RMI原則的理論探析與教學(xué)應(yīng)用思考

【摘要】RMI原則是關(guān)系（Relationship）、映射（Mapping）、反演（Inversion）的簡(jiǎn)稱.聚焦RMI原則的內(nèi)涵，思考運(yùn)用RMI原則的關(guān)鍵：選擇合適的映射（Mapping），并尋找新問題域（S*，X*），將（S，X）轉(zhuǎn)移到（S*，X*），這一思維過程蘊(yùn)含“矛盾轉(zhuǎn)移法”思維特點(diǎn).從方法論的視角去思考，RMI原則將化歸方法運(yùn)用到理性的高度.通過理解原象關(guān)系結(jié)構(gòu)，尋找映射及反演的過程，體現(xiàn)“以退為進(jìn)”的思維特點(diǎn)，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維多向性和逆向思維能力.基于對(duì)RMI原則的內(nèi)涵和思維特點(diǎn)的剖析，以此繼續(xù)思考RMI原則在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以期為數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)滲透提供借鑒和參考.

【關(guān)鍵詞】RMI原則；矛盾轉(zhuǎn)移法；學(xué)習(xí)進(jìn)階；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)背后的過程性知識(shí)，關(guān)注知識(shí)的內(nèi)在邏輯發(fā)展.同時(shí)，教學(xué)需要聚焦學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和運(yùn)用，需要借助知識(shí)載體幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)滲透，有助于形塑學(xué)生學(xué)科思維.所以，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，深入剖析數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生理性思維的發(fā)展.本研究聚焦RMI原則的內(nèi)涵及思維特點(diǎn)進(jìn)行RMI原則的理論探析，基于此思考RMI原則在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

1RMI原則的內(nèi)涵

RMI原則的應(yīng)用研究具有悠久歷史，也有廣泛的應(yīng)用范圍.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱2017課標(biāo)）中強(qiáng)調(diào)“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)、突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯和思想方法”的基本理念[1].而RMI原則溝通數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)問題解決時(shí)，可以起到很重要的作用.因此，剖析RMI原則的內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值，以此更好地思考教學(xué)滲透，具有一定的研究?jī)r(jià)值.

RMI原則是什么？RMI原則是關(guān)系（Relationship）、映射（Mapping）、反演（Inversion）的簡(jiǎn)稱，意指根據(jù)研究問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，采取“映射”和“反演”的思路解決問題的原則和策略.徐利治先生在其《數(shù)學(xué)方法論選講》中對(duì)RMI原則的基本內(nèi)容進(jìn)行了分析，并對(duì)使用RMI原則給出了明確的框架步驟，具體如圖1所示[2].簡(jiǎn)單來說就是，對(duì)于給定某一問題域S（關(guān)系）中的一個(gè)問題X，若在S中解決X比較困難，通過轉(zhuǎn)移/映射把考慮的問題引向另一個(gè)問題域S*中，在S*中能順利解決X*，然后通過復(fù)原/反演解決問題X，這樣的解決問題的過程便稱為RMI原則.

RMI原則是變更問題方法的深化和發(fā)展，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)RMI原則的縮影，其中的關(guān)系（Relationship）體現(xiàn)了一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，即包含一定數(shù)學(xué)關(guān)系對(duì)象的集合，映射（Mapping）不僅包括一般數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)與變換，也包括概念映射、化歸、轉(zhuǎn)移等更一般的范疇.而反演（Inversion）不僅包含“逆映射”，還包括復(fù)原、翻譯、解釋等，所以，RMI原則成為數(shù)學(xué)研究中的分析處理問題的一般思想原則.RMI原則包含等價(jià)法、反證法、同構(gòu)法等.在運(yùn)用RMI原則研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)對(duì)熟悉的關(guān)系結(jié)構(gòu)上的某一問題或某一形式，通過對(duì)偶、對(duì)稱、相似、同構(gòu)、放縮等方式，發(fā)現(xiàn)新問題或形成新的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；或者當(dāng)在新的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中遇到難以求解的某一問題時(shí)，會(huì)運(yùn)用RMI原則映射到熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中加以分析和解決，然后再反演求出原問題[3].當(dāng)然，運(yùn)用RMI原則時(shí)需要思考，如何尋找轉(zhuǎn)移映射，并構(gòu)造新的關(guān)系結(jié)構(gòu)（問題域），并運(yùn)用新關(guān)系結(jié)構(gòu)中的知識(shí)或策略去解決問題，然后還要思考如何反演回原來的系統(tǒng)中得到結(jié)論.

2RMI原則的思維特點(diǎn)

基于對(duì)RMI原則的內(nèi)涵剖析，繼續(xù)思考其思維特點(diǎn).

2.1矛盾轉(zhuǎn)移法

RMI原則的關(guān)鍵是尋找問題域S*，將（S，X）轉(zhuǎn)移到（S*，X*），即選擇合適的映射（Mapping），這一思維過程蘊(yùn)含“矛盾轉(zhuǎn)移法”思維特點(diǎn).“矛盾轉(zhuǎn)移法”就是把難以解決的問題或矛盾設(shè)法轉(zhuǎn)化為易于解決的問題.在RMI原則下，將問題系統(tǒng)S映射/轉(zhuǎn)移到問題系統(tǒng)S*，使得尋找目標(biāo)原象X的困難問題轉(zhuǎn)化為尋找映象X*（較熟悉的問題），此處映射（Mapping）就是實(shí)現(xiàn)矛盾轉(zhuǎn)化的重要工具.

從哲學(xué)層面來思考，矛盾轉(zhuǎn)移法中體現(xiàn)通過映射達(dá)成對(duì)原結(jié)構(gòu)的一次否定，待新結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中問題解決后，再反演回原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這便是第二次否定，所以，RMI原則的矛盾轉(zhuǎn)移法體現(xiàn)了否定之否定的辯證思想[4].縱觀解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，總會(huì)運(yùn)用各種策略轉(zhuǎn)移矛盾.比如，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在講到空間線面角、空間線線角問題時(shí)，直接用幾何法很難解決，此時(shí)教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移矛盾，即建立空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，運(yùn)用向量運(yùn)算及向量夾角的相關(guān)知識(shí)得出線線角或線面角（具體如圖2）.這一過程其實(shí)便蘊(yùn)含矛盾轉(zhuǎn)移法，體現(xiàn)RMI原則的滲透運(yùn)用.當(dāng)然，教學(xué)中，教師需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)計(jì)適恰的問題情境引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突（原有的幾何法難以解決此問題），引導(dǎo)學(xué)生提出問題（怎么辦？運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的其他知識(shí)可以解決嗎？），繼而自然過渡到建系/轉(zhuǎn)移成思考“向量夾角問題”，得出向量夾角結(jié)論，然后幾何化為空間線面角、線線角的結(jié)論.這一過程不僅引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且?guī)椭鷮W(xué)生形塑思維結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生解決問題的策略和能力.

2.2高度的化歸與抽象

RMI原則的運(yùn)用過程使得化歸方法達(dá)到了更高的抽象程度，從方法論的視角去思考，RMI原則的使用將化歸方法達(dá)到理性的高度.化歸是在研究和解決問題時(shí)通過變換使問題轉(zhuǎn)化，未知轉(zhuǎn)化為已知、抽象轉(zhuǎn)化為直觀、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單等，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用發(fā)展變化的視角、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題，體現(xiàn)辯證唯物主義的觀點(diǎn).化歸可以沒有固定的等量關(guān)系，有時(shí)只是某種抽象的解題策略.而RMI原則的運(yùn)用指向建立一種思維模式，可以為指導(dǎo)學(xué)生解決一類問題提供方向，其中蘊(yùn)含的化歸不僅僅是兩個(gè)具體問題間的轉(zhuǎn)化，而是兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)/問題域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的建構(gòu)，比如解析幾何實(shí)質(zhì)是整體上實(shí)現(xiàn)了由幾何向代數(shù)的轉(zhuǎn)化，這便蘊(yùn)含思維方法的理性上升[5].

2.3以退為進(jìn)

運(yùn)用RMI原則解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生需要基于情境抽象出數(shù)學(xué)問題，梳理問題中的題設(shè)和結(jié)論的關(guān)系.因問題求解的過程較為困難，所以采取“以退為進(jìn)（拐個(gè)彎）”的方法.認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，“問題解決”是將現(xiàn)有信息與頭腦里儲(chǔ)存的信息結(jié)合起來解決問題的行為.美國(guó)學(xué)者紐厄爾和西蒙將問題分為初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和問題處理三個(gè)階段[6].問題處理的探索過程是較為困難的，學(xué)生因其知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的局限性，心中會(huì)“謹(jǐn)記”老師的“諄諄教誨”——“多想少算”，但什么時(shí)候動(dòng)筆是最佳時(shí)刻，什么方法是較優(yōu)的，什么情況下需要另尋他法……這些都需要學(xué)生不斷激活自己的惰性知識(shí)，基于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷優(yōu)化原有的策略.教學(xué)中，教師需要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善.這一過程能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升，通過理解原象關(guān)系結(jié)構(gòu)，尋找映射及反演的過程，培養(yǎng)學(xué)生的多向思維和逆向思維能力.

3RMI原則在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用思考

2017課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)中，要突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯及數(shù)學(xué)思想方法，以此發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生形成理性思維、科學(xué)精神和智力發(fā)展[1].近幾年高考試題中頻繁出現(xiàn)運(yùn)用RMI原則解決問題的情形，基于“教—學(xué)—評(píng)”的一致性，研究基于RMI原則的內(nèi)涵及思維特點(diǎn)的探析，系統(tǒng)思考RMI原則的教學(xué)滲透，以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒和參考.

3.1在不等式中的應(yīng)用

例1不等式8（m+1）3+10m+1－m3－5m>0的解集是.

教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析這類不等式的特點(diǎn)，直接解不等式不是很方便，未知數(shù)的最高次數(shù)為3，并且還是分式不等式，常規(guī)解不等式的策略不能奏效.于是運(yùn)用“矛盾轉(zhuǎn)移法”思考：是否可以嘗試建構(gòu)一種相似結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)單調(diào)性解決？

于是將不等式變形2m+13+5×2m+1>m3+5m，由此構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+5x，易知f（x）在R上單調(diào)增，故得2m+1>m，于是問題化歸為簡(jiǎn)單的分式不等式求解.這個(gè)過程中，變形及構(gòu)造函數(shù)f（x）很關(guān)鍵.過程中，滲透運(yùn)用了RMI原則，利用函數(shù)（映射）f（x）=x3+5x將矛盾（難解的不等式）轉(zhuǎn)移到函數(shù)范疇類.利用函數(shù)單調(diào)性思考，化難為易，再還原求出原不等式的解集.在解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生“多想少算”，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性及分式不等式的基本知識(shí)，系統(tǒng)思考解決問題的策略.這類型的問題解決有助于引導(dǎo)學(xué)生形成解復(fù)雜不等式的思維策略，優(yōu)化學(xué)生思維結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展.

3.2在指對(duì)函數(shù)中的應(yīng)用

2020年山東卷第21題考查學(xué)生知識(shí)及解題策略的靈活運(yùn)用，其中變形構(gòu)造不等式兩邊相同的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵.構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+lnx，將矛盾轉(zhuǎn)移到“利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題”，這一過程蘊(yùn)含函數(shù)與方程思想的深度運(yùn)用，也是體現(xiàn)高考考查學(xué)生思維的深度和廣度.基于“教—學(xué)—評(píng)”的一致性，平時(shí)教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生不能簡(jiǎn)單機(jī)械地重復(fù)訓(xùn)練，而是需要思考一類題型的特點(diǎn)和變中不變的思維結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)教學(xué)若循著學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)置矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生自主尋求轉(zhuǎn)移矛盾的策略，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，方能培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

3.3在數(shù)列中的應(yīng)用

本題為2023年全國(guó)甲卷理科第17題節(jié)選，這是一道數(shù)列題.數(shù)列求通項(xiàng)問題，一般需要構(gòu)造遞推關(guān)系式（*）.因?yàn)榘葱蚪Y(jié)構(gòu)（n－2）an=（n－1）an－1等式兩邊式子相似，于是利用迭代構(gòu)造（**），以此作為矛盾轉(zhuǎn)移的突破口，其關(guān)鍵策略便是構(gòu)造按序結(jié)構(gòu).這樣的處理方式，在數(shù)列求通項(xiàng)中經(jīng)常出現(xiàn)，但得到按序結(jié)構(gòu)（遞推關(guān)系式）的方法可能不同，需要引導(dǎo)學(xué)生梳理結(jié)構(gòu)關(guān)系式的可能樣式，形成對(duì)一類題型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和化歸與轉(zhuǎn)化能力.

以上選取部分問題，分別思考了RMI原則在不等式、指對(duì)函數(shù)及數(shù)列中的運(yùn)用，以此彰顯RMI原則在解決數(shù)學(xué)問題中的重要作用.當(dāng)然除此之外，在空間幾何中，比如運(yùn)用向量法思考空間線面角、空間線線角、空間距離中，也運(yùn)用了RMI原則.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要系統(tǒng)整合RMI原則的運(yùn)用，以不同知識(shí)主題為載體，來體現(xiàn)RMI原則的運(yùn)用策略，形成一類解決問題的策略，以此引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)、優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將新的思維方法和解題策略，同化到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中.RMI原則正是需要基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)進(jìn)階，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)知識(shí)和解題模式構(gòu)成有機(jī)整體，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，為學(xué)生提供動(dòng)態(tài)思維模式.這樣的動(dòng)態(tài)思維模式指向激活學(xué)生的惰性知識(shí)，以促進(jìn)學(xué)生解決問題能力、思維能力及創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，達(dá)到學(xué)科育人的效果.

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作者簡(jiǎn)介李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，南京大學(xué)教育研究院訪問學(xué)者，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.