綜合場(chǎng)景巧創(chuàng)設(shè)，知識(shí)交匯妙應(yīng)用

摘 要：在方程、函數(shù)與不等式這三者綜合應(yīng)用場(chǎng)景中，融入其他相關(guān)知識(shí)，成為數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用問(wèn)題的一種常態(tài).本文以一道含參數(shù)的絕對(duì)值方程的試題為例，對(duì)方程、函數(shù)與不等式等之間的轉(zhuǎn)化進(jìn)行探索，歸納總結(jié)解題技巧與方法，指導(dǎo)并引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：方程；絕對(duì)值；函數(shù)

涉及含參數(shù)的方程、函數(shù)或不等式的最值或取值范圍問(wèn)題，往往是依托方程、函數(shù)與不等式這三者之間的相互等價(jià)轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用，一直是高考命題中的一個(gè)基本點(diǎn)與熱點(diǎn).而巧妙融入絕對(duì)值場(chǎng)景，使得此類問(wèn)題場(chǎng)景更加復(fù)雜，知識(shí)交匯與融合更加密切，將問(wèn)題的切入與突破提到更高的難度.這全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)“四基”與“四能”，從而倍受各方關(guān)注.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

（2024年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)二模試卷）若關(guān)于x的方程|x2＋mx＋1|＋|x2－mx＋1|=2|mx|的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（" ）.

A. 2，52B.

2，52

C. －52，－2∪

2，52D.

－52，－2∪2，52

此題是一道含參的二次方程滿足的根的情況，其中巧妙融合了絕對(duì)值的方程中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，借助含參的絕對(duì)值方程的整數(shù)根的情況來(lái)設(shè)置，結(jié)合各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)信息來(lái)分析與判斷.

這里借助含有絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)（或稱為“三角形不等式”），合理進(jìn)行放縮并確定等號(hào)成立的條件，成為問(wèn)題中方程變形與轉(zhuǎn)化的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.

這類問(wèn)題的解決技巧往往比較綜合，需要運(yùn)用各種解題手段與方法.挖掘問(wèn)題中方程關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，看到方程的形式能夠聯(lián)想到絕對(duì)值不等式，以及不等式取得等號(hào)的條件.以此為突破口，后續(xù)采用分離參變量的方法，借助函數(shù)與方程思維、特殊值代入等基本方法即可解決問(wèn)題.

2 問(wèn)題破解

方法1：函數(shù)性質(zhì)法.

依題，設(shè)P=mx，Q=x2＋1，則有|P＋Q|＋|Q－P|=2|P|.

結(jié)合含有絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，可得2|P|=|P＋Q|＋|Q－P|=|P＋Q|＋|P－Q|≥|P＋Q＋P－Q|=2|P|，當(dāng)且僅當(dāng)P＋Q和P－Q同號(hào)時(shí)，等號(hào)成立.

所以（P＋Q）（Q－P）≤0，即Q2－P2≤0，亦即（x2＋1）2－m2x2≤0，整理可得x4＋（2－m2）x2＋1≤0.

設(shè)t=x2≥0，則t2＋（2－m2）t＋1≤0，其對(duì)應(yīng)方程的兩根t1t2=1gt;0，結(jié)合t≥0可知，t1，t2均是正根，不妨設(shè)t1lt;t2，則t1∈（0，1），t2gt;1.

設(shè)函數(shù)f（t）=t2＋（2－m2）t＋1，t≥0，則有f（1）=4－m2≤0，解得m≤－2或m≥2.

又結(jié)合題設(shè)條件可知t2=x22lt;22=4，所以f（4）=42＋4（2－m2）＋1=25－4m2gt;0，解得－52lt;mlt;52.

綜合以上兩種情況下解集的交集，可得m∈－52，－2∪

2，52，故選擇答案C.

方法2：分類討論法.

依題，顯然x=0不是方程|x2＋mx＋1|＋|x2－mx＋1|=2|mx|的根，則方程兩邊同時(shí)除以|x|，可得x＋1x＋m＋x＋1x－m=2|m|.

令t=x＋1x，則有|t＋m|＋|t－m|=2|m|，結(jié)合含有絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，可得2|m|=|t＋m|＋|t－m|=|t＋m|＋|m－t|≥|t＋m＋m－t|=2|m|，當(dāng)且僅當(dāng)t＋m與m－t同號(hào)時(shí)，等號(hào)成立，即（t＋m）（t－m）≤0時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)mgt;0時(shí)，由（t＋m）（t－m）≤0解得－m≤t≤m，要滿足原方程的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則上述解集中包含{－1，1}，即t=x＋1x=±2.又上述解集中不包含{－2，2}，即t=x＋1x=±52.所以有2≤mlt;52.

當(dāng)m=0時(shí)，由（t＋m）（t－m）≤0解得t=0，此時(shí)方程t=x＋1x=0無(wú)解.

當(dāng)mlt;0時(shí)，由（t＋m）（t－m）≤0解得m≤t≤－m，要滿足原方程的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則以上解集中包含{－1，1}，即t=x＋1x=±2.又以上解集中不包含{－2，2}，即t=x＋1x=±52.所以有－52lt;m≤－2.

綜上分析，可得m∈－52，－2∪

2，52，故選擇答案C.

方法3：分離參變量.

依題，結(jié)合含有絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，可得2|mx|=|x2＋mx＋1|＋|x2－mx＋1|≥|（x2＋mx＋1）－（x2－mx＋1）|=2|mx|，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋mx＋1與x2－mx＋1異號(hào)時(shí)，等號(hào)成立，即（x2＋mx＋1）（x2－mx＋1）≤0時(shí)，等號(hào)成立.

由（x2＋mx＋1）（x2－mx＋1）≤0，分離參變量可得（x2＋1）2≤m2x2，則有|mx|≥x2＋1，而顯然x=0不是方程|x2＋mx＋1|＋|x2－mx＋1|=2|mx|的根，可得|m|≥

x＋1x.

設(shè)函數(shù)f（x）=x＋1x，其是偶函數(shù)，由于原方程的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知這兩個(gè)根只能是±1，如圖1所示.

f（1）=2，f（2）=52，則有2≤|m|lt;52，解得m∈

－52，－2∪

2，52，故選擇答案C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)含參的絕對(duì)值方程的結(jié)構(gòu)特征，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問(wèn)題，或結(jié)合參數(shù)的分類進(jìn)行討論，或合理進(jìn)行分離參變量處理，結(jié)合含有絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，合理進(jìn)行放縮處理并確定等號(hào)成立的條件，進(jìn)而將方程問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)與方程思維來(lái)分析和解決問(wèn)題.其中，去掉絕對(duì)值符號(hào)是解決此類問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵步驟，也是難點(diǎn)所在.而對(duì)于函數(shù)與方程思維的應(yīng)用，往往離不開整體思維、換元思維、構(gòu)建函數(shù)思維等，并通過(guò)不等式的求解與應(yīng)用來(lái)達(dá)到目的.

方法4：排除法.

依題，注意到原方程中以－m代替m時(shí)，方程不變，所以若m是滿足條件的，則－m也滿足條件，于是排除選項(xiàng)A，B，答案只能在選項(xiàng)C，D中選擇.

比較選項(xiàng)C，D中的數(shù)據(jù)信息，區(qū)別在于數(shù)值±2能否取得，代入m=2，方程為|x2＋2x＋1|＋|x2－2x＋1|=2|2x|，即（x＋1）2＋（x－1）2=|4x|，亦即x2＋1=2|x|，解方程可得，只有1與－1這兩個(gè)整數(shù)根，滿足條件，故m=±2成立，故選擇答案C.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于單項(xiàng)選擇題，“小題小做”是其最優(yōu)的理想狀態(tài).結(jié)合各選項(xiàng)中數(shù)據(jù)的信息以及對(duì)應(yīng)的特征性質(zhì)加以挖掘與分析，通過(guò)特殊值思維來(lái)合理排除，這是解決選擇題的一種“巧技妙法”.合理利用排除法進(jìn)行特殊值思維與應(yīng)用，往往可以優(yōu)化解題過(guò)程，使得選擇與判斷更加簡(jiǎn)捷有效.排除法的關(guān)鍵在于特殊值的選取與排除技巧，這需要解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

3 結(jié)論歸納

根據(jù)原問(wèn)題及其解析過(guò)程，將問(wèn)題進(jìn)一步深入探究，合理歸納，得到以下更具一般性的結(jié)論.

結(jié)論：關(guān)于x的方程|x2＋mx＋1|＋|x2－mx＋1|=2|mx|的整數(shù)根有且僅有2n個(gè)（n∈N*），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是－n2＋2n＋2n＋1，－2∪

2，n2＋2n＋2n＋1.

該結(jié)論的證明過(guò)程，可以參考原問(wèn)題解析中的方法3或其他相關(guān)方法.

在該結(jié)論中，當(dāng)n=1時(shí)，即為原問(wèn)題，此時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是－n2＋2n＋2n＋1，－2∪

2，n2＋2n＋2n＋1=

－52，－2∪

2，52.

4 教學(xué)啟示

涉及方程、函數(shù)或不等式中的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，解決起來(lái)一般比較有難度，若其中含有絕對(duì)值，難度會(huì)變得更大.解題時(shí)要牢牢抓住此類問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)特征，合理把握相應(yīng)的技巧策略，如含有絕對(duì)值，則利用分類討論的方式去絕對(duì)值，進(jìn)而加以深入分析與研究.

含參數(shù)的方程、函數(shù)或不等式問(wèn)題，若能分離參變量往往先分離，再結(jié)合整體思維、換元思維和數(shù)形結(jié)合思想等方式來(lái)分析、解決問(wèn)題.這是解決此類問(wèn)題的“通性通法”，要加以熟練理解和掌握.

因而，在平時(shí)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)備考等過(guò)程中，教師和學(xué)生要充分把握方程、函數(shù)與不等式這三者之間的關(guān)系，以及其中滲透的其他相關(guān)知識(shí)，能有效整合數(shù)學(xué)知識(shí)，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)基本能力等層面提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).