凝煉核心問題聚焦“四能”培養(yǎng)

【摘要】發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)凝煉核心問題，聚焦“四能”培養(yǎng).以“正弦定理和余弦定理”為例，探討聚焦“四能”培養(yǎng)的設(shè)計(jì)與教學(xué)路徑：根據(jù)課程目標(biāo)和教材編寫意圖提出核心問題，實(shí)施“情境—問題”教學(xué)，教學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】正余弦定理；核心問題；“四能”；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1問題提出

近年來，國家極為重視在基礎(chǔ)教育領(lǐng)域?qū)嵤┌渭鈩?chuàng)新人才的早期培養(yǎng).發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ).愛因斯坦指出：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是數(shù)學(xué)上的或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，教師往往“更為注重對所給出的問題提供解題方法、技能的訓(xùn)練，至于這個(gè)問題怎么發(fā)現(xiàn)、提出的，常常不愿花時(shí)間讓學(xué)生去探討”，存在“重問題輕引導(dǎo)”“重講解輕感悟”“重技巧輕通法”“重解答輕分析”等教學(xué)誤區(qū)[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出了“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’）”的課程目標(biāo).如何培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，特別是“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”的能力？教學(xué)實(shí)踐表明，根據(jù)教材內(nèi)容，聚焦能驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維活動(dòng)的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯的核心問題，并構(gòu)建圍繞核心問題展開的、有層次性的一組問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法和經(jīng)驗(yàn)思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題[2]，是培養(yǎng)“四能”的有效途徑.下文以“正弦定理和余弦定理”單元的教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)踐為例加以說明.

2聚焦“四能”培養(yǎng)的正弦定理和余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦定理和余弦定理定量地刻畫了三角形邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，是解三角形的理論依據(jù).在初中，教材通過“畫、剪、疊”定性給出了確定三角形的條件（未證明），即：知道一個(gè)三角形的三邊長、兩邊長及其夾角、兩角及其夾邊長、兩角及其對邊長就能唯一確定一個(gè)三角形，分別對應(yīng)于判定三角形全等的四個(gè)基本事實(shí)：SSS，SAS，ASA及其推論AAS（分別出自《幾何原本》卷Ⅰ命題8、命題4和命題26），即三角形的形狀（由角確定）和大?。ㄓ蛇呴L確定）都是確定的.換言之，三角形的其它未知的角或邊可以通過已知的邊或角（正、余弦值）“算”出來.因此，可以從算的角度展開發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理的教學(xué).除此而外，正弦定理和余弦定理還是落實(shí)數(shù)學(xué)美育功能[3]的良好材料.

2.1設(shè)計(jì)思路

由于“正弦定理和余弦定理的主題相近、教育功能與價(jià)值相近、教學(xué)目標(biāo)相近、探究過程所用的思維方法和數(shù)學(xué)思想方法相近” [4]，因此，為了發(fā)現(xiàn)的完整性和知識(shí)的系統(tǒng)性，把正弦定理和余弦定理整合為一個(gè)單元作整體教學(xué)設(shè)計(jì).為了培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，變傳統(tǒng)的“教師提出問題”為“學(xué)生提出問題”，變“學(xué)生解決老師提出的問題”為“學(xué)生在老師的指導(dǎo)下分析、解決自己提出的問題”，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，經(jīng)歷感受數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美、運(yùn)用數(shù)學(xué)美、發(fā)展數(shù)學(xué)美的過程，重視積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).設(shè)計(jì)突出兩條線：一是“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的數(shù)學(xué)問題解決的明線，二是“美觀—美好—美妙—完美”數(shù)學(xué)情感的“暗線”.設(shè)計(jì)分兩個(gè)課時(shí)完成.

第1課時(shí)：（在教師的引導(dǎo)下）發(fā)現(xiàn)和提出要研究的問題，然后用作高法發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理，并在應(yīng)用環(huán)節(jié)“求出”余弦定理，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、證明數(shù)學(xué)真、感悟數(shù)學(xué)善的過程，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生感受到美觀、美好與美妙（見圖1第一課時(shí)）.

2.2.1發(fā)現(xiàn)并提出問題

2.2.2分析問題

2.2.3解決問題

2.2.4發(fā)現(xiàn)余弦定理

2.2.5小結(jié)與作業(yè)

任務(wù)7：回顧發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理和余弦定理的過程，并嘗試提出新問題，下節(jié)課分享問題并解決.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧課程學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了“閱讀文本—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的問題解決全過程，以及發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、證明數(shù)學(xué)真、感悟數(shù)學(xué)善的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程.請學(xué)生整理“學(xué)了什么？感悟了什么？有什么結(jié)論？積累了什么做數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)？”

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生充分交流和表達(dá)課堂所學(xué)所做所思，內(nèi)化知識(shí)、思想方法，暴露思維和學(xué)習(xí)缺憾，找準(zhǔn)后續(xù)教學(xué)的起點(diǎn).

第1課時(shí)作業(yè)：① 完成課中的兩個(gè)遺留問題的求解；②畫出三角形中的邊角關(guān)系（勾股定理、正弦定理、余弦定理及其推論）的關(guān)系圖；③正弦定理還能解決哪些類型的解三角形的問題？④看正弦定理和余弦定理的關(guān)系式，回顧發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理和用正弦定理“求”余弦定理的過程，我們還有遺憾嗎？請同學(xué)們寫出你提出的問題，并嘗試解決，下節(jié)課分享；⑤將教材內(nèi)容精讀一遍.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主整理所學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)系統(tǒng)；再次感悟發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題的問題解決過程，培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)—問—思—習(xí)—問—思—學(xué)”的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)實(shí)踐表明，較傳統(tǒng)的分兩個(gè)課時(shí)分別發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)而言，此教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)效果更好：①第一課時(shí)重點(diǎn)在于讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，理清解決問題的思路，并用作高法發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理，利用正弦定理“求出”了余弦定理.同時(shí)通過回顧問題解決的過程，提出了新的研究問題，使學(xué)生積累了“做數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗(yàn)：閱讀學(xué)習(xí)材料、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，經(jīng)歷了從一般到特殊再到一般的問題解決的完整過程；②第二課時(shí)解決上一課時(shí)結(jié)束后學(xué)生自己提出的問題，學(xué)生探索、分享不同的證明正弦定理和余弦定理的方法，學(xué)生再次經(jīng)歷了“做數(shù)學(xué)”的過程，進(jìn)一步強(qiáng)化了“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；③讓學(xué)生感悟了數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)真、數(shù)學(xué)善，并在一定程度上讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感；④變傳統(tǒng)的布置作業(yè)題為提出新的問題、畫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，有利于培養(yǎng)學(xué)生回顧反思、自主整理知識(shí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3聚焦“四能”培養(yǎng)的策略

3.1提出核心問題

“四能”是基于數(shù)學(xué)問題提出的，沒有數(shù)學(xué)問題就沒有“四能”.課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題按其重要性程度可分為核心問題和輔助問題，核心問題是指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，通向數(shù)學(xué)理解.輔助問題是圍繞核心問題展開的幫助理解和解決核心問題的問題.

數(shù)學(xué)問題是指在情境中提出的，以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問題.“問題提出是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心” [5]，特別是核心問題，是教學(xué)中的關(guān)鍵，抓住核心問題有助于學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化地理解知識(shí).一個(gè)經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的問題能夠強(qiáng)化學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，一個(gè)精心挑選的問題能夠激發(fā)深入的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[6].數(shù)學(xué)“核心問題”是數(shù)學(xué)教學(xué)中思考性強(qiáng)、數(shù)學(xué)味濃、需要合作探究交流的問題 [7].在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的育人目標(biāo)、教材的編寫意圖，提出章、節(jié)、課時(shí)的指向數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的核心問題，并根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)學(xué)生能提出的靠近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的輔助問題.

3.2實(shí)施“情境—問題”教學(xué)

以核心問題驅(qū)動(dòng)“四能”培養(yǎng)的教學(xué)包括創(chuàng)設(shè)情境、用數(shù)學(xué)的眼光從情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)（核心）問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題和解決問題、小結(jié)與作業(yè)等環(huán)節(jié)（見圖3），“情境—問題”教學(xué)始于情境，發(fā)于問題，終于問題解決，是“情境—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—提出新問題—分析新問題—解決新問題”的問題解決螺旋圈.圖3以核心問題驅(qū)動(dòng)“四能”培養(yǎng)的教學(xué)過程情境是孕育問題的土壤，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)要“以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”.數(shù)學(xué)情境是含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)情境[8]，在教學(xué)設(shè)計(jì)階段，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)問題顯現(xiàn)型和問題隱蔽型數(shù)學(xué)情境，便于在課堂教學(xué)時(shí)學(xué)生能“用數(shù)學(xué)的眼光”發(fā)現(xiàn)和提出簡單問題、較復(fù)雜問題、復(fù)雜問題，讓學(xué)生在與情境、問題的有效互動(dòng)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的方法

3.3.1發(fā)現(xiàn)問題的方法

發(fā)現(xiàn)問題是指“用數(shù)學(xué)的眼光”從特定情境中感知到確定或不確定的數(shù)量或空間的某種關(guān)系或結(jié)構(gòu)，并對這種關(guān)系或結(jié)構(gòu)有好奇（想知道答案）的認(rèn)知活動(dòng).發(fā)現(xiàn)問題需要“用數(shù)學(xué)的眼光”，是對現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)解讀，即學(xué)生是因?yàn)橄胍篮屠斫猬F(xiàn)實(shí)世界，而用數(shù)學(xué)的方式表述出具體注意到的問題——“有價(jià)值的”“合情理的”“可研究的”“數(shù)學(xué)問題”[99805fb5d0bc00c74b52157275798d239].發(fā)現(xiàn)問題與個(gè)人的知識(shí)儲(chǔ)備、認(rèn)知水平、思維方式高度相關(guān)，具有內(nèi)隱性，是啟動(dòng)創(chuàng)造思維的過程，集中體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)探索精神與思維的開放性.

實(shí)踐中，可以通過呈現(xiàn)沖突、矛盾、與已有經(jīng)驗(yàn)不一致的現(xiàn)象或事實(shí)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.如，通過呈現(xiàn)與學(xué)生解法不同或結(jié)論相反的案例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己解法錯(cuò)誤或結(jié)論錯(cuò)誤的問題；通過“畫、剪、疊”方法得到三角形全等的判定事實(shí)與“只有經(jīng)過邏輯推理證明的命題才是真命題”的經(jīng)驗(yàn)不符，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“初中學(xué)到的判定三角形全等的基本事實(shí)均沒有證明”的問題.

3.3.2提出問題的方法

發(fā)現(xiàn)問題不一定能提出問題，生活、工作、教學(xué)中“你的問題究竟是什么？”的追問，表明我們經(jīng)常意識(shí)到問題的存在，然而卻不能用恰當(dāng)?shù)恼Z言將問題提出來.因此，教學(xué)過程中應(yīng)營造良好的“問題場”，讓學(xué)生能將問題提出來.

提出問題（或問題提出）是指教師根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置不同類型的情境（包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三種），讓學(xué)生根據(jù)情境提出數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進(jìn)行修正，對這些問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?提出問題是發(fā)現(xiàn)問題的深化，是問題的顯性化，即用數(shù)學(xué)的語言準(zhǔn)確地把問題表達(dá)出來.提出問題是一個(gè)創(chuàng)造性的思維活動(dòng)過程，是一個(gè)人的科學(xué)精神的體現(xiàn).

教學(xué)之道“最根本的是要學(xué)會(huì)提出問題”，因此在教學(xué)過程中除了有意與學(xué)生分享與交流一些提出問題的“基本套路”[10]外，還可以嘗試以下方法讓學(xué)生模仿自主提出問題，讓學(xué)生“從平常中見異常、于普遍中見特殊、于特殊中見一般、于無疑處生疑問”[11].

（1）教學(xué)生自己備課時(shí)精讀教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）類問題.一是提出“為什么”型價(jià)值判斷、目的或追問類問題，如：為什么要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理？為什么設(shè)置某情境？為什么提出某問題？為什么安排某例題？（對對數(shù)函數(shù)）為什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本質(zhì)或事實(shí)的問題，如前文中提出的問題：“確定”的含義是什么？等量關(guān)系的形式是什么？三是提出“怎么辦”型方法類問題，如：怎么求/證……？還可以怎么求/證……？

（2）變陳述句為疑問句，如前文中的“核心問題1”“核心問題2”的提出.陳述句表達(dá)的是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果，而疑問句則指向數(shù)學(xué)思維的過程和數(shù)學(xué)思維本身，將表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)（命題、定理、規(guī)則等）的陳述句按句法結(jié)構(gòu)分解為主、謂、賓、定、壯、補(bǔ)，很容易提出為什么、是什么、怎么辦型問題.

（3）運(yùn)用歸納、類比、聯(lián)想、一般化、特殊化等思維方法提出問題.如改變（增加或減少、替代等）條件，（用命題間的關(guān)系）交換條件和結(jié)論、否定條件與結(jié)論等.

（4）遺憾（缺陷或不美）、問題解決回顧與反思、直觀想象等是發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要途經(jīng).比如：通過觀察探索階段發(fā)現(xiàn)的asin A=bsin B=c這個(gè)等量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“等量關(guān)系只包含了三角形六個(gè)元素中的五個(gè)元素，感覺不美”的問題，進(jìn)而提出“等量關(guān)系是否可以包含三角形的六個(gè)元素？”的問題；通過回顧初中全等三角形的判定方法的得出過程，發(fā)現(xiàn)“不經(jīng)證明而得出結(jié)論”的問題，進(jìn)而提出“為什么兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等，兩個(gè)三角形就全等”的問題；借助幾何直觀，通過作圖發(fā)現(xiàn)“滿足條件的三角形不存在”的問題，進(jìn)而提出“為什么滿足條件的三角形不存在”的問題[12].

除此之外，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生提出問題背后的情感因素，及時(shí)肯定與鼓勵(lì)學(xué)生對自己和對他人的數(shù)學(xué)思考的反思，感受能提出問題的成功感與成就感，讓學(xué)生“形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”.

3.4培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力

分析問題，即選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言（文字語言、符號(hào)語言、圖形語言）表征問題（已知條件和待求/證），并用數(shù)學(xué)的思維探求問題解決思路的思維活動(dòng).對數(shù)學(xué)問題的分析，通常有兩種方式.一是從問題的條件出發(fā)，“由……知……”或“因?yàn)椤浴忠驗(yàn)椤浴钡摹坝梢驅(qū)Ч钡摹熬酆稀彼季S方式；二是從待求/證的結(jié)果出發(fā)，“欲求/證……因?yàn)椤恍枨?證……”的“由果索因”的“尋因”思維方式.分析問題就是要弄清楚問題的條件（包括隱含條件）是什么，需要求或證的（隱藏）結(jié)論是什么，找到條件和結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系.

解決問題，即是用數(shù)學(xué)語言清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)推理和論證，呈現(xiàn)用數(shù)學(xué)思想方法完成從已知到待求或待證結(jié)論的完整過程.這一環(huán)節(jié)應(yīng)主要由學(xué)生完成，老師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問題的“不尋常之處”（如好與不足之處），給予及時(shí)的鼓勵(lì)或指正，并呈現(xiàn)規(guī)范的問題解決過程.

4結(jié)束語

教學(xué)實(shí)踐表明：以“四能”為抓手是促進(jìn)核心素養(yǎng)落地的有效途徑[13].聚焦“四能”培養(yǎng)的教學(xué)，應(yīng)“圍繞真正的數(shù)學(xué)問題，開展有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生在獨(dú)立思考的過程中形成數(shù)學(xué)的思維方式” [14]，這即是要求教師要形成以“四基”“四能”為載體發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的育人能力：①課前精心設(shè)計(jì)情境，充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能提出的問題，確定引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的核心問題和幫助學(xué)生解決核心問題的輔助問題，弄清楚問題間的關(guān)系和破題之法，并預(yù)判學(xué)生解決問題的方法和可能的困難，做到心中有數(shù)；②課中營造學(xué)生敢于提出問題、交流和表達(dá)問題、分享分析問題和解決問題的思路和過程的“場”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的“問題解決”（不僅僅指數(shù)學(xué)建模）的過程，積累“做數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗(yàn)；③課后（結(jié)課）要引導(dǎo)學(xué)生回顧問題解決的過程，發(fā)現(xiàn)和提出新的問題，實(shí)現(xiàn)“學(xué)生提問、以問引學(xué)”.

參考文獻(xiàn)

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［5］尚亞明，熊斌.數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究述評(píng)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（05）：66-71.

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［10］徐章韜.如何提高提出“問題—命題”的能力［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（07）：23-26.

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［12］李寶.錯(cuò)題正解 小題大做——一道面試題的教育教學(xué)價(jià)值［J］.教育科學(xué)論壇，2022（04）：53-55.

［13］張勃，伍春蘭.基于“四能”的學(xué)習(xí)內(nèi)容開發(fā)與實(shí)踐——以“三角形分割為兩個(gè)等腰三角形”的探究為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（08）：48-51.

［14］章建躍.研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（04）：1-10.

作者簡介李寶（1975—），男，四川達(dá)州人，教育碩士，講師；四川省師范生教學(xué)能力大賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師（2018年至2023年，指導(dǎo)學(xué)生2次榮獲一等獎(jiǎng)，3次獲得二等獎(jiǎng)）;主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展和數(shù)學(xué)教育；發(fā)表文章10余篇.

鮑建生（1960—），男，浙江蘭溪人，博士，教授，博士生導(dǎo)師；主要研究方向?yàn)檎n程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）；在中外期刊上發(fā)表代表性論文近40篇，出版《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程》《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引（二）》等代表性著作8部，參與“國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的研制與起草工作.