等差等比數(shù)列一個(gè)性質(zhì)的推廣與拓展

摘?要：文章以2023年高考全國(guó)乙卷理科的第15題為例，給出等差等比數(shù)列一個(gè)性質(zhì)的推廣與拓展，并展示性質(zhì)的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；性質(zhì)與應(yīng)用；推廣

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）13-0049-03

等差等比數(shù)列是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，而高考對(duì)等差等比數(shù)列的考查往往包含運(yùn)算能力的考查，掌握等差等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)能有效地減少運(yùn)算量.本文以2023年高考全國(guó)乙卷理科的第15題為例，介紹等差等比數(shù)列一個(gè)性質(zhì)的推廣、拓展及其應(yīng)用，供大家參考.

1 試題的呈現(xiàn)與解答

題目?已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，則a7=.

試題主要考查等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.試題的思維過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，較好地體現(xiàn)了等比數(shù)列中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查，綜合考查考生的邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力.

解法1?設(shè){an}的公比為q（q≠0），顯然an≠0.

由a2a4a5=a3a6，得

a1q×a1q3×a1q4=a1q2×a1q5.

即得a1q=1.

由a9a10=-8，得a1q8×a1q9=-8.

即得（a1q）2×q15=-8.

故q15=-8.所以q5=-2.

于是a7=a1q6=a1q×q5=-2.

解法2?設(shè){an}的公比為q（q≠0），顯然an≠0.

因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a4a5=a3a6.

結(jié)合a2a4a5=a3a6，可得a2=1.

由a9a10=-8，得a2q7×a2q8=-8.

即得q15=-8.所以q5=-2.

于是a7=a2q5=-2.

評(píng)注?解法2利用等比數(shù)列的性質(zhì)：已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p+q=s+t，則apaq=asat.靈活應(yīng)用性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化解答過(guò)程.值得注意的是，等差等比數(shù)列中，此性質(zhì)作為新教材的例習(xí)題出現(xiàn)：

題1?（人教A版《高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》 第17頁(yè)例5） ?已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p+q=s+t，求證ap+aq=as+at.

題2?（人教A版《高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》第56頁(yè)“復(fù)習(xí)參考題4”第12題） ?類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、常用性質(zhì)等，發(fā)現(xiàn)它們有如下的對(duì)偶關(guān)系：只要將等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算“+”改為“×”， “-”改為“÷”，正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個(gè)形式相同的關(guān)系式，反之也成立.

根據(jù)上述說(shuō)法，請(qǐng)你參照表1給出的信息推斷出相關(guān)的對(duì)偶關(guān)系式：

由此可見(jiàn)，高考題與教材例習(xí)題有著很好的銜接，這符合高考的命題思想：加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮教材的引導(dǎo)作用.所以高三的復(fù)習(xí)應(yīng)立足于教材，對(duì)教材中有潛在本質(zhì)規(guī)律的材料、例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐诰?，將教材的引?dǎo)作用發(fā)揮出來(lái)，以此提高復(fù)習(xí)的有效性.

解法3?因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，且有2+4+5+9+10=3+6+7+7+7，故得

a2a4a5a9a10=a3a6a7a7a7.

又a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，故得a37=-8.

所以a7=-2.

評(píng)注?對(duì)比解法1與解法2，解法3的方法巧妙，運(yùn)算量少，解答過(guò)程簡(jiǎn)潔，解題方法新穎獨(dú)到.那么解法3的依據(jù)是什么呢？實(shí)際上，解法3應(yīng)用了解法2中的性質(zhì)的推廣.

2 等差等比數(shù)列性質(zhì)的推廣與拓展

性質(zhì)1?設(shè){an}為等差數(shù)列，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=∑ki=1ni，則∑ki=1ami=∑ki=1ani.

推論1?設(shè){an}為等差數(shù)列，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=kn，則∑ki=1ami=kan.

性質(zhì)2?設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥∑ki=1ni，則：

（1）當(dāng)d>0時(shí)，∑ki=1ami≥∑ki=1ani；

（2）當(dāng)d<0時(shí)，∑ki=1ami≤∑ki=1ani.

推論2?設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥kn，則：

（1）當(dāng)d>0時(shí)，∑ki=1ami≥kan；

（2）當(dāng)d<0時(shí)，∑ki=1ami≤kan.

性質(zhì)3?設(shè){an}為等比數(shù)列，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=∑ki=1ni，則∏ki=1ami=∏ki=1ani.

推論3?設(shè){an}為等比數(shù)列，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=kn，則∏ki=1ami=（an）k.

性質(zhì)4?設(shè){an}為等比數(shù)列，公比為q（q>0且q≠1），a1>0，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥∑ki=1ni，則：

（1）當(dāng)q>1時(shí)，∏ki=1ami≥∏ki=1ani；

（2）當(dāng)0

推論4?設(shè){an}為等比數(shù)列，公比為q（q>0且q≠1），a1>0，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥kn，則：

（1）當(dāng)q>1時(shí)，∏ki=1ami≥（an）k；

（2）當(dāng)0

3 性質(zhì)的應(yīng)用

等差等比數(shù)列的前述性質(zhì)應(yīng)用廣泛，倍受命題者青睞，以此為命題背景的試題常考常新，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

例1?已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=90，則a1+a6+a8=.

解析?因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且1+6+8=2+4+9=3+5+7.

由性質(zhì)1，可得

a1+a6+a8=a2+a4+a9=a3+a5+a7.

所以a1+a6+a8=13S9=30.

例2?已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+a3+a4+a9+a13=30，則a6=.

解析?因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且1+3+4+9+13=5×6，由推論1，可得

a1+a3+a4+a9+a13=5a6=30.

所以a6=6.

例3?已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+a2+…+a2n=S，m，n∈N*，且m≤n，判斷S與2nam的大小.

解析?設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

當(dāng)d=0時(shí)，則有a1=a2=…=a2n=am=S2n.

故2nam=2n×S2n=S.

因?yàn)?+2+…+2n=2n（1+2n）2=n（1+2n）>n×2n≥2n×m，且數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由推論2，可得：

當(dāng)d>0時(shí)，有a1+a2+…+a2n>2nam，即S>2nam；

當(dāng)d<0時(shí)，有a1+a2+…+a2n<2nam，即S<2nam.

例4?已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若T9=64，則a3a5a7=.

解析?因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，且1+6+8=2+4+9=3+5+7.

由性質(zhì)3，可得a1a6a8=a2a4a9=a3a5a7.

所以a3a5a7=3T9=364=4.

例5?在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a6=16，則log2a1+log2a2+…+log2a11=.

解析?因?yàn)閘og2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11），且1+2+…+11=11（1+11）2=11×6，又

因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，由推論3，得

a1a2…a11=a116=1611=244.

所以log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2244=44.

例6?在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a1a2…a2 024=2 024，判斷（a1 011）2 024與2 024的大小關(guān)系.

解析?設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

當(dāng)q=1時(shí)，則有a1=a2=…=a2 024.

故a1a2…a2 024=（a1）2 024=（a1 011）2 024=2 024.

因?yàn)?+2+…+2 024=2 024（1+2 024）2=1 012（1+2 024）>2 024×1 012>2 024×1 011，

又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，故a1>0.

由推論4，得

當(dāng)q>1時(shí)，有a1a2…a2 024>（a1 011）2024.

即2 024>（a1 011）2 024.

當(dāng)0

即2 024<（a1 011）2 024.

評(píng)注?對(duì)比例3，例6實(shí)際上可以一般化：在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a1a2…a2n=T，m，n∈N*，且m≤n，判斷T與（am）2n的大小.

4 結(jié)束語(yǔ)

從以上幾例不難發(fā)現(xiàn)，利用性質(zhì)去求解等差等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能降低思維強(qiáng)度，簡(jiǎn)化推理和運(yùn)算過(guò)程，具有直觀、簡(jiǎn)捷、明快的特點(diǎn).所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于鉆研，通過(guò)一些例題或習(xí)題的總結(jié)與變式，重視方法的積累和知識(shí)的儲(chǔ)備，熟練掌握一些有用的結(jié)論，才有可能縮短思維的長(zhǎng)度，提高效率，達(dá)到事半功倍的功效[1].

參考文獻(xiàn)：

［1］

林國(guó)紅.一類相鄰兩項(xiàng)和的數(shù)列通項(xiàng)的求解策略[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2021（Z1）：1-3.

［責(zé)任編輯：李?璟］