2024年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅱ卷第19題賞析

【摘要】試題以二次曲線中的帕斯卡定理特殊情形為背景，打破固化試題命制模式，創(chuàng)新試題情境生成過程，將數(shù)列與解析幾何整合在一起，設(shè)置難易梯度合理的三個問題，能有效考查學(xué)生的思維過程與創(chuàng)新能力，為課堂教學(xué)如何關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成指明了方向.

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列；雙曲線；帕斯卡定理；變式推廣

1試題分析

2024年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅱ卷已落下帷幕，但整卷所展現(xiàn)的新的變化特征給人留下了深刻的印象.依據(jù)高考評價體系，持續(xù)深化考試內(nèi)容改革，創(chuàng)新問題情境生成過程，調(diào)減題量為學(xué)生預(yù)留充足的思考時間，讓學(xué)生更專注、更深入地思考；考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重創(chuàng)新，突出考查考生的思維過程與創(chuàng)新能力，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).針對這些命題啟示與教考導(dǎo)向，僅以試卷第19題為例進行解讀.

試題簡潔凝練，給人耳目一新之感，寥寥數(shù)語，便設(shè)置了全新的問題情境生成過程：過雙曲線上的點作斜率為定值的直線與雙曲線交于另一點，再利用雙曲線的對稱性幾何性質(zhì)作交點關(guān)于坐標軸的對稱點，這樣的操作不斷進行下去，便得到關(guān)于橫坐標和縱坐標的兩個數(shù)列；然后又分層設(shè)問，層層推進，環(huán)環(huán)相扣，設(shè)計三個小問為不同水平層次的學(xué)生提供了充分展現(xiàn)才華的空間，也向?qū)W生傳遞出掌握“三基”的重要性.第一小問較為基礎(chǔ)，但考查的問題卻很典型，直線與雙曲線相交求交點問題，強調(diào)借助坐標和方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般方法，為后續(xù)問題討論奠定堅實基礎(chǔ)；第二小問將雙曲線與雙遞推數(shù)列結(jié)合在一起，創(chuàng)新設(shè)計了等比數(shù)列的判定等設(shè)問方式，突出典型數(shù)列性質(zhì)的研究，創(chuàng)新力度為近幾年新高，但解題方法卻很基礎(chǔ)，既可聯(lián)立直線與曲線的方程，又可以列出點的坐標所滿足的等量關(guān)系，然后再代點到方程并相減，進而得出結(jié)論；第三小問證明面積相等時，可以直接計算面積，也可以將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條直線平行.試題充分體現(xiàn)了“多想少算”的設(shè)計理念，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)充分重視思維能力、探究能力和解決問題能力的培養(yǎng).

今年新課標Ⅱ卷這道試題打破了固化的命題模式，有助于反對死記硬背和機械刷題等現(xiàn)象.同時，試題始終圍繞圓錐曲線與數(shù)列等知識模塊的教學(xué)要求進行設(shè)計，既適當(dāng)保留了原有的命題特點，又進行了新的嘗試和突破，能夠反映當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢和重點，還為今后數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的啟示.

下面向同仁分享我們對試題的感悟，不當(dāng)之處懇請指正.

2解法探究

3關(guān)聯(lián)背景

4變式推廣

5教學(xué)建議

（1）注重通性通法教學(xué)，突破數(shù)學(xué)運算障礙.

解析幾何作為新教材的主干知識，蘊涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的重要素材，也是新高考數(shù)學(xué)壓軸題的重要載體，教師在教學(xué)過程中應(yīng)引起高度重視.縱觀近幾年新高考數(shù)學(xué)試卷的解析幾何壓軸試題，減少了技巧性問題，強化了通性通法的考查，如本題運用的聯(lián)立方程、設(shè)點設(shè)線等方法.教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生思考不同方法的差異與本質(zhì)，組織有效的交流討論，給學(xué)生充分展示思維過程的機會，探索解決數(shù)學(xué)運算卡點的思維途徑，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，突破數(shù)學(xué)運算障礙.

（2）關(guān)注知識模塊之間聯(lián)系，培養(yǎng)創(chuàng)新思維綜合能力.

今年新課標這道試題的命制打破了固有的命題模式，創(chuàng)新性地將不同知識模塊整合在一起，既降低了機械刷題的效益，又給不同層次的考生提供了發(fā)揮能力的空間，更有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).教師在平時教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生抓住知識內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，注重發(fā)掘代數(shù)運算下的幾何直觀，靈活運用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，提升學(xué)生創(chuàng)新思維綜合能力.

參考文獻

[1]唐宜鐘，楚豪. 帕斯卡定理背景下圓錐曲線問題的命制與解答［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（03）：58-61.

［2］羅碎海，羅家平，麻紅雷. 帕斯卡定理的初等證明與高考題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（07）：17-20.

作者簡介張鵠（1978—），男，中學(xué)高級教師，曾獲省市優(yōu)質(zhì)課一等獎，被市教科院聘為高三數(shù)學(xué)備考中心組成員參與調(diào)考命題；發(fā)表論文30余篇.

龔大暉（1970—），男，正高級教師，武漢市第二中學(xué)副校長，武漢市江岸區(qū)中學(xué)教研室主任；曾獲全國數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課特等獎，被人民教育出版社聘為高中課標教材教師用書編者；主持多項省、市教育課題.