中職數(shù)學抽象素養(yǎng)：內(nèi)涵、培育與策略

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學；數(shù)學抽象；核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)是學科育人價值的體現(xiàn)，是學生通過學習逐步形成的正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。2020年教育部發(fā)布的《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》明確提出六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)，即數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模。數(shù)學抽象是數(shù)學發(fā)展的基本思想，是數(shù)學核心素養(yǎng)之一。在中職數(shù)學教學中，很多教師對數(shù)學抽象的認識不到位，只關(guān)注教學結(jié)果，忽視完整的抽象過程，導致學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)不能得到很好的發(fā)展。分析中職數(shù)學抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵、表現(xiàn)及培養(yǎng)價值，探究以培育學生數(shù)學抽象素養(yǎng)為目標的教學策略，提高學生的思維能力，提升數(shù)學課程的品質(zhì)，是中職數(shù)學教學要解決的重要問題。

一、中職數(shù)學抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵與主要表現(xiàn)

（一）數(shù)學抽象的概念及其內(nèi)涵

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，提出數(shù)學研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念和概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征。

數(shù)學抽象通?？煞譃閮蓚€階段。第一階段，通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學的基本概念。第二階段，合理解釋第一階段得到的數(shù)學概念以及概念之間的關(guān)系，并使之符號化、形式化和公理化。

（二）數(shù)學抽象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)

1．獲得數(shù)學概念和規(guī)則

數(shù)學概念和規(guī)則的形成通常須經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程。一種是從外部事物中抽象出數(shù)學的概念。如從勻速直線運動中，抽象出正比例函數(shù)的概念。另一種是在數(shù)學內(nèi)部對已有概念進一步抽象的結(jié)果。如從滿足共同屬性“對其中一個變量x的每一個值，都有唯一的y與之對應”的兩個變量關(guān)系中，進一步抽象出函數(shù)的概念。

2．提出數(shù)學命題與模型

數(shù)學命題與模型不僅是對數(shù)學事實的陳述，而且具有一定的工具性，體現(xiàn)數(shù)學在生產(chǎn)生活中的廣泛應用。比如，探索三角函數(shù)誘導公式的單位圓模型，還可用于理解三角函數(shù)的周期性；細菌繁殖速度、銀行復利計息等都與指數(shù)函數(shù)模型有關(guān)。對數(shù)學命題與模型的抽象，不僅要關(guān)注抽象的結(jié)果，更要關(guān)注抽象的過程，其中蘊含的數(shù)學思想方法對解決問題具有普遍的指導意義。

3．形成數(shù)學方法與思想

數(shù)學思想是對數(shù)學知識、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認識，具有概括性和普遍性的特點，是數(shù)學方法的靈魂。數(shù)學思想方法的形成源于數(shù)學概念、命題、模型的抽象過程，也蘊含在數(shù)學問題的解決過程之中。例如，函數(shù)單調(diào)性的概念形成過程中體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，用二分法求方程近似解的過程中蘊藏著函數(shù)思想與逼近思想等。數(shù)學思想方法不僅是數(shù)學抽象的產(chǎn)物，還有助于學生更好地理解數(shù)學抽象。

4．認識數(shù)學結(jié)構(gòu)和體系

對數(shù)學結(jié)構(gòu)和體系的抽象是數(shù)學抽象的更高層次水平，它主要表現(xiàn)為：在高觀點下梳理已學知識、系統(tǒng)描述相關(guān)知識體系、用核心概念串聯(lián)數(shù)學知識等。通過對數(shù)學結(jié)構(gòu)和體系的抽象，使學生整體把握數(shù)學知識發(fā)生和發(fā)展的脈絡，認識不同領(lǐng)域數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學理論體系的完整性和統(tǒng)一性。

二、中職數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育價值

（一）數(shù)學抽象素養(yǎng)的學科價值

數(shù)學抽象是理性思維的基礎，是數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿于數(shù)學發(fā)展的全過程。它高度的概括性、準確性、模型化以及層次性，使得數(shù)學成為高精度、廣應用、強結(jié)構(gòu)的學科。在曾經(jīng)的海灣戰(zhàn)爭中，美國利用Navier-Stokes方程和有熱損失能量方程作為計算模型，估算點燃所有油井的后果。在當今社會，各類疾病模型也為傳染病的預防和控制做出重要的貢獻。由此可見，數(shù)學抽象獨特的價值不僅為歷史所證實，也在現(xiàn)代社會發(fā)展中持續(xù)發(fā)揮著作用。

（二）數(shù)學抽象素養(yǎng)的育人價值

首先，學生從實際背景中抽象出數(shù)學概念、命題與模型等，有助于積累具體的抽象活動經(jīng)驗。其次，數(shù)學抽象有助于學生養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，把握數(shù)學的本質(zhì)。例如，利用三角函數(shù)能夠合理地描述鐘擺、潮汐等周期性現(xiàn)象。最后，數(shù)學抽象的思維方式有助于發(fā)展解決問題的能力。比如，面對道路交通中的急剎車問題，抽象出停車距離模型，就行車安全提出建議。因此，培育學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，能發(fā)展抽象概括能力，提升理性思維水平，形成適應社會發(fā)展和個人成長的必備品格和關(guān)鍵能力。

三、中職數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育策略

基于前面的分析框架，以江蘇教育出版社出版的中職教材《數(shù)學》內(nèi)容為例，具體闡述在教學中培育學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)的四個策略。

（一）從概念教學中經(jīng)歷數(shù)學抽象的思維過程

1．創(chuàng)設問題情境，注重過程引導，促進概念形成

數(shù)學家弗賴登塔爾認為，數(shù)學教育不能采用向?qū)W生硬性嵌入抽象概念的方式進行，良好的情境是數(shù)學概念教學的前提?；趯W生的認知特點，創(chuàng)設具體的教學情境，激發(fā)學生對情境背后知識的探索欲，以問題引導學生參與抽象過程，促進數(shù)學概念的生成。

以導數(shù)概念教學為例，導數(shù)概念是對變速直線運動的瞬時速度高度抽象的結(jié)果。首先，教師以奧運會十米跳臺決賽視頻為導入，引發(fā)學生對物體運動快慢的討論。然后，教師提出問題：“如何求運動員在t時刻的瞬時速度？”“如何求曲線上某一點處的切線斜率？”“上述兩個例證的共同屬性是什么？”“如何描述導數(shù)的概念并用符號表示？”以問題串引導學生從物理、幾何背景中分離出數(shù)學屬性，概括兩個不同例證的共同屬性——函數(shù)在某一點處的瞬時變化率，從而抽象出導數(shù)的形式化定義。

通過情境的創(chuàng)設、問題的驅(qū)動，學生參與到辨別、分化、類化、概括、符號化等數(shù)學活動中，在多樣化的活動中積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗，為數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展打下堅實的基礎。

2．利用圖形直觀，學會逐級抽象，提煉數(shù)學本質(zhì)

從圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念是數(shù)學抽象的主要內(nèi)容之一?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學研究的基本對象，利用“形”的直觀，理解“數(shù)”的抽象，有助于快速提煉數(shù)學本質(zhì)，提升抽象概括能力。

在函數(shù)單調(diào)性的教學中，教師利用直觀圖形設置探究活動，讓學生經(jīng)歷完整的抽象過程。其一，觀察常見初等函數(shù)圖像，感受函數(shù)圖像的變化規(guī)律，從中分化出函數(shù)遞增、遞減的屬性；其二，以函數(shù)f（x）=x和f（x）=x-為例，描述函數(shù)圖像的增減性，抽象出函數(shù)的基本性質(zhì)——單調(diào)性；其三，用文字語言概括函數(shù)圖像“上升”“下降”的特性；其四，借助函數(shù)f（x）=x2的解析式，用符號準確表述‘f（x）隨著x的增大而增大”“f（x）隨著x的增大而減小”，得到增、減函數(shù)的形式化定義；其五，通過上述抽象，系統(tǒng)描述函數(shù)單調(diào)性的一般化定義。

探究活動的環(huán)節(jié)設置，讓學生參與數(shù)學概念的再發(fā)現(xiàn)過程，感受數(shù)學抽象的層序性。從直觀圖形感知，到自然語言表述，再到形式化表達，逐級抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，從不同層面培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（二）借助數(shù)學實驗拓寬數(shù)學抽象的形成途徑

弗賴登塔爾曾提出，在傳統(tǒng)的課唐里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展，它要求有個實驗室，學生可以在那兒開展個別活動或是小組活動。數(shù)學實驗是為了某種數(shù)學理論，檢驗某個數(shù)學猜想，解決某類數(shù)學問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學思維活動的參與下，在特定的實驗環(huán)境下進行的探索和研究活動。數(shù)學實驗是數(shù)學抽象素養(yǎng)落地的重要載體。教師在課堂中合理地植入一些實驗性活動，將抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)蘊含在具體化的活動中，通過學生動手、動腦的操作，體會數(shù)學創(chuàng)造的樂趣，加深對知識的理解。

例如，對數(shù)運算性質(zhì)教學，傳統(tǒng)教材中僅僅體現(xiàn)數(shù)學的結(jié)論，強調(diào)運算性質(zhì)的證明，忽視了運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程。教師采用數(shù)學實驗的方法，讓學生經(jīng)歷性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的全過程，還原數(shù)學創(chuàng)造的本來面目。

實驗：自選M，N的數(shù)值，用計算器計算其余各列的值，將相關(guān)數(shù)據(jù)填入下面的數(shù)學實驗表。觀察計算結(jié)果，提出猜想并證明。

實驗中，學生計算數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學語言呈現(xiàn)結(jié)論，完成了一次由“數(shù)量關(guān)系”到“運算公式”的抽象。教學中，教師引導學生對所得結(jié)論進行驗證，得出以10為底的對數(shù)運算性質(zhì)。但以10為底的對數(shù)運算性質(zhì)是狹義的，以任意非1正數(shù)為底的對數(shù)運算性質(zhì)才具有最大范圍的適用性。這需要教師引導學生進行再創(chuàng)造：“換個底數(shù)，結(jié)論還成立嗎？”學生通過進一步探究，得到對數(shù)運算的一般化性質(zhì)，實現(xiàn)從特殊到一般的思維發(fā)展。在精心設計的實驗教學中，學生感受到數(shù)學抽象的逐級遞進，體會數(shù)學抽象的高度概括性和結(jié)論一般性。

（三）在反思小結(jié)階段培養(yǎng)抽象性思考問題的方式

1．掌握概念的多種形式，認識內(nèi)在結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性

在概念、命題等教學中，教師應時常帶領(lǐng)學生反思，明辨它們的各種形式，發(fā)掘其內(nèi)在關(guān)系，提升抽象思維能力。例如，在等差數(shù)列定義的教學中，掌握概念的文字形式與符號形式，有助于把握概念的本質(zhì)和形式化特征；在等差數(shù)列通項公式的教學中，掌握概念的原始形式與各種等效形式，有助于認識知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；在等差數(shù)列的復習課中，掌握概念的肯定形式與否定形式，有助于更深層次地理解知識，培育批判性思維品質(zhì)。對等差數(shù)列和等比數(shù)列，教師要引導學生上升到形式和結(jié)構(gòu)方面去思考，從抽象角度看待等差、等比數(shù)列在結(jié)構(gòu)上的一致性：兩者的運算是相互對應的，等差數(shù)列中的“加、減”運算分別對應等比數(shù)列中的“乘、除”運算。在此基礎上，教師進一步提出問題：“等差數(shù)列有前n項和的結(jié)論，在等比數(shù)列中是否有前n項積的結(jié)論？”由此將學生的抽象思維水平推向更高層次。

2．立足“高觀點”視角，培養(yǎng)一般性思考問題的習慣

知識小結(jié)是教師完成某項教學任務后的收尾階段，是課堂教學的一個重要環(huán)節(jié)，有助于學生厘清知識結(jié)構(gòu)、掌握內(nèi)在聯(lián)系、完善知識體系。在小結(jié)階段，教師應充分發(fā)揮主導作用，重組學生腦海中的知識碎片，教會學生從分散中看到整體、從表象中看到實質(zhì)。如在研究了拋物線后，由拋物線的定義啟發(fā)學生聯(lián)想“橢圓、雙曲線是否也可以用這種形式進行定義”，因此從更一般角度得出圓錐曲線的統(tǒng)一性定義。又如，在學習了棱柱、棱錐、棱臺后，帶領(lǐng)學生用統(tǒng)一觀點看待三者之間的關(guān)系等。通過教師有意識的引導，學生站在更高層級看待知識之間的聯(lián)系，潛移默化地培養(yǎng)一般性思考問題的習慣。

（四）通過研究性作業(yè)提升在綜合情境中運用數(shù)學抽象的能力

數(shù)學家波利亞認為，在授予學生一定數(shù)量知識的同時，還應教會他們一定的解決問題的能力。不僅解決常規(guī)問題，還包括那些要求有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神的問題。將研究性問題融入數(shù)學作業(yè)，讓學生體驗用數(shù)學建模方法解決實際問題的過程，體會所學數(shù)學知識的應用價值，培養(yǎng)學生用數(shù)學知識抽象、概括、解決問題的意識。

例如在結(jié)束函數(shù)一章的教學后，教師布置研究性作業(yè)“怎樣燒開水最省燃氣”。要求學生以小組為單位，探究問題并提出解決方案。在完成研究性作業(yè)的過程中，學生需要參與問題轉(zhuǎn)化、收集數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)擬合、建立模型、檢驗結(jié)論等探究活動。與被抽象和加工后的練習題相比，研究性作業(yè)呈現(xiàn)的是來源于生活實際的數(shù)學問題，學生在實際問題的探究中，尋找數(shù)量之間的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學模型的抽象歸納，體會完整的從具體到抽象的思維過程。通過對探究過程的回顧、整理、概括和提煉，將探究方法從特殊向一般性概括，體現(xiàn)數(shù)學抽象由淺人深的層次發(fā)展。在此過程中，學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模素養(yǎng)都得到顯著提升。

生活中的許多問題都可以抽象成數(shù)學問題，利用已學的知識來解決。比如，在學習數(shù)列之后，提出購房分期付款問題；在學習不等式后，要求學生利用均值不等式求最值等，這些都是研究性作業(yè)的來源，也是訓練學生在綜合情境中運用數(shù)學抽象的良好時機。

綜上所述，數(shù)學抽象需要經(jīng)歷一系列的探究過程，展開一定的數(shù)學思維，才能達到一定的抽象高度。在中職數(shù)學教學中，結(jié)合課程標準的要求和學生的實際學情，借助問題情境、圖形直觀等經(jīng)歷抽象的思維過程，從數(shù)學實驗中積累抽象活動的經(jīng)驗，在反思總結(jié)中養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，在綜合情境中培養(yǎng)運用數(shù)學抽象的能力，都是培育學生數(shù)學抽象的有效途徑。當然，數(shù)學抽象本質(zhì)上是一種素養(yǎng)，需要長期養(yǎng)成。教師應將培育學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)作為一項長期的教學目標，貫穿于數(shù)學教學的全過程，從課內(nèi)到課外，從教學到考試，都要涉及數(shù)學抽象素養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)容，逐步提升學生的抽象素養(yǎng)水平，為中職生的可持續(xù)發(fā)展提供素養(yǎng)保障。