常微分方程中的生物數(shù)學(xué)模型及其在教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要 常微分方程作為數(shù)學(xué)課程中的一門重要基礎(chǔ)課程，在提高學(xué)生綜合素質(zhì)方面具有舉足輕重的作用。文章基于以學(xué)生為中心的教學(xué)理念和金課“兩性一度”的建設(shè)要求，針對傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)中存在的問題，以兩種群Lotka-Volterra生態(tài)模型和人口預(yù)測模型為研究對象，探索了生物數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中的具體應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生更好地掌握該課程的基礎(chǔ)理論，激發(fā)學(xué)生對該課程的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，并培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

關(guān)鍵詞 常微分方程；教學(xué)研究；生物數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.18.030

Bio-Mathematical Models in Ordinary Differential Equations and

Their Application in Teaching

QIN Wenjie， WU Xingxiao， LI Huimin

（School of Mathematics & Computer Science of Yunnan Minzu University， Kunming， Yunnan 650504）

Abstract Ordinary differential equations， as an essential foundational course in mathematics， play a crucial role in enhancing students' overall qualities. This article， based on a student-centered teaching philosophy and the construction requirements of the "two genders， one degree" curriculum， addresses issues in traditional ordinary differential equations teaching. Focusing on two types of mathematical models-the Lotka-Volterra ecological model and a population prediction model - the study explores the specific applications of biological mathematical models in teaching. The aim is to help students better grasp the fundamental theories of the course， stimulate their interest in learning， improve learning efficiency， and cultivate their problem-solving abilities.

Keywords ordinary differential equations; teaching research; Bio-Mathematical Models

1 常微分方程的重要性

2018年，在新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會議上，教育部提出，對于現(xiàn)代大學(xué)生，應(yīng)有效地增加他們的課業(yè)負(fù)擔(dān)，將一些傳統(tǒng)的水課轉(zhuǎn)變?yōu)榻鹫n[1]。自從金課提出以來，各個部門一直在不斷推行并落實這一政策。教育部于2020年11月24日公布了被評為國家級一流本科課程的名單，其中包括了常微分方程這門非常重要的課程。

常微分方程是指只有一個自變量的微分方程。著名數(shù)學(xué)家塞蒙斯曾說過：“近三個世紀(jì)以來，微分方程不僅是分析學(xué)的核心，也是高等分析中大多數(shù)理論和思想的根源?！盵2]常微分方程是數(shù)學(xué)中與實際應(yīng)用直接相關(guān)的基礎(chǔ)課程，在許多學(xué)科領(lǐng)域中都有著極其重要的應(yīng)用。常微分方程源于生活，同時也應(yīng)用于生活。許多自然界規(guī)律的微觀表示就是微分方程，因此為了更好地將這些規(guī)律呈現(xiàn)在人們面前，并解決生活中的實際問題，我們需要深入學(xué)習(xí)常微分方程的理論知識，并分析不同函數(shù)所對應(yīng)的微分方程的相關(guān)性質(zhì)。

2 生物數(shù)學(xué)模型引入微分方程教學(xué)的必要性

交叉學(xué)科是指不同學(xué)科之間相互融合而形成的新興學(xué)科[3]。它不僅強(qiáng)調(diào)對單一領(lǐng)域的研究，還注重培養(yǎng)學(xué)生的跨領(lǐng)域思維和建立知識框架結(jié)構(gòu)的能力。國務(wù)院學(xué)位委員會和教育部于2021年1月正式將交叉學(xué)科設(shè)立為我國的第14個學(xué)科門類，并在同年12月發(fā)布的《交叉學(xué)科設(shè)置與管理辦法》中指出，交叉學(xué)科的設(shè)置必須堅持高起點和高標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)格把控質(zhì)量關(guān)口。另一方面，習(xí)近平總書記多次強(qiáng)調(diào)“要下大氣力組建交叉學(xué)科群”。發(fā)展交叉學(xué)科有助于實現(xiàn)不同學(xué)科之間的融合與創(chuàng)新，發(fā)揮各個學(xué)科潛在的優(yōu)勢，推動科技的發(fā)展。

生物數(shù)學(xué)是近年來興起的交叉學(xué)科，是一種利用數(shù)學(xué)知識和方法來分析解決自然界中復(fù)雜問題的學(xué)科[4]。至今，生物數(shù)學(xué)已經(jīng)逐漸完善，并在生物學(xué)、農(nóng)學(xué)、神經(jīng)學(xué)和醫(yī)學(xué)等各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。雖然涉及范圍較廣，但在應(yīng)對實際問題時，主要方法都是通過建立研究對象的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并對模型加以分析，得出具有參考價值的結(jié)論或策略。一個科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型能夠準(zhǔn)確反映問題的本質(zhì)，因此建立模型是至關(guān)重要的一步，這需要大量微分方程及其定性理論的相關(guān)知識，通過對模型的討論，最終將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程的問題。

針對特定的情況，將微分方程理論知識與生物數(shù)學(xué)模型結(jié)合，能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}具體化，便于我們直觀地分析問題。對于學(xué)生的理論學(xué)習(xí)，以及對問題中關(guān)鍵因素的探索都是有幫助的。

3 生物數(shù)學(xué)模型在常微分方程教學(xué)中的實際應(yīng)用

為了學(xué)生更好地掌握和應(yīng)用相關(guān)理論知識，教師可以在教學(xué)過程中引入適當(dāng)?shù)纳飻?shù)學(xué)模型。

3.1 在概念教學(xué)過程中引入生物數(shù)學(xué)模型

教師可以引入合適的生物數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生深入理解抽象的概念[5]。例如在講解常微分方程的奇點定理和駐定性理論時可以給學(xué)生講解文獻(xiàn)[6]中提到的兩種群的Lotka-Volterra模型：

（1）

其中和分別表示在時刻兩種群的數(shù)量；和分別表示兩種群的內(nèi)稟增長率；和分別表示兩種群內(nèi)部的作用系數(shù)；表示物種2對物種1的作用系數(shù)；表示物種1對物種2的作用系數(shù)。

由（1）式可以引出常微分方程組以及微分方程組駐定性的定義。例如，在（1）中的參數(shù)都是與無關(guān)的常數(shù)，所以是駐定的。同時可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)（1）式探究兩種群的Lotka-Volterra競爭、捕食、合作模型。

當(dāng)兩種群間是競爭關(guān)系時，每個種群除了受種內(nèi)制約因素的限制外，兩種群之間還彼此制約，所以、、和前面的符號都是負(fù)的，可得Lotka-Volterra競爭模型：

（2）

同理可得Lotka-Volterra捕食和合作模型。

進(jìn)一步分析模型（2），通過求解，可知（2）式存在四個平衡點，分別為零平衡點，邊界平衡點和，以及內(nèi)部平衡點，在此處可引入奇點，并說明奇點在該模型中的實際意義，讓學(xué)生更深入地理解奇點。例如表示的是在兩種群的競爭過程中，種群1處于劣勢地位，隨著時間的推移，種群1最終趨于滅亡。

3.2 在定理教學(xué)過程中引入生物數(shù)學(xué)模型

在理論教學(xué)中引入生物數(shù)學(xué)模型，并以提問的方式講解相關(guān)的定理知識，最后引導(dǎo)學(xué)生用理論知識解決實際問題。例如以（2）式為例引導(dǎo)學(xué)生探究兩種群的競爭動態(tài)以及兩種群的競爭動態(tài)和奇點的關(guān)系，從而引出雅可比矩陣、Hurwitz判據(jù)和零解穩(wěn)定性定理。

先向?qū)W生介紹雅可比矩陣的定義，并以為例引導(dǎo)學(xué)生求解（2）式在平衡點處的雅可比矩陣：

再計算該矩陣的特征方程：

（5）

以此介紹零點穩(wěn)定性定理和Hurwitz判據(jù)。由Hurwitz判據(jù)，當(dāng)

時，有，所以（2）式在處特征方程的根都有負(fù)實部，可得奇點是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

在進(jìn)行定理教學(xué)之前引入合適的數(shù)學(xué)模型，再對模型進(jìn)行分析，從而引出需要探究的問題，由此引出定理，再用定理解決需探究的問題，這不僅能讓學(xué)生意識到理論知識的實用性，而且可以提高學(xué)習(xí)效率。

3.3 在解題方法的教學(xué)過程中引入生物數(shù)學(xué)模型

在講解這部分的內(nèi)容時，教師通常是直接給出相關(guān)類型的微分方程，然后對該方程進(jìn)行求解，這忽略了從實際問題中提取微分方程的過程[7]。這樣的教學(xué)方式往往只追求教會學(xué)生如何求解現(xiàn)有方程而忽于應(yīng)用。因此，教師在講解生物數(shù)學(xué)模型時可結(jié)合實例，讓學(xué)生認(rèn)識到解題方法在解決實際問題時的重要性。例如，在講解 “變量分離法”時，可引入馬爾薩斯的人口預(yù)測模型

（6）

其中表示時刻的人口總量，表示人口增長率。設(shè)時人口為，可解得通解為

（7）

可以看出人口增長速度不斷加快，但人口增長受環(huán)境、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療等因素影響，導(dǎo)致不是一個常數(shù)。

引入Logistic人口模型。假設(shè)人口最大容納量為，則

（8）

若時總?cè)丝跒椋瑒t可解得

（9）

由此可知，當(dāng)時人口的增長速度為零；當(dāng)時出現(xiàn)負(fù)增長。

這不僅能讓學(xué)生更好地掌握解題方法，而且可提醒學(xué)生知識來源于生活也將應(yīng)用于生活。

3.4 在知識應(yīng)用過程中引入生物數(shù)學(xué)模型

在培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力的過程中，教師可把學(xué)生分成幾個小組，提出生活中的實際問題，讓學(xué)生以小組為單位建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并分析，例如傳染病模型可以讓學(xué)生仿照人口增長模型進(jìn)行建模并分析[8]。

學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識，分析數(shù)學(xué)模型并解決實際問題，深入理解現(xiàn)實生活中傳染病相關(guān)數(shù)據(jù)指標(biāo)所代表的意義，根據(jù)官方公布的數(shù)據(jù)指標(biāo)科學(xué)地觀察傳染病傳播趨勢，增強(qiáng)防控意識，并積極響應(yīng)國家的號召，這樣可以在教學(xué)中自然地融入課程思政理念。

4 結(jié)語

本文首先強(qiáng)調(diào)了常微分方程的實用性以及國家對該課程的重視。然后，從生物數(shù)學(xué)模型與微分方程的聯(lián)系出發(fā)，說明了將生物數(shù)學(xué)模型引入常微分方程課程教學(xué)的必要性。最后，探討了生物數(shù)學(xué)模型在常微分方程教學(xué)中的具體應(yīng)用。

在教學(xué)中引入生物數(shù)學(xué)模型是踐行“以學(xué)生為中心”教學(xué)理念的一種體現(xiàn)。在教學(xué)中引入適當(dāng)?shù)纳飻?shù)學(xué)模型，可以讓學(xué)生認(rèn)識到常微分方程來源于生活并應(yīng)用于生活，意識到學(xué)習(xí)該課程的重要性。在教學(xué)過程中，教師可以利用生物數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生以解決實際生活問題為導(dǎo)向，既激發(fā)了學(xué)生的求知欲，又提高了他們應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。將生物數(shù)學(xué)模型引入課堂中，可以將抽象知識具體化，極大地幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)知識。

在常微分方程教學(xué)中引入生物數(shù)學(xué)模型的同時，可結(jié)合計算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，幫助學(xué)生在掌握各種理論知識的同時提高解題能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

*通信作者：李慧敏

基金項目：云南省第三批本科省級一流本科課程“常微分方程”；云南省研究生優(yōu)質(zhì)課程“生物數(shù)學(xué)原理”“高等數(shù)理統(tǒng)計”“高等概率論”；國家自然科學(xué)基金地區(qū)基金“云南生物多樣性與害蟲治理復(fù)雜關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型研究”（12261104）。

參考文獻(xiàn)

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[3] 郝婷，郭凱鋒，宋廣林，等.我國農(nóng)林高校發(fā)展新興交叉學(xué)科的思考[J].高教學(xué)刊，2023，9（14）：17-20，25.

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[7] 蒙麗宇，張林，韋瓔，等.基于混合式標(biāo)準(zhǔn)模式和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下常微分方程標(biāo)準(zhǔn)的改革[J].大眾標(biāo)準(zhǔn)化，2021（19）：115-11.

[8] 王金妮.數(shù)學(xué)建模思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國新通信，2021，23（16）：177-178.