基于“情境”的解析幾何解題策略探究

摘 要：試題“情境化”是新高考的必然趨勢(shì)，試題“情境”是命題者與解題者交流的暗語(yǔ).解題者只有讀懂命題者善意的提醒，對(duì)條件和目標(biāo)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募庸?，最終打通條件與目標(biāo)之間的“任督二脈”，才能剝開(kāi)試題“繁雜”的外衣，看清問(wèn)題的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：情境化；解析幾何；解題策略

解析幾何是新高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，考查學(xué)生的思維能力與運(yùn)算能力.現(xiàn)實(shí)與目標(biāo)的反差促使我們對(duì)條件與目標(biāo)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換，挖掘問(wèn)題的幾何特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，抓住形與數(shù)的關(guān)聯(lián)特征，以形助數(shù)，以數(shù)釋形.雖然教師對(duì)解析幾何各種優(yōu)化策略的總結(jié)全面而深刻，但是當(dāng)學(xué)生面對(duì)新穎、復(fù)雜的綜合問(wèn)題時(shí)仍然無(wú)法厘清條件與目標(biāo)之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，要么方向不對(duì)，要么運(yùn)算不過(guò)關(guān)，在有限的時(shí)間內(nèi)極少有人可以成功“突圍”.究其原因，主要是平時(shí)“題型＋方法”的教學(xué)方式弱化了學(xué)生的思維能力.學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力沒(méi)有得到培養(yǎng)，平時(shí)學(xué)習(xí)大多是“低通路遷移”.缺乏“高通路遷移”的學(xué)習(xí)往往使得學(xué)生在遇到新穎問(wèn)題、原創(chuàng)問(wèn)題時(shí)被“打回原形”.這也是很多優(yōu)秀學(xué)生高考“發(fā)揮失?！暗脑蛑?每一道試題的命制都會(huì)留下命題者的印記，或明或暗地體現(xiàn)了命題者的意圖和設(shè)想.尋找命題者留下的編制“痕跡”與“破綻”，接收命題者傳遞給我們的信息暗示或指引，就能感受到命題者內(nèi)心的思維活動(dòng)與釋放出來(lái)的“善意”，與其進(jìn)行隔空“對(duì)話”，并進(jìn)行判斷、加工，最終翻譯命題者的思維密碼才能達(dá)到看清問(wèn)題本質(zhì)的目標(biāo).本文提供如何基于“情境”對(duì)解析幾何問(wèn)題進(jìn)行分析、優(yōu)化的案例.

每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都有其具體的情境，解析幾何問(wèn)題也不例外.“情境”可以分具體和抽象兩類(lèi)，具體情境主要包括問(wèn)題的條件、目標(biāo)、設(shè)問(wèn)、運(yùn)算、幾何特征等；抽象情境主要是指將相關(guān)“情境”抽象成一些常見(jiàn)模型.情境化試題是實(shí)現(xiàn)考查內(nèi)容和考查要求的載體，提供一定的情境材料，要求學(xué)生在充分理解材料的基礎(chǔ)上，尋求解決問(wèn)題的途徑.［1］從“情境”出發(fā)尋找解題的突破口是一種最常見(jiàn)的方式.

1 從目標(biāo)尋求突破口

解題最重要的是目標(biāo)意識(shí)，即由“終”至“終”.有的命題者往往對(duì)目標(biāo)和條件不加任何掩飾，解題者可以從目標(biāo)反思條件，設(shè)法厘清條件與目標(biāo)的關(guān)系，也就打通了題目的“任督二脈”.

例1 （2020年全國(guó)Ⅰ卷改編）如圖1，已知A，B分別為橢圓E：x29＋y2=1的左、右頂點(diǎn)，P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

思路分析一：本題從目標(biāo)看需要借助參數(shù)表示直線CD的方程，而此直線的表示可以借助C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，又發(fā)現(xiàn)C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)可由直線AP，BP與橢圓求交點(diǎn)得到.

設(shè)點(diǎn)P（6，m），則直線AP：y=m9（x＋3），直線BP：y=m3（x-3），分別與橢圓方程聯(lián)立，得C3（9-m2）9＋m2，6m9＋m2，D3（m2-1）m2＋1，-2mm2＋1，接下來(lái)若直接表示直線CD，則運(yùn)算量會(huì)比較大，考慮到對(duì)稱(chēng)性，直線CD過(guò)的定點(diǎn)必在x軸上，令3（9-m2）9＋m2=3（m2-1）m2＋1得，m2=3，即直線CD只能過(guò)定點(diǎn)T32，0.又kCT=4m3（3-m2），kDT=4m3（3-m2），所以kCT=kDT，即直線CD過(guò)定點(diǎn)T.

本題由目標(biāo)逆向推理，直至將條件與目標(biāo)的聯(lián)系打通，或者也可以條件與目標(biāo)雙向推理，其中定點(diǎn)探求用到了先猜后證的思路，這是曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題中常采用的優(yōu)化運(yùn)算方式.

2 從“情境”抽象尋求突破口

命題者在試題命制時(shí)常常建立在某種模型上，再通過(guò)具體情境進(jìn)行包裝，改頭換面，將條件、目標(biāo)進(jìn)行變形.此類(lèi)問(wèn)題，解題者一旦能夠識(shí)別，則可“長(zhǎng)驅(qū)直入，一舉破題”.

思路分析二：本題中隱藏著一個(gè)常見(jiàn)的“手電筒”模型.如圖2，只需連結(jié)B，C兩點(diǎn)，便可出現(xiàn)該模型“點(diǎn)B及線段BC，BD”，可結(jié)合目標(biāo)猜得，直線BC，BD的斜率之積為定值.只需將兩者斜率之積求出，即可由齊次化求得定點(diǎn).

易證得，kAC·kBC=-19，kBD=3kAC，由此可得kBD·kBC=-13.由于直線CD不過(guò)點(diǎn)B，故可設(shè)直線CD的表達(dá)式為m（x-3）＋ny=1，由x2＋9y2=9，得（x-3＋3）2＋9y2=9，即（x-3）2＋6（x-3）＋9y2=0，所以有（x-3）2＋6（x-3）［m（x-3）＋ny］＋9y2=0.再設(shè)k=yx-3，則上式可化為9k2＋6nk＋6m＋1=0，兩根為kBD，kBC，所以kBD·kBC=6m＋19=-13，即m=-23，所以直線CD的表達(dá)式為-23x＋ny＋1=0，所以直線CD過(guò)定點(diǎn)T32，0.

本題的背景可以抽象成“手電筒”模型的逆向問(wèn)題，即尋求斜率間的關(guān)系進(jìn)而可以推出直線過(guò)定點(diǎn).將問(wèn)題情境抽象成常見(jiàn)模型需要對(duì)模型結(jié)構(gòu)非常熟悉，深刻理解模型的條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系，這種抽象過(guò)程屬于“高通路遷移”.

3 從設(shè)問(wèn)尋求突破口

命題者在命制試題時(shí)各問(wèn)題之間往往呈現(xiàn)層層遞進(jìn)的關(guān)系，或從特殊到一般，或從單一情況到多種情況，或直線推進(jìn).前面小問(wèn)的解決對(duì)后續(xù)小問(wèn)具有方向、方法引領(lǐng)，過(guò)程補(bǔ)充的作用.

例2 如圖3，已知左焦點(diǎn)為（-1，0）的橢圓過(guò)點(diǎn)1，233，過(guò)點(diǎn)P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求k1的值.k1=-23

（3）若k1＋k2=1，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

第（3）問(wèn)思路分析一：直線AB為y-1=k1（x-1），與橢圓方程x23＋y22=1聯(lián)立，得M-3k1k22＋3k21，2k22＋3k21，同理N-3k1k22＋3k22，2k12＋3k22.與例1類(lèi)似，本題若直接求直線MN方程運(yùn)算量會(huì)非常大，故仍然考慮先猜后證.但本題要想猜出定點(diǎn)需要找出兩條特殊的直線MN，其中一條可以令k1=0，k2=1（k2=0，k1=1一樣）求得直線MN即為y軸，另一條如何取值才能有效控制運(yùn)算量呢？這里我們可以借助第（2）問(wèn)的結(jié)果，即取k1=-23，可得N1031，-431，M（1，1），所以直線MN為y-1=53（x-1），兩條特殊的直線MN交于點(diǎn)T0，-23，下面證明M，N，T三點(diǎn)共線即可.

上述求解雖是常規(guī)思路，但是先“猜”的“猜”不易，合理利用前面小問(wèn)能有效控制運(yùn)算量.

第（3）問(wèn)思路分析二：先看第（2）問(wèn)的解答，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由點(diǎn)差法易得，y1-y2x1-x2·y1＋y2x1＋x2=-23，即k1·yPxP=-23，代入點(diǎn)P坐標(biāo)即得k1=-23.這一過(guò)程對(duì)第（3）問(wèn)是否有幫助呢？再看式子y1-y2x1-x2·y1＋y2x1＋x2=-23，可以化為y1-y2x1-x2·y0x0=-23（點(diǎn)（x0，y0）為弦的中點(diǎn)）.第（2）問(wèn)是已知中點(diǎn)坐標(biāo)求斜率，而第（3）問(wèn)中斜率是變量，意味著弦的中點(diǎn)是隨著變量k的變化而變化的，一個(gè)自然的想法是能否求弦的中點(diǎn)的軌跡方程呢？這需要找到中點(diǎn)（x0，y0）滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，將等式y(tǒng)1-y2x1-x2·y0x0=-23代入y1-y2x1-x2=y0-1x0-1中，即得中點(diǎn)軌跡方程為2（x2-x）＋3（y2-y）=0，即點(diǎn)P，M，N是軌跡上的點(diǎn)，且直線MN不過(guò)點(diǎn)P.設(shè)直線MN方程為m（x-1）＋n（y-1）=1，將方程2x2＋3y2-（2x＋3y）=0齊次化變形，得（2m＋2）（x-1）2＋（3n＋3）（y-1）2＋（3m＋2n）（x-1）·（y-1）=0.設(shè)k=y-1x-1，得（3n＋3）k2＋（3m＋2n）k＋2m＋2=0，由k1＋k2=1，得-（3m＋2n）3n＋3=1，即m=-53n-1，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)T0，-23.

本題的背景是二次曲線過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題，圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡仍是該類(lèi)圓錐曲線，即二次曲線Γ：Ax2＋By2＋Ex＋Fy＋D=0.過(guò)一定點(diǎn)P（x0，y0）作直線l與曲線Γ交于M，N兩點(diǎn)，則弦MN中點(diǎn)的軌跡方程為fx（x，y）·（x-x0）＋fy（x，y）（y-y0）=0，其中f（x，y）=Ax2＋By2＋Ex＋Fy＋D，fx（x，y），fy（x，y）表示f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù).九省新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)卷的第18題第（1）問(wèn)便是以此為背景命制的.

本題從第（2）問(wèn)到第（3）問(wèn)，問(wèn)題由靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，由常量變?yōu)樽兞浚冢?）問(wèn)的關(guān)系式到第（3）問(wèn)換個(gè)視角仍然適用.解題教學(xué)中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，要關(guān)注辯證思維的培養(yǎng).“授人以魚(yú)不如授人以漁”，新的教學(xué)觀已從原有的教授專(zhuān)家結(jié)論轉(zhuǎn)向教授專(zhuān)家思維，從教知識(shí)轉(zhuǎn)向教素養(yǎng).教師教給學(xué)生的知識(shí)，最終能用到多少？能記得多少？

真正留在學(xué)生大腦里時(shí)間最長(zhǎng)的是教給學(xué)生的思維，如數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等.

4 從運(yùn)算尋求突破口

新高考解析幾何問(wèn)題對(duì)思維能力和運(yùn)算能力提出了更高的要求，對(duì)目標(biāo)的表征方式往往不止一種，那么在解決具體問(wèn)題時(shí)該如何選擇呢？筆者認(rèn)為影響表示方式的因素主要是條件和運(yùn)算量，根據(jù)條件（適當(dāng)?shù)臅r(shí)候要將條件轉(zhuǎn)化）、不同的表示方式運(yùn)算量的比較，綜合決定解題的方向選擇.

例3 （2019年浙江高考）如圖4，已知點(diǎn)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)，記△AFG，△CQG面積分別為S1，S2.求S1S2的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).

思路分析：本題首先要表示S1S2，官方及各類(lèi)資料的答案均為先表示S1，S2，再求解比值的最小值，但此種方式的運(yùn)算量較大，尤其是最后的函數(shù)模型較為復(fù)雜，使得最小值的求解較為困難.事實(shí)上對(duì)于比值的表示除了分子分母分別表示外，還可以從“比”的角度考慮，先將“比”化簡(jiǎn)，再表示分子和分母.考慮到點(diǎn)G為重心，所以S△ABG=S△ACG，故S1S2=S1S△ABG·S△ACGS2=|AF||AB|·|AC||CQ|=

|yA||yA-yB|·|yA-yC||yC|=|y2A-yAyC||yAyC-yByC|，此式涉及的是yA，yB，yC，下面需要找到三者的聯(lián)系再消元即可.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則直線AB的方程為（y1＋y2）·y-y1y2=4x，因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F（1，0），所以y1y2=-4，同理x2Q=x1x3.又因?yàn)閥G=y1＋y2＋y33=0，所以S1S2=|y1（y1-y3）||（y1-y2）y3|=2|y21（y21-2）||y41-16|.再由條件點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)得，x1x3gt;1，即y21y23gt;16，所以y1（y1＋y2）gt;4，即y21gt;8，S1S2=21-2（y21-8）y21-16.令t=y21-8，tgt;0，y21-8y41-16=1t＋48t＋16≤2-38，當(dāng)且僅當(dāng)y21=8＋43時(shí)，取等號(hào)，即S1S2最小值為1＋32，此時(shí)點(diǎn)G（2，0）.

本題的思路是基于比值的處理，由于S1，S2無(wú)法從比值角度直接建立聯(lián)系，故通過(guò)引入中間量S△ABG，S△ACG，使得三角形存在聯(lián)系，易于將比值簡(jiǎn)化為共線的線段長(zhǎng)度之比，最終轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)的比值，此目標(biāo)函數(shù)形式更易于消元和求最值.解決解析幾何問(wèn)題要著力培養(yǎng)學(xué)生多思少算的習(xí)慣，只有深入思考問(wèn)題的本質(zhì)，不斷優(yōu)化問(wèn)題的解決方式，才能真正體會(huì)到解析幾何的核心價(jià)值.

5 從幾何特征尋求突破口

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，代數(shù)是手段，幾何是本質(zhì).教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將幾何特征代數(shù)化，理解代數(shù)表征的幾何意義，使得代數(shù)表征與幾何直觀相互呼應(yīng)，能靈活選擇“數(shù)”與“形”兩個(gè)視角解決問(wèn)題，體會(huì)幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：x24＋y23=1，直線l：x=4，右焦點(diǎn)為F（1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M是曲線C上異于A，B的任意一點(diǎn).設(shè)直線AM與直線l交于點(diǎn)N，求證：∠MFB=2∠NFB.

思路分析一：本題目標(biāo)可轉(zhuǎn)化為證明tan∠MFB=tan 2∠NFB，直線MF，NF的斜率不難證明，但是若我們注意到∠MFB=2∠NFB等價(jià)于NF平分∠MFB，能否從角平分線的視角考慮呢？NF可以視為∠MFA的外角平分線，由外角平分線逆定理只需要證明|FA||FM|=|AN||MN|.

作MM1⊥l，如圖5所示，

由三角形相似，得|AN||MN|=6|MM1|，|FA||FM|=3|FM|.由l：x=4為右準(zhǔn)線知，|MF||MM1|=e=12，所以6|MM1|=3|FM|，即|FA||FM|=|AN||MN|.

思路分析二：考慮到直線l為右準(zhǔn)線.要證明∠MFB=2∠NFB，只需要證明|MF|=|MD|.因?yàn)辄c(diǎn)F為AE中點(diǎn)，由三角形相似知D為MM1的中點(diǎn)，故只需要證明|MF|=12|MM1|，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知|MF|=12|MM1|成立.

上述兩種解法重在對(duì)“角平分線”這一幾何特征的代數(shù)表征——角平分線定理（逆定理），當(dāng)然對(duì)這一幾何特征也可以從“角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等”考慮，事實(shí)上只要我們具備了這一研究問(wèn)題的視角，能準(zhǔn)確地找到相應(yīng)的代數(shù)表征，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)［2］，闡明了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在試題情境中，表現(xiàn)為 “運(yùn)算求解”和“幾何特征”.深入分析試題情境，作出相應(yīng)的幾何圖形，聚焦幾何特征，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步，也是發(fā)現(xiàn)解題思路來(lái)源最重要的一步.

6 結(jié)語(yǔ)

新高考“新”在“情境化”命題，通過(guò)選取適宜的素材，根據(jù)不同的考查功能，設(shè)計(jì)不同的情境載體.比如，以課程學(xué)習(xí)情境為檢驗(yàn)基礎(chǔ)的量尺，以探索創(chuàng)新情境為區(qū)分甄選的手段，以生活實(shí)踐情境為拓展應(yīng)用的渠道.［1］縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試題，大部分情境載體都同時(shí)蘊(yùn)含“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”兩個(gè)方面.基于情境的問(wèn)題分析可以遵循如圖6流程.

總之，“情境”是高考數(shù)學(xué)試題的顯著特征，情境化試題能更深刻、精準(zhǔn)地反映學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能.掌握“情境”的分析策略，總結(jié)和提煉相應(yīng)的方法流程是提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的有效途徑，對(duì)“情境”的駕馭能力是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心指標(biāo).

參考文獻(xiàn)

［1］任子朝，趙軒.基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑 ［J］.中國(guó)考試，2019（12）：27-32.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.