一道二元最值問題的多解性研究

蔡飛

摘?要：最值問題是高中數(shù)學教學中的重點內(nèi)容，也是難點內(nèi)容.通過對一道基礎題的最值問題研究，將解題方法進行歸類，尋求此類問題的通性通法.

關鍵詞：最值問題構造；解題方法；一題多解

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0077-03

本文主要分析一道二元條件最值問題，從不同的視角去審視，以不同的切入點進行探究.

1 試題背景

題目?已知x2+y2=4，求x+2y的最大值.

2 解法探究

解法1?（向量法）設a=（x，y），b=（1，2），由已知可得a=2，b=5.

所以x+2y=a·b=abcos≤25，當且僅當a和b同向時等號成立.

點評?向量法求解最值問題常用于一次式或確定角度問題.根據(jù)條件和結論的特點，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量的數(shù)量積，往往能避免繁雜的湊配技巧，使解答過程直觀又易接受.

解法2?（構造反對稱）

（x+2y）2=x2+4xy+4y2，①

（2x-y）2=4x2-4xy+y2，②

①+②，得

（x+2y）2+（2x-y）2=5x2+5y2=20.

所以（x+2y）2=20-（2x-y）2≤20.

所以（x+2y）max=25，當且僅當2x=y時等號成立.

點評?根據(jù)題設條件的特點，構造反對稱將非對稱問題化歸對稱型，此法主要通過構造完全平方式將含xy項消去，同時得到k（x2+y2）.

解法3?（判別式法）令x+2y=m，

所以x=m-2y.

代入x2+y2=4中整理，得

5y2-4my+m2-4=0.

關于y的一元二次方程，

Δ=16m2-20（m2-4）≥0，

解得-25≤m≤25.

所以（x+2y）max=25.

點評?將二元問題轉(zhuǎn)化為以某個變量為主元的二次方程，當二次項系數(shù)不為零時，根據(jù)方程有實數(shù)解得判別式大于或等于零列不等式，最后通過解不等式求得最值.

解法4?（消元法）根據(jù)對稱性可知，當x＞0，

y＞0時，x+2y取得最大值.

因為x2+y2=4，所以y=4-x2，x∈（0，2）.

所以x+2y=x+24-x2.

設f（x）=x+24-x2，則

f ′（x）=1-2x4-x2

=4-x2-2x4-x2.

令g（x）=4-x2-2x，易知當x∈（0，2）時，

g（x）單調(diào)遞減，且g（255）=0，所以x∈（0，255）時，f ′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（255，2）時，f ′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

即（x+2y）max=f（x）max=f（255）=25.

點評?消元法是解決這類二元最值問題常用的方法之一，通過簡單的構造和化簡，構造一個只含有一個參數(shù)變量的函數(shù)式，從而將二元函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.

解法5?（利用齊次式化歸一元問題）

根據(jù)對稱性可知，當x＞0，y＞0時，x+2y取得最大值.

所以（x+2y）2=4（x+2y）2x2+y2

=4x2+16xy+16y2x2+y2

=4x2/y2+16x/y+16x2/y2+1.

令t=xy，因為x＞0，y＞0，所以t＞0.

構造f（t）=4t2+16t+16t2+1，

f ′（t）=-8（2t-1）（t+2）（t2+1）2，

當t=12，即x=255，y=455時，f（t）max=20.

所以（x+2y）max=25.

點評?齊次化處理往往是解決雙變量最值問題時優(yōu)先考慮的一種將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量問題的重要手段.本題將待求式進行平方，將待求式與已知式變成齊次式，然后實現(xiàn)消元，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題.

解法6?（數(shù)形結合）

設x+2y=m，則點（x，y）在直線x+2y=m上.

因為x2+y2=4，則點（x，y）在以O為圓心，2為半徑的圓上.

當直線與圓相切時，m取得最大值

d=m12+22=2.

解得m=±25.

所以（x+2y）max=25.

點評?數(shù)形結合是高中數(shù)學中的重要方法.本題主要把涉及雙變量的表達式“翻譯”為幾何條件，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用幾何的直觀性，得知雙變量的取值范圍.

解法7［1］?（三角換元）因為x2+y2=4，可設x=2cosθ，y=2sinθ，

所以x+2y=2cosθ+4sinθ=25sin（θ+）≤25，

當cosθ=55，sinθ=255，即x=255，y=455時，

（x+2y）max=25.

點評?三角換元是換元法中比較重要的一種，通過三角換元可將題目中的斜率、最值、范圍等問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.通常，已知條件為二元二次式（尤其是圓或橢圓方程）時，會考慮三角換元.三角換元是將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題的一種相對高效的解題策略.

解法8［2］?（函數(shù)偏導求極值）根據(jù)對稱性可知，當x＞0，y＞0時，x+2y取得最大值.

令x+2y=m，對x+2y=m和x2+y2=4分別關于x求導可得：

1+2y′=0，③

2x+2yy′=0.④

③④聯(lián)立，得y=2x.

代入x2+y2=4，可得x=255，y=455.

此時為x＞0，y＞0時的唯一極值點.

所以（x+2y）max=25.

點評?在二元函數(shù)中，如果要對其中一個變量求導，可把另一個變量視為固定值，則可將二元函數(shù)

“當作”一元函數(shù)來理解.

解法9?（柯西不等式）

若a，b，c，d都是實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時等號成立.

由柯西不等式得

（x+2y）2≤（x2+y2）（12+22）=20.

所以（x+2y）max=25，當且僅當2x=y時等號成立.

點評?本例主要應用柯西不等式的二元形式進行解題.使用柯西不等式時一定要注意已知條件和待求代數(shù)式之間的聯(lián)系，通過配湊使之滿足定理使用的條件.

解法10?（拉格朗日乘數(shù)法）

求目標函數(shù)z=f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的極值，構造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），其中λ是待定系數(shù)，則極值點滿足方程組

fx（x，y）+λφx（x，y）=0，fy（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0.

構造拉格朗日函數(shù)

f（x，y，λ）=x+2y+λ（x2+y2-4），

令f（x，y，λ）的各偏導數(shù)等于0，得

fx=1+2λx=0，fy=2+2λy=0，fλ=x2+y2-4=0.

所以x=-12λ，y=-1λ，x2+y2-4=0.

當λ=-54，x=255，y=455時，

（x+2y）max=25.

點評?拉格朗日乘數(shù)法能夠解決多變量、多個約束條件下的最優(yōu)化問題.在解決多元函數(shù)的條件極值中，只需按照解題步驟逐步推進即可.

3 結束語

本文解法中利用代入消元、齊次式消元、三角換元將二元問題化歸為一元問題，從而實現(xiàn)模型的簡化.消元思想是高中數(shù)學常用的思想方法之一.在柯西不等式的使用中，本文主要利用了柯西不等式的向量形式和二維形式.在解決不等式或最值問題中，柯西不等式的使用往往能起到化繁為簡的效果.另外，數(shù)形結合的方法在數(shù)學中也是重要的思想方法.文中還補充了函數(shù)偏導求極值以及拉格朗日乘數(shù)法求條件極值兩種方法.對于高中生而言，掌握上述兩種方法，對于復雜的多元問題更容易上手.對于最值問題，沒有通法通解，需要我們從不同的維度去思考分析，找到適合自己的方法.

參考文獻：

［1］甘志國.例談用三角換元法解重點大學自主招生試題[J].數(shù)理化解題研究，2019（10）：34-37.

[2]余鐵青.例談條件極值在多元函數(shù)最值問題中的應用[J].數(shù)理化解題研究，2020（22）：5-6.

［責任編輯：李?璟］