指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)養(yǎng)成的單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

摘 要：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)是一種站在整體高度上規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，是新理念下所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法與途徑.本文從養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的單元教學(xué)意義入手，以“函數(shù)概念與性質(zhì)”為例，進(jìn)行單元教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)踐.

單元教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).函數(shù)與數(shù)學(xué)建模有著密切的關(guān)系，做好“函數(shù)概念與性質(zhì)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，有助于提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；單元教學(xué)；設(shè)計(jì)與實(shí)踐

1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)養(yǎng)成的單元教學(xué)意義

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）核心素養(yǎng)的重要組成，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中需要培養(yǎng)的重點(diǎn).數(shù)學(xué)建模就是通過建立數(shù)學(xué)模型，將遇到的問題轉(zhuǎn)化成相似的形式加以解決，是解決難題的一種常用方法.數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)建模是一種通過建模來解決問題的科學(xué)思維方式.建模能力不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有應(yīng)用價(jià)值，在其他學(xué)科領(lǐng)域也同樣有著重要的作用.

1.1 響應(yīng)課程改革的需要

新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向.”［1］數(shù)學(xué)建模作為一種數(shù)學(xué)思想被引入高中教育.教師要想推動(dòng)學(xué)生達(dá)到新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的素養(yǎng)水平，就要調(diào)整教學(xué)方法、更新教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模思維和能力，并具備應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決數(shù)學(xué)難題的技能.在高中數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)率先調(diào)整對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的認(rèn)識(shí)，將它們的地位從數(shù)學(xué)知識(shí)調(diào)整為養(yǎng)成建模素養(yǎng)的“抓手”，在概念教學(xué)過程中融入建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納、抽象邏輯的意識(shí)，鍛煉學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力.這樣才能將新課標(biāo)的改革要求落到實(shí)處.

1.2 優(yōu)化課程教學(xué)的效果

我國傳統(tǒng)教學(xué)模式以課時(shí)為單位，教師們已經(jīng)習(xí)慣按照課時(shí)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).課時(shí)教學(xué)在知識(shí)點(diǎn)教學(xué)方面的確有優(yōu)勢(shì)，能夠幫助學(xué)生扎實(shí)掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但在知識(shí)體系構(gòu)建方面劣勢(shì)同樣明顯，例如，難以讓學(xué)生明確知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系.數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生會(huì)有意識(shí)地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)、體系的構(gòu)建，能夠?qū)⒋竽X中的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用的效率比較高；中等生和學(xué)困生缺少主動(dòng)串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)的意識(shí)，知識(shí)體系薄弱，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用靈活度有限.單元教學(xué)則能有效改變課時(shí)教學(xué)的不足，幫助學(xué)生理順知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).并且，從單元的高度構(gòu)建教學(xué)，有利于養(yǎng)成學(xué)生的建模思維和能力，給予學(xué)生更多機(jī)會(huì)去利用已掌握的概念、公式、定理進(jìn)行反復(fù)建模，提升學(xué)生的建模能力.

1.3 幫助教師提升教學(xué)能力

要想在單元教學(xué)中養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師需要具備較高的專業(yè)水平和教學(xué)能力，這是新課標(biāo)帶來的變化.為了響應(yīng)新課標(biāo)，完成教學(xué)改革，教師需要吃透教材，站在教材編寫者的視角去分析理解設(shè)計(jì)意圖，從整體的高度去把握教材的教學(xué)目標(biāo)、知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行單元目標(biāo)的確定、教學(xué)方案的編寫、整體性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的制定等.此外，教師需要將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)融入具體的單元教學(xué)當(dāng)中，讓學(xué)生能夠在單元學(xué)習(xí)過程中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模思想與具體知識(shí)點(diǎn)的契合度，讓學(xué)生能夠真正形成數(shù)學(xué)建模思維和能力.

1.4 有助于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展

函數(shù)的概念定義過程比較抽象，傳統(tǒng)教學(xué)方法不容易讓學(xué)生真正理解函數(shù)的概念，難以將函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)的獲取過程與函數(shù)的概念相關(guān)聯(lián)，從而導(dǎo)致這些緊密相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)變得零散化、碎片化，影響學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解和應(yīng)用.單元教學(xué)相較于傳統(tǒng)課時(shí)教學(xué)更適合函數(shù)部分，它能夠幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的理解，幫助學(xué)生把握函數(shù)這一建模工具.

2 “函數(shù)概念與性質(zhì)”單元教學(xué)實(shí)踐

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一，函數(shù)的概念構(gòu)成、性質(zhì)特征、解題應(yīng)用都與數(shù)學(xué)建模有著密切的聯(lián)系.函數(shù)本身就是刻畫客觀世界的一個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，所以學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育應(yīng)與函數(shù)部分的教學(xué)相結(jié)合，讓學(xué)生切實(shí)認(rèn)識(shí)、理解、感受函數(shù)的本質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，從而解決數(shù)學(xué)問題.

高中階段，學(xué)生不能僅僅將函數(shù)看作變量之間關(guān)系的描述，還應(yīng)能用集合等數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)，能將函數(shù)視作一種建模工具貫穿應(yīng)用于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》（以下簡(jiǎn)稱“必修一”）中“函數(shù)概念與性質(zhì)”單元教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)踐如下.

2.1 單元總結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生梳理“函數(shù)概念與性質(zhì)”的單元知識(shí)框架.課前，教師已經(jīng)布置了前置作業(yè)，要求學(xué)生自行進(jìn)行單元知識(shí)框架的梳理.所以，在課堂上，教師向?qū)W生們展示了一個(gè)關(guān)鍵位置為空白的單元結(jié)構(gòu)圖，要求學(xué)生填寫.通過這樣的方式，學(xué)生再次回顧本單元學(xué)過的函數(shù)概念、單調(diào)性、奇偶性、最大最小值等知識(shí)點(diǎn).

有單元總結(jié)作為基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)以及知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系有了更深的理解，能將變量與變量之間的關(guān)系抽象形成函數(shù)，能在運(yùn)用描點(diǎn)法繪制函數(shù)圖象后，通過觀察、調(diào)整、總結(jié)得到函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì).

2.2 函數(shù)應(yīng)用

教師組織學(xué)生完成單元函數(shù)概念、性質(zhì)的回顧和知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理后，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)去解決具體的問題情境.這一部分是對(duì)整個(gè)單元教學(xué)的拔高環(huán)節(jié)，講究生活化、情境化，追求通過具體情境下的應(yīng)用來促進(jìn)學(xué)生對(duì)單元內(nèi)容的理解，養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維和能力.

問題1 一輛汽車在某段路程中行駛的平均速率v（單位：km/h）與時(shí)間t（單位：h）

的關(guān)系如圖1所示.

（1）求陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義.

（2）假如這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s（單位：km）與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的圖象.

學(xué)生需要在第（1）問中明確陰影部分面積的由來，了解面積是代表著汽車路程的長度，這個(gè)值的求解是通過時(shí)間t與速度v相乘得到的，值為50＋80＋90＋75＋65=360.解決第（1）問的過程，是學(xué)生梳理函數(shù)信息之間關(guān)系的過程.

學(xué)生在解決第（2）問時(shí)要正確理解里程表讀數(shù)s所代表的含義，還要從圖象中認(rèn)識(shí)到函數(shù)的路程、時(shí)間、速度關(guān)系需要分段討論的具體情況，并將讀圖所得信息制作成函數(shù)曲線所需的點(diǎn)，從而得到函數(shù)表達(dá)式和圖象.函數(shù)圖象如圖2所示.

【設(shè)計(jì)意圖】用問題情境和問題串引導(dǎo)學(xué)生通過常規(guī)步驟進(jìn)行函數(shù)建模，應(yīng)用函數(shù)去解決問題.學(xué)生在問題情境的引導(dǎo)下完成了讀圖，確定變量和不變量的函數(shù)關(guān)系，并在解決具體問題的過程中，完成一次完整的函數(shù)建模和應(yīng)用.同時(shí)，問題情境也相當(dāng)于帶領(lǐng)學(xué)生回顧了

函數(shù)概念與性質(zhì)的內(nèi)容，從應(yīng)用的角度鞏固了學(xué)生所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，促成學(xué)生完成表達(dá)式、圖象之間的轉(zhuǎn)換和應(yīng)用，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)意義的理解.

問題2 某商店對(duì)A、B兩種商品進(jìn)行了6個(gè)月的銷售，根據(jù)商品在6個(gè)月內(nèi)的銷售成本和利潤判斷后續(xù)銷售方案.6個(gè)月內(nèi)的銷售成本和利潤具體數(shù)據(jù)見表1.

第7個(gè)月，該商店計(jì)劃投入總金額12萬元進(jìn)行兩種商品的正式銷售，請(qǐng)結(jié)合前6個(gè)月的銷售情況幫助商店策劃A、B兩種商品的銷售方案，確定兩種商品的成本投入份額，讓商店的利潤達(dá)到最大，并計(jì)算出商店在第7個(gè)月能夠獲得的最大純利潤.（精確到0.1萬元）

問題的已知條件通過表格的形式展示出來，這對(duì)于剛剛在單元學(xué)習(xí)中使用過描點(diǎn)法的學(xué)生而言，是一種很便利、無需自己手動(dòng)轉(zhuǎn)化的條件，比較容易引發(fā)學(xué)生描點(diǎn)畫圖的想法，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型打好了基礎(chǔ).學(xué)生根據(jù)條件用描點(diǎn)法繪制出如下圖3和圖4所示圖形.

通過函數(shù)圖象和已知表格中的數(shù)據(jù)，學(xué)生可以寫出函數(shù)表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)從圖象到表達(dá)式的轉(zhuǎn)化，完成函數(shù)建模.函數(shù)表達(dá)式寫出后，題目的最終答案就可以由學(xué)生獨(dú)立完成，教師無需再投入寶貴的課堂時(shí)間.

【設(shè)計(jì)意圖】在繪制函數(shù)圖象、寫出表達(dá)式的基礎(chǔ)上，問題2對(duì)學(xué)生運(yùn)用最大值性質(zhì)進(jìn)行了考查.這一問題進(jìn)一步考查了學(xué)生的單元知識(shí)點(diǎn)掌握情況，還向?qū)W生展示了如何運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.問題2相當(dāng)于又一次對(duì)本單元的內(nèi)容進(jìn)行了鞏固.

問題3 如圖5所示，△OAB 是一個(gè)等邊三角形，邊長為2，以O(shè)為原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系，三角形OA邊落在x軸上，t為x軸上任意一點(diǎn).若△OAB 位于直線x=t（tgt;0）左側(cè)的圖形面積為f（t）.請(qǐng)寫出函數(shù)y=f（t）的表達(dá)式，并畫出函數(shù)圖象.

學(xué)生通過讀題、讀圖可以發(fā)現(xiàn)，正三角形左側(cè)面積的變化趨勢(shì)在直線x=t與點(diǎn)B相交的前后有著明顯的不同，需要分段討論.學(xué)生寫出的分段函數(shù)表達(dá)式如下所示.

f（t）=32t2，0lt;t≤1，

-32（t-2）2＋3，1lt;t≤2.

大多數(shù)學(xué)生的函數(shù)表達(dá)式都是上方的樣子，忘記了直線x=t位置超出2時(shí)，圖形面積固定不變的情況，所以表達(dá)式寫得不完整.教師提出這一點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行完善，在學(xué)生心中留下了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)形象.

問題3到此并未結(jié)束，教師可要求學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象特征來構(gòu)建問題情境，使其符合問題3的函數(shù)模型.這一過程，學(xué)生不僅在已知條件的引導(dǎo)下完成了函數(shù)建模和應(yīng)用，還嘗試了構(gòu)建問題情境，將函數(shù)模型從特殊化為一般，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí).

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)特殊情境、特殊已知條件構(gòu)建特殊模型是較為常見的數(shù)學(xué)建模問題，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中更多地需要學(xué)生掌握從特殊到一般、從一般到特殊的建模能力.問題3以及后續(xù)的問題情境創(chuàng)編訓(xùn)練，為學(xué)生提供了這樣的空間.而且，學(xué)生可以通過創(chuàng)編情境，將問題3與問題1相連，

從而認(rèn)識(shí)一般性的數(shù)學(xué)模型所具有的寬廣適用范圍，加深對(duì)模型以及建模的重要性認(rèn)識(shí).

要想養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師需要為學(xué)生提供復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系情境，在具體情境中鍛煉學(xué)生構(gòu)建具體數(shù)學(xué)模型的思維和能力.還要為學(xué)生提供難度逐漸提高，復(fù)雜程度層層遞進(jìn)的情境，同步增強(qiáng)學(xué)生的問題意識(shí)、數(shù)形結(jié)合能力.

3 結(jié)語

本文分析了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)養(yǎng)成的單元教學(xué)，以必修一中《函數(shù)的概念與性質(zhì)》單元為例，通過單元知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理和三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單元知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)數(shù)學(xué)建模思想和能力，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)模型的實(shí)用性.本文所提出的函數(shù)建模案例，具有一定的參考應(yīng)用價(jià)值，有助于學(xué)生建模素養(yǎng)的養(yǎng)成.

參考文獻(xiàn)

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］孟凡群.四法演繹一道圓錐曲線最值問題［J］.數(shù)學(xué)之友，2022（5）：66-68.

［3］魯和平.構(gòu)造拋物線巧解向量題［J］.數(shù)學(xué)之友，2022（5）：69.

［4］張文晴，曹佳慧，李香，等.新高考背景下江蘇省數(shù)學(xué)試題變化分析［J］.數(shù)學(xué)之友，2022（5）：83-85.