng)驗，掌握技巧與方法的重要途徑.本文結(jié)合一道向量題的探究，從“數(shù)”與“形”的思維視角加以切入與應(yīng)用，并深入拓展與研究，提升思維能力的高度與維度，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：平面向量；代數(shù)；幾何

平面向量自身同時兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的雙重特征，因此解決平面向量問題可以將代數(shù)思維與幾何思維相結(jié)合.在具體解決對應(yīng)的平面向量綜合問題時，可以從代數(shù)思維切入，結(jié)合“數(shù)”的基本屬性進行合理的數(shù)學(xué)運算，也可以從幾何思維切入，結(jié)合“形”的結(jié)構(gòu)特征進行巧妙的直觀想象.

1 問題呈現(xiàn)

（2024屆江蘇省鹽城市、南京市高三一模數(shù)學(xué)調(diào)研測試試卷·8）平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a＋b＋c|=1，則（a＋c）·（b＋c）的最小值是（" ）.

A. －3

B. 3－23

C. 4－23

D. －23

此題以兩個確定的平面向量a，b（對應(yīng)兩平面向量的模與夾角），以及第三個平面向量c滿足|a＋b＋c|=1來創(chuàng)設(shè)問題情境，“動”與“靜”結(jié)合，求平面向量的數(shù)量積（a＋c）·（b＋c）的值，實現(xiàn)“常值”與“最值”的變化.

基于問題的創(chuàng)設(shè)，利用平面向量集“數(shù)”“形”于一體的特性，在解決具體問題時，可以從平面向量的“數(shù)”的基本屬性與“形”的結(jié)構(gòu)特征等不同角度切入，通過“數(shù)”中的坐標(biāo)運算、數(shù)量積等基本性質(zhì)，或“形”中的平面幾何知識、投影定義等方法來分析與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的突破與求解.

2 問題破解

2.1 代數(shù)思維

用代數(shù)思維來處理平面向量問題，關(guān)鍵在于突出平面向量“數(shù)”的基本屬性.通過向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積公式等的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)運算并結(jié)合函數(shù)與方程等相關(guān)知識來分析與解決平面向量問題.

解法1：坐標(biāo)＋解析幾何法.

依題可得，cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標(biāo)系中，令a=（2，0），b=（1，3），設(shè)c=（x，y）.

則知|a＋b＋c|=|（3＋x，3＋y）|=1，即（x＋3）2＋（y＋3）2=1，其表示的是圓心C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

而（a＋c）·（b＋c）=（x＋2，y）·（x＋1，y＋3）=（x＋2）（x＋1）＋y（y＋3）=x2＋3x＋2＋y2＋3y=x＋322＋y＋322－1.

其中代數(shù)式x＋322＋y＋322表示的是動點P（x，y）與定點M－32，－32的距離的平方.

CM=-3＋322＋-3＋322=3，則知PMmin=3－1.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是（3－1）2－1=3－23，故選擇B.

解法2：坐標(biāo)＋三角換元法.

依題可得cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標(biāo)系中，令a=（2，0），b=（1， 3）.

由|a＋b＋c|=1，可設(shè)a＋b＋c=（cosα，sinα），α∈［0，2π），可得c=（cosα－3，sinα－3）.

而（a＋c）·（b＋c）=（cosα－1，sinα－3）·（cosα－2，sinα）=（cosα－1）（cosα－2）＋sinα（sinα－3）=3－3sinα－3cosα=3－23sinα＋π3∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解法3：主元法.

由于|a＋b＋c|=1，可得（a＋b＋c）2=1，即（a＋b）2＋2（a＋b）·c＋c2=1，亦即a2＋2a·b＋b2＋2（a＋b）·c＋c2=1，整理可得（a＋b）·c=－12（c2＋11）.

由于|a＋b|2=（a＋b）2=a2＋2a·b＋b2=12，知|a＋b|=23.

利用平面向量數(shù)量積的概念，可得－23|c|≤（a＋b）·c≤23|c|.

所以（a＋b）·c=－12（c2＋11）∈［－23|c|，23|c|］，解得|c|∈［23－1，23＋1］，即c2∈［13－43，13＋43］.

而（a＋c）·（b＋c）=a·b＋a·c＋b·c＋c2=2＋（a＋b）·c＋c2=2－12（c2＋11）＋c2=12（c2－7）∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解后反思：根據(jù)題設(shè)場景，結(jié)合平面向量的模與向量的夾角等，構(gòu)建合適的平面直角坐標(biāo)系.利用坐標(biāo)運算來分析與處理平面向量問題，是平面向量自身“數(shù)”的基本屬性的一個重要體現(xiàn).利用代數(shù)思維處理平面向量中的最值問題時，往往離不開函數(shù)與方程、三角函數(shù)和不等式等相關(guān)知識的應(yīng)用.

2.2 幾何思維

幾何思維來處理平面向量問題，關(guān)鍵在于突出平面向量“形”的結(jié)構(gòu)特征.通過平面幾何圖形的直觀形象、向量運算與數(shù)量積的幾何意義等，利用圖形的數(shù)形結(jié)合來分析與解決平面向量問題.

解法4：基底法.

依題可得，cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

如圖1所示，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，OE=a＋b，OF=－（a＋b）.

結(jié)合|a＋b＋c|=|－（a＋b）－c|=|OF－OC|=|CF|=|FC|=1，可知點C是以點F為圓心1為半徑的圓上的一動點.

由于|a＋b|2=（a＋b）2=a2＋2a·b＋b2=12，可知|OE|=|OF|=23.

設(shè)m=a＋b＋c，則|m|=1.

而（a＋c）·（b＋c）=（m－b）·（m－a）=m2－（a＋b）·m＋2=［m－（a＋b）］·m＋2=c·m＋2=OC·FC＋2=（FC－FO）·FC＋2=|FC|2－FO·FC＋2=3－FO·FC.

結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，可知FO·FC∈［－23，23］，則（a＋c）·（b＋c）=3－FO·FC∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解后反思：根據(jù)平面向量自身“形”的結(jié)構(gòu)特征，通過向量的線性運算和數(shù)量積等的幾何意義加以直觀處理，是解決平面向量數(shù)量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.此處通過向量的模的關(guān)系和線性運算的幾何意義等來構(gòu)建對應(yīng)的平面幾何圖形，從配方法或基底法等不同角度切入，利用圖形直觀來分析與解決問題.

3 教學(xué)啟示

3.1 最值應(yīng)用，熱點考查

涉及平面向量中的最值（或取值范圍）問題是高考命題的一個熱點問題，也是一個難點問題.此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，例如，向量的模、數(shù)量積、向量夾角和系數(shù)的范圍等.解題思路是建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.

3.2 “數(shù)”“形”結(jié)合，拓展思維

涉及平面向量的綜合應(yīng)用問題，可以從“數(shù)”的基本屬性方面進行代數(shù)運算，也可以從“形”的結(jié)構(gòu)特征方面進行幾何推理，還可以“數(shù)”與“形”結(jié)合來推理與論證.思維視角多樣、變化多端、場景豐富，思維方式各樣，使得代數(shù)思維與幾何思維的應(yīng)用構(gòu)建成一幅完美和諧統(tǒng)一的“畫卷”，成為新高考數(shù)學(xué)試題命制中的一個創(chuàng)新點與熱點.