抽象函數(shù)不“抽象”，數(shù)學(xué)思維無“極限”

摘 要：以抽象函數(shù)為場景的多選題，是近年新高考數(shù)學(xué)試題中比較常見的一類基本考題.而依托抽象函數(shù)的“假象”場景來設(shè)置具體函數(shù)問題，也是近年高考命題中的一個熱門考點.本文結(jié)合一道抽象函數(shù)試題的應(yīng)用，合理剖析解決問題的技巧與策略，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)思維品質(zhì)，合理變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；賦值；解析式

抽象函數(shù)及其綜合應(yīng)用問題，是近年高考數(shù)學(xué)試卷以及各級各類模擬考試中頻頻亮相的一類熱點與難點問題.有些抽象函數(shù)問題是具有真正的抽象性，函數(shù)的解析式無法唯一確定；而有些抽象函數(shù)問題是一種“假象”，是基于抽象函數(shù)背景下的具體函數(shù)問題.解決此類問題時，關(guān)鍵在于正確推理、合理分析數(shù)據(jù)和巧用數(shù)學(xué)運算等.通過邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等方式來分析與判斷，為解決抽象函數(shù)問題創(chuàng)設(shè)條件與空間.

1 問題呈現(xiàn)

（2024年浙江省強基聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（3月份））已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且

f（0）=fπ2=1，若

f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，則函數(shù)f（x）（" ）.

A. 以π為周期B. 最大值為1

C. 在區(qū)間－π4，π4上單調(diào)遞減

D. 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

此題以抽象函數(shù)為問題背景，借助抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式以及特殊函數(shù)值的加持來創(chuàng)設(shè)條件，進而判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等基本性質(zhì)，以及求解函數(shù)的最值等，全面考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識.

合理挖掘問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)隱藏在抽象函數(shù)場景下的“不抽象”，實現(xiàn)抽象與具體之間的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.上述問題就是一個基于抽象函數(shù)“假象”場景下的具體函數(shù)問題

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2 問題破解

方法1：賦值推理法.

依題，f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，令y=π2，可得fx＋π2＋fx－π2=2f（x）·cosπ2=0，那么

fx＋3π2＋fx＋π2=0，所以fx＋3π2=fx－π2，則知函數(shù)f（x）的周期為2π，故選項A錯誤.

令x=y=π4，結(jié)合f（0）=fπ2=1，可得fπ2＋f（0）=2fπ4cosπ4=2，即fπ4=2，則知函數(shù)f（x）的最大值不是1，故選項B錯誤.

由于f（0）=1，fπ4=2，知函數(shù)f（x）在區(qū)間－π4，π4上不是單調(diào)遞減，故選項C錯誤.

綜上分析，故選擇D.

點評：涉及抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式問題，往往是依托對應(yīng)的抽象函數(shù)關(guān)系式，從不同層面視角進行賦值法處理，進而結(jié)合選項中的信息逐一排除與判斷，這是解決此類抽象函數(shù)問題中最為常見的“通性通法”.賦值法推理與分析，要同時考慮題設(shè)條件與對應(yīng)的選項信息，合理賦值，巧妙應(yīng)用，最為考驗考生的觀察分析能力、邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運算能力等.

方法2：函數(shù)解析式法.

依題，由f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，結(jié)合f（0）=1，令x=0，可得f（y）＋f（－y）=2f（0）cosy=2cosy.

令x=π2，y=π2＋

t，結(jié)合fπ2=1，可得f（π＋t）＋f（－t）=2fπ2cos

π2＋t=－2sint.

令x=π2＋t，y=π2，可得f（π＋t）＋f（t）=2fπ2＋tcosπ2=0，則有－f（t）＋f（－t）=－2sint.

所以有f（x）＋f（－x）=2cosx，－f（x）＋f（－x）=－2sinx，兩式對應(yīng)相減并整理可得f（x）=sinx＋cosx，即函數(shù)f（x）=sinx＋cosx滿足條件.

結(jié)合函數(shù)f（x）=sinx＋cosx=2·sinx＋π4的圖象與性質(zhì)，函數(shù)

f（x）的周期為2π，最大值為2，在區(qū)間－π4，π4上單調(diào)遞增，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件，該問題是隱藏在抽象函數(shù)背景下的一個具體函數(shù)問題.關(guān)鍵是抓住問題條件，借助賦值法轉(zhuǎn)化與處理，進而求出對應(yīng)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與判斷各對應(yīng)選項中命題的真假.函數(shù)解析式法的應(yīng)用，是基于賦值法的巧妙推理與論證，賦值的應(yīng)用與函數(shù)關(guān)系式的確定，往往是憑借解題經(jīng)驗或直覺找到的.

方法3：特殊值法.

依題，設(shè)函數(shù)f（x）=asinx＋bcosx，結(jié)合f（0）=fπ2=1，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=1，fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=1，所以函數(shù)f（x）=sinx＋cosx滿足條件.

結(jié)合函數(shù)f（x）=sinx＋cosx=2·sinx＋π4的圖象與性質(zhì)，推出函數(shù)f（x）的周期為2π，最大值為2，在區(qū)間－π4，π4上單調(diào)遞增，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件，抓住此類抽象函數(shù)問題所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)形式與特征規(guī)律，憑借解題經(jīng)驗或直覺，合理確定對應(yīng)的正弦與余弦函數(shù)的一次線性關(guān)系式f（x）=asinx＋bcosx，進而結(jié)合待定系數(shù)法來確定參數(shù)值，得以求解抽象函數(shù)所滿足的函數(shù)解析式

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3 變式拓展

基于原問題中抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式“f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy”，挖掘其所對應(yīng)的函數(shù)類型“f（x）=asinx＋bcosx”，通過具體函數(shù)值的改變，以不同的形式來設(shè)置問題，從而得到對應(yīng)的變式與應(yīng)用.

變式1 （2024年四川省德陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（π2）=3，則（" ）

A. f（x）為偶函數(shù)

B. f（π）=1

C. x=π2是函數(shù)的極大值點

D. f（x）的最小值為－2

解析：依題，設(shè)函數(shù)f（x）=asinx＋bcosx，結(jié)合f（0）=0，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=1.又結(jié)合fπ2=3，可得fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=3，所以函數(shù)f（x）=3sinx＋cosx滿足條件.

結(jié)合函數(shù)f（x）=3sinx＋cosx=2sinx＋π6的圖象與性質(zhì)，推出函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)，f（π）=－1，fπ2=3不是函數(shù)的極大值點，f（x）的最小值為－2.

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

變式2 （2024年山東省德州一中高三期末數(shù)學(xué)試卷）（多選題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，fπ2=1，則（" ）.

A. f（x）為奇函數(shù)B. fπ4=12

C. f（x）為周期函數(shù)D. f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減

解析：依題，設(shè)函數(shù)f（x）=asinx＋bcosx，結(jié)合f（0）=0，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=0.又結(jié)合fπ2=1，可得fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=1，所以函數(shù)f（x）=sinx滿足條件.

結(jié)合函數(shù)f（x）=sinx的圖象與性質(zhì)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，fπ4=22，f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，f（x）在0，π2內(nèi)單調(diào)遞增，在π2，π內(nèi)單調(diào)遞減.

故選擇AC.

4 教學(xué)啟示

解決此類以抽象函數(shù)為“假象”的具體函數(shù)問題，最為基本的方法還是回歸抽象函數(shù)問題的本質(zhì)，正確掌握科學(xué)賦值法，這是解決此類問題的一種通法.借助特殊思維，利用函數(shù)具體化這種方法是解決問題的一種常見手段，關(guān)鍵是要看關(guān)系式的結(jié)構(gòu)和一些條件的加持，進而加以合理選取與特殊構(gòu)建.

直擊問題的本質(zhì)，往往需要賦值法推理與科學(xué)法轉(zhuǎn)化相結(jié)合，合理確定相應(yīng)函數(shù)的解析式，為問題的進一步分析與解決提供條件.當(dāng)然，如果能夠更快地借助解題經(jīng)驗或直覺思維等確定對應(yīng)函數(shù)的解析式類型，以特殊值法為依據(jù)，合理利用待定系數(shù)法，可以更加簡單快捷地處理此類抽象函數(shù)問題.

特別要注意的是，對于抽象函數(shù)綜合問題的特殊模型或具體模型等方式的處理，三角函數(shù)模型往往是其中最為常見的一類基本構(gòu)建函數(shù)模型.依托正弦函數(shù)或余弦函數(shù)以及相應(yīng)的線性函數(shù)等來設(shè)置，通過函數(shù)的基本性質(zhì)以及三角函數(shù)的相應(yīng)公式等，都給問題的設(shè)置提供一個非常不錯的應(yīng)用場景.特殊化思維或具體化思維，更是處理此類數(shù)學(xué)問題的基本技巧與策略，對考生的數(shù)學(xué)運算求解、邏輯推理論證和數(shù)學(xué)模型構(gòu)建等綜合能力的要求比較高.